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第 24 章

第 24 章. 介质格林函数法 (Ⅰ). Dielectric Green’s Function Method. 先归纳一下前面有关方法论的工作. 图 24-1 研究问题的方法. 一、 Green 函数的基本概念. 1. 函数 函数是广义函数. (24-1). (24-2). (24-3). 一、 Green 函数的基本概念. 函数有各种物理解释，其中之一是 “ 概率论 ” 中必然事件的概率密度。 2. Green 函数

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第 24 章

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  1. 第24章 介质格林函数法(Ⅰ) Dielectric Green’s Function Method 先归纳一下前面有关方法论的工作 图 24-1 研究问题的方法

  2. 一、Green函数的基本概念 1. 函数 函数是广义函数 (24-1) (24-2) (24-3)

  3. 一、Green函数的基本概念 函数有各种物理解释，其中之一是“概率论”中必然事件的概率密度。 2. Green函数 Green函数解决一类普遍问题，不仅是电磁场，而且在力学、流体、空气动力诸方面都有应用，其问题提法是：复杂区域V，在内部有任意源g，已知场u服从 (24-4)

  4. 一、Green函数的基本概念 图 24-2 (x)函数

  5. 一、Green函数的基本概念 图 24-3 Green函数问题

  6. 一、Green函数的基本概念 对于 (r/r')特殊源所对应的是Green函数，有 (24-5) 为了普遍化，我们把 函数的归一性积分写成 (24-6) 〈 〉—Dirac内积符号，表示积分或∑，注意〈 〉对 起作用。 L对 起作用，可以建立恒等式

  7. 一、Green函数的基本概念 (24-7) 根据Operater的线性有 (24-8) 对比 可以得到 (24-9)

  8. 一、Green函数的基本概念 归结出：只要求出某一类(特定支配方程和边界条件)问题的Green函数，那么，这一类问题中任意源 在点 造成的场 只需由 和 函数的广义内积求得。 最简单的如三维静场 (24-10) 若简洁写成

  9. 一、Green函数的基本概念 可知对应的Green函数是 (24-11) 从更广义的物理方法论来理解：式(24-5)可以看成是(24-4)即原问题的伴随问题，若令 且La=L(术语上称之为自伴)，也即 (24-12)

  10. 一、Green函数的基本概念 按这一观点 (24-13) 由于 函数的特殊性质，实际上式(24-13)可进一步写成 (24-14) 而式(24-14)正是互易定理的表达形式。

  11. 二、镜象法 如果问题的区域是分层媒质，则可用镜象法求出Green函数。 采用镜象法的基础是Maxwell方程组的唯一性定理。 它可以叙述为：在给定区域符合微分方程和边界条件的解是唯一的。因此，也可以反过来说，只要符合方程和边界条件，则这个解必定正确。 所谓镜像法，其第一要点是分区求解；第二要

  12. 二、镜象法 点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界，使之符合求解区域之内的方程及边界条件。 ［例1］ 半无限空间导体前的点电荷(也即 源)。 ［解］ 先写出分区解和分区边界条件 支配方程 (24-15)

  13. 二、镜象法 边界条件 图 24-4 导体镜像法——分区求解

  14. 二、镜象法 其中， 为导体面电荷。很明确：解是分区的。 现在采用镜像法 根据图24-5，很易看出： (24-17) 式(24-17)满足支配方程(24-15)是显然的。

  15. 二、镜象法 下边考察其边界条件情况。 (1)当x=0 (2)再研究导数条件

  16. 二、镜象法 求解Ⅰ时，在RegionⅡ加镜像电荷(－q) 求解Ⅱ时，在RegionⅠ加镜像电荷(－q) 图 24-5 镜像电荷——均加在求解区域之外

  17. 二、镜象法 对比边界条件式(24-16)，易知 (24-18) 为了验证的面电荷密度性质，验证下列积分，采用yoz的极坐标，即dydz=rdrd (24-19)

  18. 二、镜象法 作为副产品易知，这种问题的Green函数 于是 (24-21) 上面整个过程即采用镜像法求取Green函数。

  19. 二、镜象法 图 24-6 yoz的极坐标

  20. 三、二维介质Green函数 二维问题的介质Green函数的一般模型如图24-7。在右半空间d处放一无限长线电荷，密度为。 图 24-7 介质镜像法

  21. 三、二维介质Green函数 同样，分区域求解 支配方程 (24-22) 边界条件 (24-23)

  22. 三、二维介质Green函数 求解Regiou Ⅰ在Ⅱ假设‘ 求解Region Ⅱ在Ⅰ假设‘镜像 图 24-8 介质分区域求解Ⅰ，Ⅱ

  23. 三、二维介质Green函数 所有镜像均在求解区域外。 Note：·在我们假设中，两空间均是0，当然也可以 是0r。 ·求解RegionⅡ时，″实际上包括真实电荷 和镜像″－。 这样模型满足支配方程是没有问题的，现写出 (24-24)

  24. 三、二维介质Green函数 也可以改写为 (24-25) 式中 (24-26)

  25. 三、二维介质Green函数 现在，让我们考察解与边界条件的关系。 于是由函数边界条件有 (24-27)

  26. 三、二维介质Green函数 ●导数边界条件

  27. 三、二维介质Green函数 又得到 (24-28) 解方程得 所以，结果有 很明显看出：'是负电荷，而″是正电荷(原因是r＞1)。

  28. 一、计算 时，微带W/b值。 二、低介电常数遭到带 求介质衰线 。 PROBLEMS 24

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