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大学文科数学 之 线性代数与 概率统计

大学文科数学 之 线性代数与 概率统计. 北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 2004-2005 学年第二学期 欧阳顺湘 2005.4.18. 第三讲 条件概率及相关. 条件概率 独立事件 全概率公式 贝叶斯公式. 条件概率 引言. 一个随机试验往往包含着多个随机事件 , 研究随机事件的之间的关系以及相关的概率是自然的 . 下面我们就来讨论已知一个事件发生时另一个事件发生的条件概率和事件之间的相互独立性. 人们对一个事件发生的可能性大小的评价往往依赖于所获取的信息 . 例如 ,

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大学文科数学 之 线性代数与 概率统计

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  1. 大学文科数学之线性代数与概率统计 北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 2004-2005学年第二学期 欧阳顺湘 2005.4.18

  2. 第三讲条件概率及相关 • 条件概率 • 独立事件 • 全概率公式 • 贝叶斯公式

  3. 条件概率 引言 • 一个随机试验往往包含着多个随机事件, • 研究随机事件的之间的关系以及相关的概率是自然的. • 下面我们就来讨论已知一个事件发生时另一个事件发生的条件概率和事件之间的相互独立性

  4. 人们对一个事件发生的可能性大小的评价往往依赖于所获取的信息. 例如, • 如果已知在一夏日某地下雨了, 则该地气温下降的的概率将增大; • 如果投掷一颗均匀的骰子, 并被告知所得点数为偶数, 则你得到1点的概率显然是0.

  5. 条件概率: 记号 • 我们将这种已知事件A发生的条件下事件B发生的概率记为P(B|A), • 这个概率也常简称为给定A时B发生的条件概率 • 怎样计算 (定义)P(B|A) 呢? • 我们先来分析一下下面的两个问题

  6. 问题 1在一个盒子中装有5个白球和5个彩球: 3个红球和2个蓝球. • 现从中任意取出一个球, 求取出红球的概率. • 如果已知取出的球是彩色的, 那么, 取出红球的概率又是多少呢?

  7. 分析理解 • 用A表示取出彩球, 用B表示取出红球. • 从这盒子中任取一球共有10种等可能的取法; • 其中有3种取法使取出的球的为红色. 因此, • 从这10个球中取得一个红球的概率为 • P(B)=3/10

  8. 如果已知A发生, 即已知取的得球是彩色的, 则从盒子中任取一球只有5种可能的情形: 取3个红球或2个蓝球中的某一个; • 其中有3种取出红球(B发生)的方法. 由此可知, 这时取得红球的概率为 • P(B|A)=3/5 • 由此可见, 已知 A 发生的条件下 B 发生的概率P(B|A) 一般不同于``无条件“时 B 发生的概率P(B).

  9. 由于盒子中的10个球中有５个彩球,　易知从中取出彩球，即A发生的概率为 P(A)=5/10. • A, B同时发生指的是取出的球既是彩球又是红球，或说取出的球是红色的，即事件B发生了. • 因此，A, B同时发生的概率为 • P(AB)=P(B)=3/10. • 将P(B|A)的值3/5的分子、分母同除以10, 并利用上述计算结果，我们可以注意到给定A时B发生的条件概率可以写成

  10. 抽象概括 • 条件概率的定义

  11. 问题 • 随机地选择一个有两个孩子的家庭, 并假定生男孩和生女孩是等可能的. • 如果已知A: 其中一个孩子是女孩, 求B:另一个孩子是男孩的概率. • 如果从性别的等可能性来考虑, 你可能很快就回答说答案是1/2. 这是否正确呢?

  12. 设 A:= {有一个孩子是女孩} • B:= {有一个孩子是男孩} • 则所求得概率为P(B|A) • P(B|A)=P(AB)/P(A) • 按照出生顺序, 这个家庭的两个孩子共有如下4种等可能的情形: • 男男, 男女, 女男, 女女.

  13. 这个家庭中有一个女孩, 即事件A包含如下3种可能的情形: • 男女 女男 女女 (A) • P(A)=3/4 • 而该家庭中有一个男孩, 即事件B则包含如下3种可能的情形: • 男男 男女 女男(B) • 家庭中既有一个男孩又有一个女孩的可能情形为 • 男女 女男(AB) • P(AB)=2/4

  14. 乘法公式 • P(AB)=？ • P(B|A)=P(AB)/P(A)  • P(AB) =P(A)P(B|A) (P(A)>0) • 一般地，P(A1A2A3)=?

  15. 乘法公式 应用 例 • 某工厂有一批零件共100个,其中有10个次品,从这批零件中随机抽两次, 每次抽取一件,取后不放回, 求两次都取到正品的概率. • 用Ai表示第 i 次( i =1, 2) 取到正品，即 • 用A1表示第 1 次取到正品 • 用A2表示第 2 次取到正品 • P(A1A2)=? • P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=?

  16. 独立事件 • 课堂练习: • 掷一枚均匀的硬币两次, • 用A表示第一次正面朝上, • B表示第二次正面朝上, • 求P(B|A).

  17. 分析: • P(B|A)是A发生的条件下B发生的概率, • 但A是第一次掷得的结果, B是第二次掷得的结果, • 这前后两次之间能有什么影响呢? • 直觉告诉我们, A已发生的信息不会改变B发生的概率, • 应有P(B)=P(B|A). • 我们下面认真地算一下P(B)和P(B|A), 看看我们的猜测是否正确.

  18. 掷一枚均匀的硬币两次, 共有如下4种等可能的情形 • 正正, 正反, 反正, 反反. • A发生, 即第一次掷得正面朝上可能结果: • 正正, 正反. • 因此, P(A)=2/4=1/2. • B发生, 即第二次掷得正面朝上可能是 • 正正, 反正. • 因此, P(B)=2/4=1/2. • 我们还可以看到A, B同时发生的情形只有一种: • 正正. • 因此 P(AB)=1/4. • 由条件概率的计算公式可知

  19. 独立事件 • 一般而言，条件概率P(B|A)不等于绝对概率P(B), • 如果P(B|A)=P(B), • 则这意味着事件A已发生的知识不能影响我们对事件B发生的推测. • 这时我们称A独立于B

  20. 独立是相互的 • A独立于B  P(B|A)=P(B) • P(AB)=P(A)P(B)  • ( + P(B)>0 ) • P(A|B)=P(A)  B独立于A

  21. 容易证明,若两事件A、B独立，则 也相互独立. 证明: 仅证A与 独立 P(A )= P(A - AB) =P(A)[1- P(B)]= P(A) P( ) 故A与 独立 . A、B独立 概率的性质 = P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)

  22. 多个事件的独立性

  23. 对于三个事件A、B、C，若 P(AB)= P(A)P(B) 四个等式同时 P(AC)= P(A)P(C) 成立,则称事件 P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 独立. 多个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件：

  24. 设A1,A2, …,An是n个事件，如果对任意k (1<k n),任意1 i1<i2< …<ik n,具有等式 则称A1,A2, …,An为相互独立的事件. 推广到n个事件的独立性定义,可类似写出： 包含等式总数为：

  25. 请注意多个事件两两独立与相互独立 的区别与联系 对n(n>2)个事件 两两独立 相互独立 ?

  26. 例如 甲、乙两人向同一目标射击，记A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？ • 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 . （即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）

  27. 应用例 • 有三名队员彼此独立地向同一目标射击，集中率分别为 0.9, 0.8, 0.7, 求目标被击中的概率 • Ai: 第i人击中目标 • B: 目标被击中 • B: 至少有一人击中目标 • B=A1+A2+A3 • Ω\B= Ω\(A1+A2+A3)= • P(B)=1 – P(Ω\B)=

  28. 概率论在法庭上的应用

  29. 全概率公式和贝叶斯公式 • 主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0

  30. 全概率公式 与 应用例 • 完备事件组 与 事件的分解 • 公式（特例） • 应用 • 一般公式

  31. 完备事件组 与 事件的分解 • 设 A1、A2、A3 • 满足: 两两互斥：当i<>j ，AiAj=Φ；且 A1+A2+A3= Ω • B=BΩ=B(A1+A2+A3)=BA1+BA2+BA3

  32. 全概率公式 • B= A1B+A2B+A3B， • A1B、A2B、A3B两两互斥 • P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)

  33. 应用例 • 根据某地气象和地震资料知：大旱年、大涝年、正常年的概率分别为 0.6， 0.3， 0.4, 求当地有地震的概率 • 设B:有地震 （ 求 P(B) ） • A1 A2 A3 分别表示 • 大旱年、大涝年、正常年

  34. 例 10 • 自学

  35. 一般公式

  36. 全概率公式: 设Ω为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n, 则对任一事件B，有 称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.

  37. 全概率公式的来由, 不难由上式看出: “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和. 它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.

  38. 我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是 P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.

  39. 贝叶斯公式

  40. 1红4白 1 2 3 实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因” 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 或者问: 该球取自哪号箱的可能性最大? 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.

  41. 接下来我们介绍为解决这类问题而引出的 贝叶斯公式

  42. 2 3 ? 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 1红4白 1

  43. 1红4白 1 2 3 ? 某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率. 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 求P(A1|B) 运用全概率公式 计算P(B) 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式

  44. 贝叶斯公式： 设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n, 另有一事件B，它总是与A1,A2,…,An 之一同时发生，则 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.

  45. 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.

  46. 则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 例 3某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 求P(C|A).

  47. 由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得: P(C｜A)= 0.1066 现在来分析一下结果的意义. 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ 2. 检出阳性是否一定患有癌症?

  48. 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ 如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(C｜A)= 0.1066 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍. 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.

  49. 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.

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