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误差理论与测量平差基础

误差理论与测量平差基础. 第 9 章 概括平差函数模型 主讲：王华. 上次课程主要内容回顾. 函数模型 随机模型 法方程 法方程 的 解 观测值 和参数的平差值. 其中，. 主要内容. 基本平差方法的概括函数模型 附有限制条件的条件平差原理 精度评定 各种平差方法的共性与特性. 1. 基本平差方法的概括函数模型. 一、一般条件方程和限制条件方程. （ 9-1-1 ）. （ 9-1-2 ）. （ 9-1-3 ）. （ 9-1-4 ）. 一般条件方程： 含有观测量或同时含有观测量和未知参数的方程（如前 3 式 ）

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Presentation Transcript

  1. 误差理论与测量平差基础 第9章概括平差函数模型 主讲：王华

  2. 上次课程主要内容回顾 • 函数模型 • 随机模型 • 法方程 • 法方程的解 • 观测值和参数的平差值 其中，

  3. 主要内容 • 基本平差方法的概括函数模型 • 附有限制条件的条件平差原理 • 精度评定 • 各种平差方法的共性与特性

  4. 1.基本平差方法的概括函数模型

  5. 一、一般条件方程和限制条件方程 （9-1-1） （9-1-2） （9-1-3） （9-1-4） 一般条件方程：含有观测量或同时含有观测量和未知参数的方程（如前3式） 限制条件方程：仅含有未知参数而无观测量的方程（如最后一式） 观测方程：观测量为未知参数函数所列立的方程（如间接平差）

  6. 二、参数与平差方法 • 条件平差：参数个数u=0,r=n-t,条件方程个数c=r+u=r。 • 附有参数的条件平差：参数个数u,0<u<t，条件方程的个数c=r+u。 • 间接平差：参数个数u=t,条件方程个数c=r+u=r+t=n。 • 附有限制条件的间接平差：参数个数u，u>t,u个参数中有t个独立的参数，有s个不独立的参数，方程个数c=r+u=n+s(r=n-t,u=t+s),即可列n个观测方程，s个限制条件方程。 • 独立参数的个数与一般条件方程总数 • 独立参数个数的取值范围：0≤u≤t; • 方程总数：c=r+u； • 一般条件方程个数c的取值范围：r≤c≤n，当u=0时（独立参数的下限）,应列c=r 个一般条件方程（条件平差）；当u=t时（独立参数的上限），应列出c=n 个一般条件方程（间接平差）。

  7. 三、概括平差函数模型 一般而言，对于任意一个平差问题，观测值的个数是n，必要观测数是t，则多余观测数是r。 若选用了u个参数，不论u<t、u=t或u>t，也不论参数是否函数独立，每增加1个参数则相应地多产生1个方程，故总共应列出r+u个方程。 如果在u个参数中存在s个函数不独立的参数，或者说，在这u个参数（包括u<t、 u=t或u>t的情况，但是其中没有t个独立参数的情况）之间存在s个函数关系式，则应列出s个参数的限制条件方程和c=r+u-s个观测值和参数的一般条件方程。 因此，就形成了概括平差的函数模型：

  8. 概括平差函数模型中一般条件方程与限制条件方程的个数的关系概括平差函数模型中一般条件方程与限制条件方程的个数的关系 一般条件方程的个数c与限制条件方程个数s之和等于多余观测数r与所选参数个数u之和，即 c+s=r+u。 若不相等，则说明所列出的条件方程个数少于或多于应有个数。如果c+s<r+u,说明少列了某些条件方程，平差后求得的结果无法使几何模型完全闭合。如果c+s>r+u,说明所列的条件方程存在线性相关的情况，致使解求待求参数困难。 附有限制条件的条件平差函数模型的自由度 r=c-u+s。

  9. 2.附有限制条件的条件平差原理

  10. 一、数学模型 （9-2-1） （9-2-2） （9-2-3） 式中 且c=r+u－s，s>r，s<u，系数阵秩分别为 R(A)=c，R(B)=u，R(C)=s 即A为行满秩阵，B为列满秩阵，C为行满秩阵，（9-2-1）、（9-2-2）各式条件方程相互独立。 随机模型

  11. 二、基础方程及其解 在附有限制条件的条件平差的函数模型中，待求量是n个观测值的改正数和u个参数，而方程的个数是c+s，由于n+u>c+s，所以有无穷多组解。为此，在无穷多组解中求出满足的一组解，应当按照求条件极值的方法组成函数： （9-2-5） 将上式分别对V和 求偏导数并令其等于零，得 转置后得： （9-2-6） （9-2-7）

  12. 1、附有限制条件的条件平差的基础方程： （9-2-1） （9-2-2） （9-2-6） （9-2-7） 此时，方程总数为c+s+n+u个，待求量为n个改正数，u个参数，c个对应于一般条件方程的联系数，s个对应于限制条件的联系数，未知数的个数等于方程的个数，故有唯一解。 2、附有限制条件的条件平差的求解过程： 由式 （9-2-6）求得改正数方程： （9-2-8） 将（9-2-8）代入式 （9-2-1） ，并顾及 ，则有 法方程： （9-2-10）

  13. 法方程： 以 左乘法方程中的第一式，得 （9-2-11） 将K代入第二式，得 （9-2-12） 若令 （9-2-13） （9-2-14） 则有 解得 （9-2-15） 将 代入式法方程第三式得 （9-2-16） 令 则有 （9-2-18）

  14. 解式 ，得 （9-2-19） 将Ks 代入式 ，整理得 （9-2-20） （9-2-21） 进一步求得 （9-2-22） （9-2-23）

  15. 3.精度评定

  16. 一、单位权方差的估计公式 （9-3-1） VT PV的计算： 据 再据 ， 将BT K=－CT KS和 代入上式，得 （9-3-2） 再将 和 ， 代入上式，得 （9-3-3）

  17. 二、协因数阵的计算 1、向量的基本表达式

  18. 2、各基本量的协因数阵和互协因数阵

  19. 4.各种平差方法的共性与特性

  20. 一、各种平差函数模型的相同点 待求未知数个数多于方程个数，具有无穷多组解； 为求得唯一解，都采用了最小二乘原理； 对于同一个平差问题，无论采用何种函数模型，其平差结果（平差值及其精度）相同。 二、当前采用较多的平差方法：间接平差法和附有限制条件的间接平差法 原因： 误差方程形式统一，规律性强，便于计算机程序设计； 所选参数往往是平差后所需的最后成果（平差元素：高程、坐标、观测值的平差值（角度、方向值、边长等））

  21. 三、附有限制条件的条件平差函数模型与四种基本平差方法的关系三、附有限制条件的条件平差函数模型与四种基本平差方法的关系 （9-2-1） 函数模型： （9-2-2） 1、当系数矩阵B=0,C=0时，函数模型为条件平差AV+W=0 2、当系数矩阵C=0时，函数模型为附有参数的条件平差 3、当系数矩阵A=-I,C=0时，函数模型为间接平差 4、当系数矩阵A=-I时，函数模型为附有限制条件间接平差 所有其他平差方法的函数模型都是附有限制条件的条件平差的特例，只要将其系数矩阵A、B、C取“-I”或“0”即可，故将附有限制条件的条件平差称之为概括平差的函数模型。

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