Cours de Graphes

Presentation Transcript

Alexandra Bac - Marc Gengler Azeddine Zidouni

Marc Gengler

Marc.Gengler@esil.univmed.fr

18h de cours

24h de TD

… et un examen

Cours de graphes 1 - Intranet

Les grandes lignes du cours

Définitions de base
Connexité
Les plus courts chemins
Floyd-Warshall, Dijkstra et Bellmann-Ford
Arbres
Arbres de recouvrement minimaux
Problèmes de flots, Ford & Fulkerson
Coloriage de graphes
Couplage
Chemins d’Euler et de Hamilton
Problèmes NP-complets

Bibliographie

Tout ce qui contient

graphes, graphs.

Internet

souvent, c’est très simplifié ou très dense,
et pas toujours correct.

Mes choix

Introduction to Algorithms, Leiserson et al.
Algorithms, Sedgewick.
Fundamental Algorithms, Knuth.
Graphes, Berge.
Wikipedia.

L E S

D E F I N I T I O N S

D E B A S E

Définitions de base-----------------------------------------------------------------

Il y a des sommets ! (vertex, vertices)
Il y a des arêtes ( bi-directionelles ) ! (edge)
Il y a des arcs ( mono-directionnels ) ! (arc)

Formellement :
Il y a l’ensemble V des sommets.

Il y en a | V | .
La complexité est fonction du nombre de sommets.

Il y a l’ensemble E des arcs et arêtes.

C’est une partie du produit cartésien V x V .

( a , b ) e E signifie que l’arc du

sommet a vers le sommet b existe.

Formellement :

Il y en a | V | .

E peut être réflexif , irréflexif ou ni l’un, ni l’autre.
E peut être symétrique , anti-symétrique ou ni - ni.

Graphe non orienté !

Graphe orienté !

Formellement :

Il y en a | V | .

E peut être réflexif , irréflexif ou ni l’un, ni l’autre.
E peut êtresymétrique , anti-symétrique ou ni - ni.
E peut être transitif , ou non-transitif .

Un graphe G est défini comme

G = ( V , E )
où V est un ensemble de sommets et E un ensemble d’arcs entre ces sommets.

Il y a des multi-graphes qui sont correspondent au cas où E est un multi-ensemble (plusieurs arêtes et/ou arcs entre deux sommets).
Il y a des graphes pondérés qui correspondent au fait l’on attache des poids aux arcs ou arêtes (entiers par exemple).

12

25

15

Sous-graphe G’ d’un graphe G :

Le graphe G’ = ( V’ , E’ ) est un sous-graphe

du graphe G = ( V , E ) , si :

V’ V
E’ E V’ x V’

U

Les sommets de G’ sont parmi ceux de G .

U

v

Les arcs et arêtes de G’ sont
parmi ceux et celles de G et
se limitent aux sommets de G’ .

R E P R E S E N T A T I O N

D E S

G R A P H E S

Représentation des graphes-----------------------------------------------------------------

Représentation des données :
Nous indexons (numérotons) les sommets.
Nous représentons les arcs et les arêtes.
Nous obtenons une matrice M de taille n x n qui comporte des valeurs binaires.
M ( a , b ) est vrai si et seulement si l’arc ( a , b ) existe !

VERS

1

2

3

4

5

6

1

L’existence ou non

de l’arc ( 2 , 5 ) ! ! !

2

3

4

5

4

6

1

DEPUIS

6

2

3

5

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

4

Un tableau

de listes !

F

V

F

4

F

V

F

V

F

5

V

F

1

2

3

F

V

F

3

F

V

F

V

3

6

Parfois, le graphe est peu dense !

Nous mémorisons juste les indices

des colonnes différentes de Faux !

Il faut

( | V | + | E | ) * log( | V | )

bits !

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

Les voisins d’un sommet « u » :

Les voisins sortants : V+ ( u )

Les voisins entrants : V- ( u )

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 }

F

V

F

V

F

V

V- ( 3 ) = { 4 , 5 , 6 }

V+ ( u ) = { v e V | ( u , v ) e E }

V- ( u ) = { v e V | ( v , u ) e E }

Si le graphe est symétrique :

V ( u ) = V+ ( u ) = V- ( u )

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

Le degré d’un sommet « u » :

Le degré sortant : D+ ( u )

Le degré entrant : D- ( u )

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

Le degré d’un graphe G = ( V , E ) :

D( G ) = max { D ( u ) }

F

V

F

V

u e V

Si le graphe est symétrique :

D ( u ) = D+ ( u ) = D- ( u )

D+ ( u ) = | V+ ( u ) |

D- ( u ) = | V- ( u ) |

L E S

C H E M I N S

Les chemins-----------------------------------------------------------------

Les chemins :
Un chemin de longueur n , de u vers v est :
telle que

u = w et v = w
( w , w ) est une arête ou un arc, pour tout i .

Le chemin est orienté s’il comporte des arcs, non orienté s’il est fait d’arêtes uniquement.
Le chemin ( u ; u ) , de u à lui-même, existe toujours !

( w , . . . , w )

n+1

1

n+1

1

i

i+1

Les chemins-----------------------------------------------------------------

Notations et propriétés sur les chemins :
Nous noterons ( c’est non standard ) :

( u , v ) l’arête ou l’arc, i.e. le chemin de longueur 1 .
( u ; v ) le chemin de longueur quelconque.

Pour tout chemin non orienté ( u ; v ) du graphe G , nous pouvons construire le chemin ( v ; u ) dans G .

Les chemins-----------------------------------------------------------------

Preuve ( induction sur la longueur du chemin ) :
Si u et v sont voisins,

le chemin ( u ; v ) est en fait l’arête ( u , v )
et le chemin ( v ; u ) sera l’arête ( v , u ) .

Si u et v ne sont pas voisins,

le chemin ( u ; v ) est une arête ( u , t ) suivie de ( t ; v )
par induction sur la longueur, le chemin ( v ; t ) existe,
( v ; u ) est la concaténation de ( v ; t ) et l’arête ( t , u ) .

Les chemins-----------------------------------------------------------------

Notations et propriétés sur les chemins :
Nous noterons ( c’est non standard ) :

( u , v ) l’arête ou l’arc, i.e. le chemin de longueur 1 .
( u ; v ) le chemin de longueur quelconque.

Pour tout chemin non orienté ( u ; v ) du graphe G , nous pouvons construire le chemin ( v ; u ) dans G .
Dans un graphe G , l’existence du chemin orienté ( u ; v ) n’implique pas l’existence d’un chemin de retour ( v ; u ) .

u

v

Les chemins-----------------------------------------------------------------

Cycles et circuits :
Un cycle est un chemin non orienté ( u ; v ) pour lequel u coïncide avec v .
Un circuit est un chemin orienté ( w ; t ) pour lequel w coïncide avec t .

u = v

w = t

Les chemins-----------------------------------------------------------------

Chemins simples :
Un chemin ( u ; v ) , avec u différent de v , est simple si et seulement si aucun sommet n’est répété dans la séquence :

( u , . . . , v )

Chemin simple ( u ; v )

u

w

v

Chemin non

simple ( w ; t )

t

L E M M E

D E

K Ö N I G

Lemme de König-----------------------------------------------------------------

Lemme de König :
De tout chemin non simple ( u ; v ) , nous pouvons extraire un chemin de u vers v qui est simple et plus court que le chemin initial.

( u , . . . , w , . . . , w , t , . . . , v )

t

u

w

v

Lemme de König-----------------------------------------------------------------

Lemme de König :
De tout chemin non simple ( u ; v ) , nous pouvons extraire un chemin de u vers v qui est simple et plus court que le chemin initial.

( u , . . . ,w , . . . , w , t , . . . , v )

t

u

w

v

Lemme de König-----------------------------------------------------------------

Tout cycle ou circuit est

soit, un cycle ou circuit élémentaire, c’est-à-dire devient un chemin simple si l’on en enlève une arête ou un arc,
soit, une réunion de cycles et/ou circuits élémentaires.

Réunion de cycles

élémentaires :

Cycle élémentaire :

L E S

C O M P O S A N T E S

C O N N E X E S

1

2

3

4

5

6

Les composantes connexes-----------------------------------------------------------------

1

2

3

4

5

6

La composante connexe de u :

La composante sortante : C+ ( u )

La composante entrante : C- ( u )

F

V

F

V

F

V

F

V

F

C+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

F

V

F

C- ( 4 ) = { 1 , 2 , 4 }

4

F

V

F

V

1

C+ ( u ) = { v e V | ( u ; v ) existe }

C- ( u ) = { v e V | ( v ; u ) existe }

6

2

Si G est symétrique : C ( u ) = C+ ( u ) = C- ( u )

3

5

Pour un graphe non orienté :
La composante connexe de u est :

réflexive, vous pouvez rester où vous êtes !
symétrique, les chemins de retour existent !
transitive, vous pouvez concaténer des chemins !

Une composante connexe est une classe d’équivalence !
Un graphe non orienté est partitionné en ses classes d’équivalence !

1

2

3

4

5

6

1

Nous partons d’une

relation symétrique !

2

3

4

5

6

V

F

V

F

Nous fermons réflexivement !

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

4

F

V

1

6

La fermeture réflexive d’une

relation R est la plus petite

relation réflexive qui contienne R .

2

3

5

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

Nous fermons transitivement !

V

F

V

F

V

F

V

F

4

F

V

1

6

La fermeture transitive d’une

relation R est la plus petite

relation transitive qui contienne R .

2

3

5

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

V

F

V

F

V

F

Nous fermons transitivement !

F

V

F

V

F

3

F

V

1

6

Si nous renumérotons !

2

4

5

Un principe de décomposition :
Souvent, le traitement appliqué à un graphe non connexe

consiste à appliquer ce même traitement indépendamment

sur chacune des composantes connexes !

Dans ce cas, on ne perd rien

en supposant G connexe !

P O U R U N

G R A P H E

O R I E N T E . . .

Pour un graphe orienté :
Un sous-ensemble X des sommets d’un graphe orienté est fortement connexe si nous pouvons aller de n’importe quel sommet vers n’importe quel autre sommet.
Proposition :

Une composante est fortement

connexe si et seulement si chaque

sommet se trouve sur un circuit.

Preuve :

=> : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et ( u ; v ; u ) .
<= : Soit ( u ; v ) de la forme ( u ; w ; v ).

Pour w bien choisi, le circuit ( w ; v ; w ) existe !

Nous recommençons le raisonnement pour ( u ; w ).

u

w

v

Pour un graphe orienté :
Un graphe orienté est quasi-fortement connexe s’il existe un sommet depuis lequel nous pouvons atteindre tous les autres sommets. Un tel sommet sera appelé racine.

Composante

fortement

connexe !

D I S T A N C E S ,

D I A M E T R E ,

. . .

Distances, diamètre, . . .-----------------------------------------------------------------

Distances et diamètre :
La distance d ( u , v ) entre un sommet u et un sommet v est :

la longueur du plus court chemin (forcément simple) de u vers v , si celui-ci existe,
infini, sinon.

Le diamètre d’un graphe connexe est la distance entre ses sommets les plus éloignés :

D ( G ) = max { d ( u , v ) }

u , v e V

Ecarts, centre et diamètre :
L’écart e ( u ) d’un sommet u d’un graphe connexe est :

la distance vers le sommet v le plus loin de u :

e ( u ) =max { d ( u , v ) }

Un sommet u est au centre de G si

e ( u ) =min { e ( v ) }

D ( G ) = max { e ( v ) }

v e V

Lemme des plus courts chemins :
Si le plus court chemin de u vers v passe par w ,

alors sa partie préfixe de u vers w est aussi le plus

court chemin de u vers w .

Le plus court chemin de u à v !

u

w

v

Le plus court chemin de u à w !

Le raisonnement est par l’absurde :

S’il y avait plus court pour aller de u à w , il y

aurait aussi plus court pour aller de u à v !

Parfois, on parle du plus court chemin

et on pense au chemin le plus léger !

Poids d’un chemin :
Dans un graphe pondéré, le poids d’un chemin est la somme des poids de ses arcs et arêtes.
Nous pouvons alors, de manière évidente, définir le chemin le plus léger de u vers v .
Le chemin le plus léger (poids) ne coïncide pas forcément avec le chemin le plus court (nombre d’arcs et arêtes).
Le plus court chemin correspond au chemin le plus léger avec des poids qui valent tous unité.
Les poids ne vérifient pas forcément l’inégalité triangulaire !

25

12

10

N O S

P R E M I E R S

A L G O R I T H M E S

Connexité & plus courts chemins-----------------------------------------------------------------

Sur un graphe non orienté, nous allons calculer :

les composantes connexes !

Sur une composante connexe, nous allons calculer :

les plus courts chemins !

Nous rajoutons une pondération strictement positive et nous allons calculer :

les chemins les plus légers !

Nous utilisons trois algorithmes :

un algorithme par vague, c’est un parcours en largeur,
un algorithme par multiplication de matrices,
l’algorithme de programmation dynamique Floyd-Warshall.

Pour chacun d’entre eux, il s’agit de savoir

s’il arrive à résoudre le problème en question
et quelle est la complexité du calcul ?

L A

V A G U E

L’algorithme par vague :

Nous choisissons un sommet sec et le mouillons,
nous mouillons ses voisins,
nous mouillons les voisins des voisins , . . .

Attention, dans un graphe il peut y avoir des cycles ! ! !

Il faut éviter de tourner en rond !
Ici, nous ne faisons rien pour un sommet déjà mouillé !

A l’issu de ce calcul

nous avons déterminé une composante connexe
et nous recommençons sur l’éventuel reste du graphe !

Complexité : Q ( | E | ) = O( | V |^2 )

Chaque arête est visitée une et une seule fois !

La vague

Multiplication

Floyd-Warshall

Q ( | E | ) =

O ( | V |^2 )

Connexité

Plus courts

Plus légers

L A

M U L T I P L I C A T I O N

D E

M A T R I C E S

La multiplication de matrices :

Nous prenons une matrice avec des 0 et des 1 ,
nous la fermons réflexivement (des 1 sur la diagonale),
nous effectuons le calcul suivant :

M * M’ ( i , j ) = max M ( i , k ) * M’ ( k , j )

Nous calculons : M -> M^2 -> M^4 -> . . .
Propriété : M^( 2 * i ) = M^i * M^i comporte tous les chemins de longueur au plus 2 * i .
Il suffit de calculer M^k avec k >= | V | - 1 = n - 1 (le plus long chemin possible et donc tous les chemins) !
Il suffit de O ( log( | V | ) ) élévations au carré !

k

Preuve de la propriété :

La matrice M fermée réflexivement contient tous les chemins de longueur 0 ou 1.
Hypothèse d’induction : M^i contient tous les chemins de longueur au plus i .

M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1

 max_k M^i ( u , k ) * M^i ( k , v ) = 1

 $ w tel que M^i ( u , w ) * M^i ( w , v ) = 1

 M^i ( u , w ) = 1 et M^i ( w , v ) = 1

 $ des chemins ( u ; w ) et ( w ; v ) , de longueur au plus i .

 $ un chemin ( u ; v ) de longueur au plus 2 * i .

En effet, il suffit de prendre le chemin ( u ; w ; v ) .

La vague

Multiplication

Floyd-Warshall

Q ( | E | ) =

O ( | V |^2 )

Q ( | V |^3 *

log( | V | ) )

Connexité

Beaucoup plus cher

que la vague ! ! !

Plus courts

Plus légers

L ’ A L G O R I T H M E

D E

F L O Y D - W A R S H A L L

La multiplication recalcule de façon répétée les chemins courts. Si M^i ( u , v ) = 1 , alors

M^( 2 * i ) ( u , v ) = max_k M^i ( u , k ) * M^i ( k , v )

= M^i ( u , u ) * M^i ( u , v )

= M^i ( u , v ) = 1

Floyd-Warshall numérote les sommets de 1 à n et :

à l’étape (1) , ne calcule que les chemins dont les intermédiaires sont dans l’ensemble { 1 } ,
à l’étape (2) , ne calcule que les chemins dont les intermédiaires sont dans l’ensemble { 1 , 2 } , en ajoutant les chemins qui passent par le sommet 2 ,

L ’ A L G O R I T H M E

(k-1)

M est donnée, elle comporte tous les chemins avec des intermédiaires parmi { 1 , . . . , k-1 } .
M ( u , v ) est un chemin de u vers v avec des intermédiaires parmi { 1 , . . . , k } .
Soit le sommet k figure dans ce chemin, soit il ne le fait pas.

(k)

/ k

e

(k)

(k-1)

u - . . . - k - . . . - v

}

M ( u , v ) = M ( u , v )

Une opération

de maximisation !

(k-1)

M ( u , k )