概率方法

概率方法 王学钦博士 E-mail: wangxq88@mail.sysu.edu.cn 数学与计算科学学院中山医学院

几个例子 Ramsey数；Buffon投针；素因子的个数一些符号 Landan渐进符号；概率符号概率在数论中的应用 Ramsey数；Sum-free集合问题 Buffon投针问题的解（几何方法）期望的线性性质 Buffon投针（概率方法）；不平衡的灯 Chebyshev不等式素因子的个数；不同和问题

Ramsey数 R(k,l) (1) R(3,3):证明，任意六个人中，总有三个人互相认识，或者互相不认识。 ----- 1947年匈牙利数学竞赛用a,b,c,d,e,f六点表示六个人。如果两人互相认识，就在相应顶点间连一条红边，如果互相不认识，就连上一条蓝边。这样原问题就相当于对于任意的双色完全图K6中必存在一个单色三角形。 a f e d b c

Ramsey数 R(k,k) Ramsey数 R(k,l) (1) R(3,3):证明，任意六个人中，总有三个人互相认识，或者互相不认识。 ----- 1947年匈牙利数学竞赛不失一般性, 考虑以a端点的5条边。因为只有两种颜色，所以，至少有3边同色。不妨设ab， ac，ad同为蓝色。 a a f f e e d d b b c c

Ramsey数 R(k,l) (1) Ramsey数 R(k,k) R(3,3):证明，任意六个人中，总有三个人互相认识，或者互相不认识。 ----- 1947年匈牙利数学竞赛在b，c，d三者间，若有任意一条为蓝色，例如bd为蓝色，则abd构成蓝色三角形。在b，c，d三者间，若没有一条为蓝色，则他们之间均是红色连线，此时bcd就会构成红色三角形。 a a f f e e d d b b c c

Ramsey数 R(k,l) (2) 给定两个自然数k和l,是否存在n，使得任意一个双色完全图Kn，要么含有红色的完全子图Kk，要么含有蓝色的完全子图Kl？而称具有这样性质的最小自然数n为Ramsey数，记作R(k,l)。我们关心的是R(k,l)的值或者上下界。在这里，我们只简单讨论Ramsey数R(k,k)的下界。 (k,l)=(3,3), Ramsey数R(3,3)=6。这是因为：K5中可以不出现单色三角形。

Buffon 投针 假设在平面上画上间距为d的平行线，现在随机投掷长度为L的的针，求针与其中至少一条平行线相交的概率。当L≤d时，所求的概率是2L/πd。

素因子的个数 1920年， Hardy 和 Ramanujan证明了“几乎所有”n的素因子的个数“非常靠近”。

素因子的个数 1920年， Hardy 和 Ramanujan证明了“几乎所有”n的素因子的个数“非常靠近”。严格的数学表述如下：令为所有n的素因子的个数和让任意缓慢的趋向无穷大。那么

Landan渐进符号 令n为一个正变量，f(n)与g(n)为n的实函数。

概率符号

Ramsey数. R(k,k)的下确界 定理1：如果，那么。这样，对所有的，有：

Ramsey数. R(k,k)的下确界 定理1：如果，那么。这样，对所有的，有：证明：在一个双色完全图中，考虑由两种颜色（红或蓝）等可能的对边着色。对于任一个具有个顶点的集合，令为“由诱导的的子图为单色的事件”。那么，

Ramsey数. R(k,k)的下确界 定理1：如果，那么。这样，对所有的，有：证明：在一个双色完全图中，考虑由两种颜色（红或蓝）等可能的对边着色。对于任一个具有个顶点的集合，令为“由诱导的的子图为单色的事件”。那么，又因为在中这样的有个，所以至少有一个事件发生的概率最多为。这样，没有一个事件会发生的概率为正，也就是说，存在一个不含有单色的双色完全图。于是有。

定理1：如果，那么 。这样，对所有的，有：

定理1：如果，那么 。这样，对所有的，有：注意到时，取，满足因此，。证毕

定理1：如果，那么 。这样，对所有的，有：注意到时，取，满足因此，。证毕这个例子体现了概率方法的精髓。我们并没有直接通过构造性或确定性的方法来证明单色子图的存在，而是以一种非确定性的方法来处理问题。注：Erdős（埃尔德什）是第一个理解这种方法并成功的运用以解决了许多应用问题的人。

Sum-free集合问题 定义：一个可换群G的子集被称为sum-free（和自由）的，当且仅当其不存在三个元素x，y，z，使得x+y=z。换言之，。定理[Erdős 1965]：每一个由n个非零整数所组成的集合，存在一个sum-free的子集，并且子集的大小（阶）比的三分之一要大：。

Sum-free集合问题 定义：一个可换群G的子集被称为sum-free（和自由）的，当且仅当其不存在三个元素x，y，z，使得x+y=z。换言之，。定理[Erdős 1965]：每一个由n个非零整数所组成的集合，存在一个sum-free的子集，并且子集的大小（阶）比的三分之一要大：。证明：令为一个素数，使得，同时令则显然是循环群的一个sum-free子集，而且，根据上的均匀分布选取一个正整数，定义

Sum-free集合问题 对于每个固定的，当遍历所有1至p-1的整数时，也遍历所有中的非零元素。这样。因此，使得属于的个数的期望。

Sum-free集合问题 对于每个固定的，当遍历所有1至p-1的整数时，也遍历所有中的非零元素。这样。因此，使得属于的个数的期望。由此可知，存在一个和的一个子集（的阶），使得：对所有的，。这样显然是sum-free的，这因为如果有，并满足，那么，必有但这与是的sum-free子集这一事实所矛盾。故完成证明。

南端线= 参照线 D d Measure to the closest line north of the measuring end y q L Buffon 投针的计算（几何方法）由于针的长度小于线的间距，所以必有一条平行线与针相邻但不相交。我们将这个线作为参照线（南端的线）。现在我们有：关系式独立均匀分布独立均匀分布如果，则表示出现了相交。

Buffon 投针的计算（几何方法） 左图是与的联合分布图，其中红色区域表示，即能够相交，而白色区域则表示没有相交。最后只需要计算出红色区域所占整体区域的比例即可。

期望的线性性质 令为随机变量，。那么这个期望的线性性质的威力在于其并没有受到之间是否独立的限制。在应用中，经常使用这样的事实：在样本空间中比存在一个点使得：或在下面的例子中可以看到这个方法的使用。

Buffon 投针的计算（概率方法） 现在我们用另一种思维来看待Buffon投针的问题。平行线的间距已经给定。对于一个长度是的针，定义一个随机变量，其为此针与平行线相交的点数。由于，所以以概率取值0，以概率取值1。既是我们需要求的值，这也同时是的期望：

Buffon 投针的计算（概率方法） 现在我们用另一种思维来看待Buffon投针的问题。平行线的间距已经给定。对于一个长度是的针，定义一个随机变量，其为此针与平行线相交的点数。由于，所以以概率取值0，以概率取值1。既是我们需要求的值，这也同时是的期望：接下来我们再找一根针，长度为，将其与先前的那根针头尾连接起来，并保持活动不固定死。类似的依然可以定义一个随机变量。虽然与不独立，但是它们的期望依然满足线性性质：

Buffon 投针的计算（概率方法） 由于上述期望的线性性质，两根针无论构成什么样子的链接方式，其与平行线的交点个数的期望是不变的。而多根针头尾连在一起依然保持了这样的性质。同时多根针可以组成任意的形状。另一方面，容易看出是与有关系的，而在针长度的合理范围内，它们成线性关系：因此接下来我们所要做的事情就是确定的大小。

Buffon 投针的计算（概率方法） 由于上述期望的线性性质，两根针无论构成什么样子的链接方式，其与平行线的交点个数的期望是不变的。而多根针头尾连在一起依然保持了这样的性质。同时多根针可以组成任意的形状。另一方面，容易看出是与有关系的，而在针长度的合理范围内，它们成线性关系：因此接下来我们所要做的事情就是确定的大小。之后我们考虑形状固定的铁丝，其长度为，定义为铁丝与平行线相交的交点个数。可以将这个铁丝近似想象成很多针所连接起来的，所以将会近似等于，而取其极限，我们得到：

Buffon 投针的计算（概率方法） 最后，为了求解出的大小，我们只需要选取适当形状的铁丝来进行求解。令铁丝为一个圆圈，其直径为。显然我们有：代入到公式中，，解得

Buffon 投针的计算（概率方法） 最后，为了求解出的大小，我们只需要选取适当形状的铁丝来进行求解。令铁丝为一个圆圈，其直径为。显然我们有：代入到公式中，，解得所以，对于一个针而言，我们有证毕

不平衡的灯 我们先来看一个定理。定理：令，，则存在，使得

不平衡的灯 我们先来看一个定理。定理：令，，则存在，使得现在我们针对此定理给出一个现实生活中的解释：假若按照的矩阵形式来摆放灯泡，每一个灯泡要么是亮着的（），要么是熄灭的（）。同时存在着控制同一排或者同一列的转换开关（既是控制第排的，而则是控制第列的）。

不平衡的灯 我们先来看一个定理。定理：令，，则存在，使得现在我们针对此定理给出一个现实生活中的解释：假若按照的矩阵形式来摆放灯泡，每一个灯泡要么是亮着的（），要么是熄灭的（）。同时存在着控制同一排或者同一列的转换开关（既是控制第排的，而则是控制第列的）。而上述定理的意思是，对于灯泡任意的初始设置，我们都有可能通过调整开关而使得（开着的灯个数）—（关着的灯个数）至少为：

证明：首先忽略行开关。独立并均匀的让 ，并设：对给定的，无论初始值如何，将会均匀的等于+1或者-1，并且在不同的之间他们相互独立。这里既是说，无论第行灯泡的初始值如何，在随机选择列开关后，他们的开关状态都将服从均匀分布，并一共有的等可能选择。

证明：首先忽略行开关。独立并均匀的让 ，并设：对给定的，无论初始值如何，将会均匀的等于+1或者-1，并且在不同的之间他们相互独立。这里既是说，无论第行灯泡的初始值如何，在随机选择列开关后，他们的开关状态都将服从均匀分布，并一共有的等可能选择。故服从分布（个独立均匀分布{-1，1}下的随机变量的和分布）。所以，

证明：首先忽略行开关。独立并均匀的让 ，并设：对给定的，无论初始值如何，将会均匀的等于+1或者-1，并且在不同的之间他们相互独立。这里既是说，无论第行灯泡的初始值如何，在随机选择列开关后，他们的开关状态都将服从均匀分布，并一共有的等可能选择。故服从分布（个独立均匀分布{-1，1}下的随机变量的和分布）。所以，注：在随机游走中，一个人每次等可能的向前或者向后走一步，在走了n步后，计算他离远点的距离，上述结果就是此距离的均值。

再利用期望的线性性质， 由此可以看出，肯定存在一组，使得至少是上述的取值，然后我们只需要通过选取与的符号相同，就有：证毕

Chebyshev不等式 此不等式在概率论中具有非常重要的地位，而其由于涉及到随机变量的方差，故常称其为二阶矩方法。对一个随机变量，一般记为期望，而记为方差。方差开根号后的则被称为标准差。

Chebyshev不等式 此不等式在概率论中具有非常重要的地位，而其由于涉及到随机变量的方差，故常称其为二阶矩方法。对一个随机变量，一般记为期望，而记为方差。方差开根号后的则被称为标准差。对任意正实数，证明即下面的这条式子：

素因子的个数 定理：令为所有n的素因子的个数，让任意缓慢的趋向无穷大。那么证明：从1到之间随机的抽取一个数。对于素数，令如果其他令，，对所有小于的素数求和。于是我们有，因为无论如何的，都不会拥有10个以上的大于的素因子。（这里的10可以是其他比较大的常数）

素因子的个数 定理：令为所有n的素因子的个数，让任意缓慢的趋向无穷大。那么证明：从1到之间随机的抽取一个数。对于素数，令如果其他令，，对所有小于的素数求和。于是我们有，因为无论如何的，都不会拥有10个以上的大于的素因子。（这里的10可以是其他比较大的常数）因此，在探索与的渐进性质时，它们将会有渐进相似的边界。

现在，我们知道： 又因为，所以

现在，我们知道： 又因为，所以再由于期望的线性性质和一个重要事实：我们有下面的结果：

现在，我们知道： 又因为，所以再由于期望的线性性质和一个重要事实：我们有下面的结果：接下来我们要探讨随机变量的方差的渐进表达。

概 率 方 法

概 率 方 法

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