1 / 16

§3.4 均方逼近

§3.4 均方逼近. 假定 …, 分别是给定的零次，一次，二次， …, n 次多项式 . 我们用 表示它们的线性组合： ， (4.1) 其中，各 是常数参数 . 这时，对各种 值，对应的都是次数不超过 n 的多项式，即 . 对［ a,b ］上 ( 或（ a,b ）上）给定的函数 ，用形如 (4.1) 的多项式 对权 均方逼近问题 就是要找出 ，使误差平方的加权积分

maegan
Download Presentation

§3.4 均方逼近

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. §3.4 均方逼近

  2. 假定 …, 分别是给定的零次，一次，二次，…,n次多项式.我们用 表示它们的线性组合： ，(4.1) 其中，各 是常数参数.这时，对各种 值，对应的都是次数不超过n的多项式，即 .对［a,b］上(或（a,b）上）给定的函数 ，用形如(4.1)的多项式对权均方逼近问题就是要找出 ，使误差平方的加权积分 （4.2） 成为最小，如果这样的 存在，我们就称与它们对应的多项式 是 在区间［a,b］上（与在多项式集合(5.1)内）对权 的最佳均方逼近多项式. 4.1 均方逼近问题

  3. 积分(4.2)中的权函数 是在(a,b)上非负的可积函数且积分为正.它在逼近问题中的作用是强调逼近多项式 在(a,b)的各个部分上对 有不同的近似程度.但是，为了简便起见，在本节我们主要讨论权函数 的情形.（对于加权均方逼近的情形的讨论，基本上类似于此简单情形.） 假设f 与 是两个定义在区间[a,b]上平方可积实值函数，定义它们的内积为 定义 的范数为 这时，积分(4.2)(取 ) 变为 （4.3） 我们现在来考虑在这个均方逼近问题中，最佳均方逼近多项式 的存在性和唯一性问题.首先将(4.3)中的定积分看成为参数 的函数，则有

  4. （4.4） 我们指出，(4.4)式中右端最后一项 是对称正定二 次型.事实上，对所有 与 , 成立，且由(4.3)式 看出积分 对于[a,b]上任意连续函数 都是非负的.特别地， 如取 ,则由(4.4)式得出，对所有 （4.5） 另一方面，按假定 是 次多项式，因而 在[a,b] 上连续且彼此线性无关.因此，当且仅当所有 时，上式左 端的定积分为零，于是， =0.此表明(4.4)式中的二 次型为对称正定的.

  5. 为了确定出使积分(4.3)变为最小的那些参数值 根据多元微分学的知识，这些参数值如果存在，则必须满足下 列n+1阶性线性代数方程组： 或者 (4.6) 通常称(4.6)为法方程组，按前面的讨论，它的n+1阶系数矩阵 （4.7）

  6. 是实对称的，且满足 。由第一章§3定义3.5，A 是对称正定的n+1阶矩阵，于是，根据那里的定理3.6，它是 非奇异矩阵.因此，法方程组(4.6)有唯一解，记为 .这样，我们证明了使积分(4.3)取最小的形如(4.1)的 至多只有一个. 下面来证明对应于 的形如(5.1)的多项式 （4.8） 确实是 （在形如(4.1)的所有多项式中的）最佳均方逼近 多项式.事实上，

  7. . （4.9） 这里，因为 是方程组(4.6)的解，故有 从(4.9)式得出

  8. 此式表明，(4.8)式中的 就是 的在形如(4.1)的所 有多项式中的最佳均方逼近多项式. 这时，根据(4.4)，(4.5)与(4.6)式，积分 的最小值为

  9. 将前面的讨论总结为以下定理. 定理4.1假设 是给定的多项式系，这里 是 次多项式，又设 是［a,b］上的函数，它使得积 分(4.3)对一切参数 有意义，则在形如(4.1)的所有 多项式 之中存在唯一的多项式 使得积分（ 4.3）达到最小，这里 是法方程组(4.6)的唯一解， 并且，积分(4.3)的极小值为 （4.10） 通常我们将(4.10)式中的值的平方根称为 逼近 的均方误差，实际上由前面看到，这个均误差的值就等于

  10. 我们指出，对于加权 积分(4.2)情形，定理（4.1）稍 加修改后仍然有效。

  11. 4.2求解法方程组（4.6）中的问题 由前面讨论知道，当取定多项式系 之后， 为了求出已知函数 在给定区间［a,b］上(形如(4.1)的所 有多项式中的)最佳均方逼近多项式，只需要求解带有对称正 定系数矩阵(4.7)的法方程组(4.6)便可以了.但是要注意，如 若多项式系 选择不当，当n较大时，可能出现法 方程组是病态甚至严重病态的情形.为了说明这个问题，我们 讨论下面实例. 例4.2假定在(4.3)式中，取 试求 在区间［0,1］上的(在形如(4.1)的所有多项式中的)最佳均方 逼近多项式. 当n较小时，譬如取n=2,法方程组(4.6)这时为下面的三元 线性方程组:

  12. (4.11) 容易解出 因此，在形如 的所有多项式中， 是函数 在［0,1］上的最佳均方逼近多项式. 倘若n较大，譬如n=5，法方程组(4.6)变为

  13. 事实上，通过内积计算可得 方程组（4.12）中的系数矩阵实际上就是我们在第一章 §7例7.2中讨论过的六阶希尔伯特矩阵 ，它的条件数， 于是，(4.12)是一个病态的方程组，因而 难于在计算机上求得较为精确的计算解 。同时，当n 变大时， 急剧变大，法方程组的病态程度更趋严 重. 为了克服上述毛病，通常可以取 是［a,b］上的规范的正交多项式系.

  14. 这时，由于 ，法方程组(4.6)变为十分简单 的形式 而且，当n变大时（即在函数系 中增加 某些函数对时），原先算出的 值仍保持有效.让我们考虑 以下例子. 例4.3假如取 试求函数 在区间[-1,1]上的最佳均方逼近多项式. 可以直接验证， 是[-1,1]上的规范的正交多项式 系，即有:

  15. 因此，由(4.13)式得出 经过计算可得法方程组的解为 由此可推得 在区间［-1,1］上（在形如(4.1)式 的多项式类中）的最佳均方逼近多项式是 （4.14） 此外，假如增加 ，使得 是[-1,1]的规范的正交 多项式系，这时，只需在上述计算结果基础上再求

  16. 就可以了，并且，所求的最佳均方逼近多项式便是在原有结就可以了，并且，所求的最佳均方逼近多项式便是在原有结 果(4.14)式中加上 一项所得到的多项式. 最后，我们指出，在均方逼近问题中， 除了多项式系外，还可以取为[a,b]上的线性无关的其它的 连续函数系，这时，本节前面的讨论仍然有效.有关这一方 面的内容可见习题题3,4.

More Related