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复变函数的积分

第三章. 复变函数的积分. §3.1 复变函数积分的概念. 1. 复变函数积分的定义. 设平面上光滑或分段光滑曲线 C 的两个端点为 A 和 B . C 可能有两个方向：从点 A 到点 B 和从点 B 到点 A . 若规定其中一个方向 ( 例如从点 A 到点 B 的方向 ) 为正方向，则称 C 为 有向曲线 . 此时称点 A 为曲线 C 的起点，点 B 为曲线 C 的终点 . 若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点 B 到起点 A 的方向则称为曲线 C 的负方向，记作 C .

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复变函数的积分

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  1. 第三章 复变函数的积分

  2. §3.1 复变函数积分的概念 1.复变函数积分的定义 设平面上光滑或分段光滑曲线C的两个端点为A和B. C可能有两个方向：从点A到点B和从点B到点A.若规定其中一个方向(例如从点A到点B的方向)为正方向，则称C为 有向曲线.此时称点A为曲线C的起点，点B为曲线C的终点.若正方向指从起点到终点的方向，那么从终点B到起点A的方向则称为曲线C的负方向，记作C.

  3. 定义3.1设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C按从点A到点B的方向在C上依次任取分点：定义3.1设C为一条光滑或分段光滑的有向曲线，其中A为起点，B为终点.函数f(z)在曲线C上有定义.现沿着C按从点A到点B的方向在C上依次任取分点： A=z0,z1,…,zn-1,zn=B, 将曲线C划分成 n个小弧段.在每个小弧段 (k=1,2,…,n)上任取一点k,并作和式 其中 .记为n个小弧段长度中的最大值.当趋向于零时，若不论对曲线C的分法及点ζk的取法如何，Sn极限存在，则称函数f(z)沿曲线C可积，并称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分.记作 f(z)称为被积函数，f(z)dz称为被积表达式.

  4. 若C为闭曲线，C的正方向指的是，当点沿着曲线C按所选定取积分的方向运动时，C所围区域始终在它的左侧，这时函数f(z)沿曲线C的积分记作

  5. 性质3.1（方向性）若函数f(z)沿曲线C可积，则 性质3.2（线性性）若函数f(z)和g(z)沿曲线C可积，则 其中,为任意常数. 性质3.3（对积分路径的可加性）若函数f(z)沿曲线C可积，曲线C由曲线段,依次首尾相接而成，则 2.复变函数积分的性质

  6. 性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对性质3.4（积分不等式）若函数f(z)沿曲线C可积，且对 ,满足 , 曲线C的长度为L,则 其中 , 为曲线C的弧微分. 两端取极限 记sk为zk-1与zk之间的弧长

  7. 定理3.1若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿曲线C连续，则f(z)沿C可积，且 3.复变函数积分的基本计算方法 证明：

  8. 设C为一光滑或为分段光滑曲线，其参数方程为 参数t=a时对应曲线C的起点，t=b时对应曲线C的终点. 已知f(z) 沿C连续，所以必有u、v都沿C连续，于是这两个第二类曲线积分都存在.因此积分存在，且 参数方程法

  9. 设f(z)沿曲线C连续，则

  10. 例3.1分别沿下列路径计算积分 和 (1) C为从原点(0,0)到(1,1)的直线段； (2) C为从原点(0,0)到(1,0)再到(1,1)的直线段. 解： (1) C的参数方程为：z=(1+i)t, t从0到1 . (2) 把从原点（0，0）到（1，0）和从（1，0）到（1，1）这两直线段分别记为C1和C2, C1的参数方程为：y=0, x从0到1; C2的参数方程为：x=1, y从0到1.

  11. 例3.2计算积分 ,其中C为图3.2所示半圆环区域的正向边界. 解：积分路径可分为四段： C1:z=t(-2≤ t ≤ -1); C2:z= 从到0; C3:z=t(1≤ t ≤ 2); C4:z= 从0到.

  12. 例3.3计算积分 ,其中C为以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为整数. 解：曲线C的方程为： 当n=0时 当n≠0时，

  13. §3.2 柯西-古萨定理及其推广 1.柯西-古萨(Cauchy-Goursat)定理 假设函数f(z)=u+iv在单连通域D内处处解析，f'(z)在D内连续, u,v对x,y的偏导数在D内连续.设z=x+iy，C为D内任一条简单闭曲线. 记G为C所围区域，由格林(Green)公式有 由于f(z)=u+iv在D内解析，所以u,v在D内处处都满足柯西-黎曼方程,即

  14. 定理3.2（柯西-古萨定理） 若函数f(z)是单连通域D内的解析函数，则f(z)沿D内任一条闭曲线C的积分为零，即 因此 从而 任意一条闭曲线都可以看成是由有限多条简单闭曲线衔接而成的。

  15. 推论3.1设C为z平面上的一条闭曲线，它围成单连通域D,若函数f(z)在 上解析，则 推论3.2设函数f(z)在单连通域D解析,则f(z)在D内积分与路径无关.即积分 不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C,而只与z0、z1的位置有关. 显然C1和 连接成D内一条闭曲线C. 证明： 设C1和C2为D内连接z0与z1的任意两条曲线.

  16. 由柯西-古萨定理 2.原函数 函数f(z)沿曲线C1和C2的积分又可以表示为 固定下限z0，让上限z1在区域D内变动，并令z1=z,则确定了一个关于上限z的单值函数 并称F(z)为定义在区域D内的积分上限函数或变上限函数.

  17. 若D内任取一点z,以z为中心作一个含于D内的小圆B，在B内取点 定理3.3若函数f(z)在单连通域D内解析，则函数F(z)必在D内解析，且有F'(z)=f(z). *证明： 积分与路径无关 f(z)是与积分变量ζ无关的值

  18. 所以对于任给的 ,必存在 ,使得当 (且落在圆B内)，即当 时，总有 又f(z)在D内解析，显然f(z)在D内连续.

  19. 即 也就是 变上限函数 为f(z)的一个原函数.那么函数f(z)的全体原函数可以表示为 , 其中C为任意常数. 定义3.2若在区域D内，(z)的导数等于f(z)，则称(z)为f(z)在D内的原函数.

  20. 定理3.4若函数f(z)在单连通域D内处处解析， (z)为f(z)的一个原函数， 则 , 其中z0、z1为D内的点. 为f(z)的一个原函数. 证明： 当z=z0时，根据柯西-古萨定理可知,

  21. 例3.4求积分 的值. 解：因为sin2z在复平面上解析，所以积分与路径无关.

  22. 例3.5求积分 的值. 解：因为(z-1)e-z在复平面上解析，所以积分与路径无关. 上式右边第一个积分的计算可采用分部积分法，第二个积分可用凑微分法.

  23. 设有n+1条简单闭曲线C0、C1、C2、…、Cn,其中C1、C2、…、Cn互不相交也互不包含，并且都含于C0的内部.这n+1条曲线围成了一个多连通区域D, D的边界C称作复闭路，它的正向为C0取逆时针方向，其它曲线都取顺时针方向.因此复闭路记作 定理3.5若f(z)在复闭路 及其所围成的多连通区域内解析，则 , 也就是 3.复合闭路定理

  24. 做辅助线l1、l2和l3将C0、C1及C2连接起来，从而把多连通区域D划分为两个单连通区域D1及D2，并分别用1及2表示这两个区域的边界.做辅助线l1、l2和l3将C0、C1及C2连接起来，从而把多连通区域D划分为两个单连通区域D1及D2，并分别用1及2表示这两个区域的边界. 由柯西-古萨定理

  25. 例3.6计算 的值,C为包含圆周|z|=1在内的 任何正向简单闭曲线. 解：显然z=0和z=-1是函数 的两个奇点，由于C为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线，因此也包含了这两个奇点.在C的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C1和C2，其中C1的内部只包含奇点z=-1，C2的内部只包含奇点z=0. 在由C、C1、C2所围成的多连通域内解析

  26. 定理3.6若f(z)是区域D内的解析函数，C为D内的简单闭曲线，C所围内部全含于D内，z为C内部任一点，则定理3.6若f(z)是区域D内的解析函数，C为D内的简单闭曲线，C所围内部全含于D内，z为C内部任一点，则 , 其中积分沿曲线C的正向.上式称为柯西积分公式. 即对任给的>0,必存在>0,当时 , 有 .令 ,则 在D内除去点z外处处解析.现以z为中心，r为半径作圆周 ,使圆B的内部及边界全含于C的内部. §3.3 柯西积分公式及其推论 1. 柯西(Cauchy)积分公式 证明：取定C内部一点z. 因为f(z)在D内解析，所以f(z)在点z连续.

  27. 令 ，只需证明 ,而f(z)与x无关. 根据复合闭路定理有

  28. 若C为圆周: ,即 ,则 ,从而 若函数f(z)在曲线C上恒为常数K,z0为C内部任一点，则根据柯西积分公式 即f(z)在曲线C的内部也恒为常数K. 解析函数在圆心z0处的值等于它在圆周上的平均值，这就是解析函数的平均值定理.

  29. 例3.7计算积分 的值. 若f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内解析，且在C上连续，则柯西积分公式仍然成立.柯西积分公式可以改写成 解：因为z2+1在|z|=2内解析

  30. 例3.8计算积分 的值，其中C为: (1) 被积函数 在 的内部解析 (2) 被积函数 在 的内部解析 解：

  31. (3) 被积函数在|z|=3的内部有两个奇点.在C的内部作两个互不包含互不相交的正向圆周C1和C2，其中C1的内部只包含奇点z=1，C2的内部只包含奇点z=-1.

  32. 定理3.7定义在区域D的解析函数f(z)有各阶导数，且有定理3.7定义在区域D的解析函数f(z)有各阶导数，且有 其中C为区域D内围绕z的任何一条简单闭曲线，积分沿曲线C的正向. 定理3.9函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是 (1) 在D内连续； (2) 在D内满足柯西-黎曼方程. 2.高阶导数公式 定理3.8若f(z)为定义在区域D内的解析函数，则在D内其各阶导数都存在并且解析.换句话说，解析函数的导数也是解析函数.

  33. 例3.9求积分 的值, 其中C为: . 解：被积函数在C的内部有一个奇点

  34. 例3.10求积分 的值，其中C为: |z|=2. 解： 被积函数在C的内部有两个奇点z=0和z=1,作两条互不相交且互不包含的闭曲线C1和C2，分别包围奇点z=0和z=1，且两曲线所围区域全含于C的内部.

  35. 定义3.3在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程定义3.3在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程 的二元实函数(x,y)称为在D内的调和函数. §3.4 解析函数与调和函数的关系 定理3.10任何在区域D内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是D内的调和函数. 证明 由柯西-黎曼方程有

  36. u(x,y)与v(x,y)具有任意阶连续偏导，所以 同理可证 即u(x,y)与v(x,y)都是调和函数. 使u(x,y)+iv(x,y)在区域D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数.或者说，在区域D内满足柯西-黎曼方程ux=vy,vx=-uy的两个调和函数u和v中，v称为u的共轭调和函数.

  37. 利用柯西-黎曼方程先求得v对y的偏导vy=ux,此式关于y积分得利用柯西-黎曼方程先求得v对y的偏导vy=ux,此式关于y积分得 1. 偏积分法 然后两边对x求偏导,由vx=-uy,于是有 从而

  38. 例3.11已知u(x,y)=2(x-1)y, f(2)=-i,求其共轭调和函数，并写出f(z)的形式. 解 由柯西-黎曼方程，有vy=ux=2y,此式两边关于y积分： 由条件 f(2)=-i,得C=-1

  39. 2. 线积分法 利用柯西-黎曼方程有 该积分与积分路径无关，因此可选取简单路径(如折线)进行计算.其中(x0,y0)为区域D中的点. 用例3.11说明：ux=2y, uy=2x-2. 取(x0,y0)=(0,0),路径为从(0,0)到(x,0)的直线段再从(x,0)到(x,y)的直线段.

  40. 将 表示成z的函数h(z),于是 3.不定积分法 根据柯西-黎曼方程及解析函数的导数公式有 还是用例3.1说明：ux=2y, uy=2x-2. 由条件 f(2)=-i,得C=-i,故

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