slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Ψηφιακά Κυκλώματα PowerPoint Presentation
Download Presentation
Ψηφιακά Κυκλώματα

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 59

Ψηφιακά Κυκλώματα - PowerPoint PPT Presentation


  • 72 Views
  • Uploaded on

Ψηφιακά Κυκλώματα. Ορισμοί. Γενικοί ορισμοί: Σύνολο (set) είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που έχουν μία κοινή ιδιότητα x S : το αντικείμενο x είναι μέρος του συνόλου S

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Ψηφιακά Κυκλώματα' - madrona


Download Now An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide2
Ορισμοί

Γενικοί ορισμοί:

Σύνολο (set) είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που έχουν μία κοινή ιδιότητα

x S : το αντικείμενο x είναι μέρος του συνόλου S

Ένας δυαδικός τελεστής (binary operator) ορισμένος σε ένα σύνολο S είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε ζεύγος στοιχείων του S ένα μοναδικό στοιχείο από το S

slide3
Ορισμοί
  • Αξιώματα για το σχηματισμό αλγεβρικών δομών
  • Κλειστότητα: Ένα σύνολο S είναι κλειστό ως προς ένα δυαδικό τελεστή εάν για κάθε ζεύγος στοιχείων του S ο δυαδικός τελεστής αντιστοιχίζει ένα στοιχείο που ανήκει στο S. Σύνολο φυσικών αριθμών Ν={1,2,3,4…} κλειστό ως προς τον δυαδικό τελεστή (+) με τον κανόνα της πρόσθεσης. Το ίδιο σύνολο δεν είναι κλειστό ως προς τον τελεστή (-) διότι 2-3 = -1 και το (-1) Ν.
  • Προσεταιριστικότητα: Ένας δυαδικός τελεστής * στο σύνολο S είναι προσεταιριστικός όταν:
  • (x*y)*z = x*(y*z) για όλα x,y,z S
slide4
Ορισμοί
  • 3. Αντιμεταθετικότητα: Ένας δυαδικός τελεστής * στο σύνολο S είναι αντιμεταθετικός όταν:
  • x*y = y*x για όλα x,y S
  • 4. Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου: Ένα σύνολο S έχει ουδέτερο στοιχείο ως προς ένα τελεστή * ένα υπάρχει στοιχείο e με την ιδιότητα:
  • e*x = x*e =x για κάθε x S
  • (Στο σύνολο των ακεραίων Ι={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
  • ουδέτερο στοιχείο είναι το 0 ως προς την πράξη της πρόσθεσης
  • Αντίστροφο: Ένα σύνολο S που έχει το ουδέτερο στοιχείο e ως προς ένα δυαδικό τελεστή * λέμε ότι έχει αντίστροφο όταν για κάθε x S υπάρχει y S τέτοιο ώστε :
  • x * y = e
  • (Στο σύνολο των ακεραίων με τον τελεστή της πρόσθεσης και ουδέτερο το e=0 αντίστροφο του α είναι το (-α)
slide5
Ορισμοί

6. Επιμεριστικότητα: Εάν * και . είναι δύο δυαδικοί τελεστές στο S ο * λέγεται ότι είναι επιμεριστικός ως προς τον . όταν:

x * (y.z) = (x*y) . (x*z)

boole
Άλγεβρα Boole
  • To 1854 o Boole ανέπτυξε την άλγεβρα Boole
  • To 1938 o Shannon εισήγαγε την άλγεβρα διακοπτών
  • Η άλγεβρα Boole είναι μία αλγεβρική δομή ορισμένη πάνω σε ένα σύνολο στοιχείων Β με δύο δυαδικούς τελεστές + και . όπου ικανοποιούνται τα παρακάτω αξιώματα Huntington:
  • 1. Κλειστή ως προς τον +
  • Κλειστή ως προς τον .
  • Ύπαρξη ουδετέρου ως προς +, συμβ. με 0: (x+0 = 0+x = x)
  • Ύπαρξη ουδετέρου ως προς . συμβ με 1: (x.1 = 1.x = x)
  • Αντιμεταθετική ως προς +: x + y = y + x
  • Αντιμεταθετική ως προς . : x . y = y . x
boole1
Άλγεβρα Boole
  • 4. O . είναι επιμεριστικός ως προς +: x.(y+z) = (x.y) + (x.z)
  • Ο + είναι επιμεριστικός ως προς .
  • Για κάθε στοιχείο x B υπάρχει x’ B που ονομάζεται συμπλήρωμα ώστε: x + x’ = 1, x . x’ = 0 (γιατί δεν το λέμε αντίστροφο ??)
  • Υπάρχουν δύο τουλάχιστον x, y B που να είναι x  y
  • Η άλγεβρα Boole ασχολείται με ένα σύνολο στοιχείων B το οποίο δεν ορίσαμε ακόμα
boole2
Άλγεβρα Boole
  • Διαφορές από τη συνηθισμένη άλγεβρα (πεδίο των πραγματικών αριθμών):
  • Ο επιμεριστικός νόμος του + ως προς τον . ισχύει για την άλγεβρα Boole αλλά όχι για τη συνηθισμένη άλγεβρα
  • Η άλγεβρα Βοοle δεν έχει προσθετικά ή πολλαπλασιαστικά αντίστροφα : επομένως δεν υπάρχουν πράξεις αφαίρεσης ή διαίρεσης
  • Το αξίωμα 5 ορίζει έναν τελεστή, που καλείται συμπλήρωμα, ο οποίος δεν υπάρχει στη συνηθισμένη άλγεβρα
  • Η συνηθισμένη άλγεβρα ασχολείται με τους πραγματικούς αριθμούς, που αποτελούν ένα απειροσύνολο. Η άλγεβρα Boole ασχολείται με ένα σύνολο στοιχείων B που δεν είναι απειροσύνολο.
boole3
Άλγεβρα Boole
  • Για να έχουμε μία άλγεβρα Boole πρέπει να έχουμε:
  • Τα στοιχεία του συνόλου Β
  • Τους κανόνες λειτουργίας των δύο δυαδικών τελεστών
  • Το σύνολο των στοιχείων του Β μαζί με τους δύο δυαδικούς τελεστές ικανοποιούν τα έξι αξιώματα του Huntington
boole4
Δίτιμη Άλγεβρα Boole

x y x . y

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

x y x + y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

x x’

0 1

1 0

Ορίζεται πάνω στο σύνολο Β = { 0 , 1 }

Για το ανωτέρω σύνολο και πράξεις ισχύουν τα αξιώματα Huntington

boole5
Δίτιμη Άλγεβρα Boole

Βασικά Αξιώματα :

Αξίωμα 2 (a) x+0 = x (b) x.1 = x (ουδέτερο)

Αξίωμα 5 (a) x+x’ = 1 (b) x.x’ = 0 (συμπλήρωμα)

Αξίωμα 3 (a) x + y = y + x (b) x.y = y.x (αντιμεταθ.)

Αξίωμα 4 (a) x.(y+z) = x.y + x.z (b) x + y.z = (x+y).(x+z) (επιμερ)

Θεώρημα 1(a): x + x = x

Απόδειξη:

x + x = (x+x) . 1 Αξίωμα 2b

= (x+x) . (x+x’) Αξίωμα 5α

= x + x.x’ Αξίωμα 4b

= x + 0 Αξίωμα 5b

= x Αξίωμα 2a

boole6
Δίτιμη Άλγεβρα Boole

Θεώρημα 1(β): x . x = x

Θεώρημα 2(α): x + 1 = 1

Απόδειξη:

x + 1 = 1 . (x+1) αξίωμα 2(β)

= (x + x’) . (x+1) 5(α)

= x + x’ . 1 4(β)

= x + x’ 2(β)

= 1 5(α)

Θεώρημα 2(β): x . 0 = 0

boole7
Δίτιμη Άλγεβρα Boole

Θεώρημα 3: (x’)’ = x

Θεώρημα 4: x + (y+z) = (x + y) + z x(yz) = (xy)z

Θεώρημα 5 (Νόμος De Morgan)

(x + y)’ = x’ . y’ (xy)’ = x’ + y’

Θεώρημα 6 (απορρόφηση)

x + xy = x x.(x+y) = x

Όλα τα θεωρήματα είναι δυνατόν να αποδειχθούν και με πίνακες αλήθειας

boole8
Συναρτήσεις Boole

x y z F

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

Μία συνάρτηση Boole είναι μία έκφραση που σχηματίζεται από δυαδικές μεταβλητές, τους δυαδικούς τελεστές (ΚΑΙ, Η, ΌΧΙ), παρενθέσεις και ένα ίσον. Π.χ.

F = x y z’

Διαφορετικά, μία συνάρτηση Boole ορίζεται με ένα πίνακα αλήθειας.

Π.χ.

F = x’y’z + x’yz + xy’z’ + xy’z = x’y’z + x’yz + xy’

boole9
Συναρτήσεις Boole

Η αλγεβρική έκφραση μιας δεδομένης συνάρτησης Boole δεν είναι μοναδική

Εφαρμογή: Πρόβλημα εύρεσης απλούστερων εκφράσεων για την ίδια συνάρτηση

Δύο συναρτήσεις n δυαδικών μεταβλητών λέγονται ίσες αν παίρνουν την ίδια τιμή και για τους 2n δυνατούς συνδυασμούςτων n μεταβλητών

boole10
Συναρτήσεις Boole

Να αποδειχθεί ότι:

slide17
Κανονικές Μορφές

Θεωρούμε δύο μεταβλητές x και y που συνδέονται με την πράξη AND

Κάθε μεταβλητή μπορεί να εμφανιστεί είτε με την κανονική είτε με την συμπληρωματική της μορφή

Υπάρχουν τέσσερις πιθανοί συνδυασμοί:

x’y’ x’y xy’ xy

Οι όροι αυτοί λέγονται ελαχιστόροι (minterm) ή πρότυπα γινόμενα

n μεταβλητές μπορούν να συνδυαστούν και να δώσουν 2nελαχιστόρους

Με παρόμοιο τρόπο, αν δημιουργήσουμε το άθροισμα (OR) n μεταβλητών προκύπτουν 2n συνδυασμοί που ονομάζονται μεγιστόροι (maxterms) ή πρότυπα αθροίσματα

slide18
Κανονικές Μορφές

Ελαχιστόροι Μεγιστόροι

x y z Όρος Ονομασία Όρος Ονομασία

0 0 0 x’y’z’ m0 x+y+z M0

0 0 1 x’y’z m1 x+y+z’ M1

0 1 0 x’yz’ m2 x+y’+z M2

0 1 1 x’yz m3 x+y’+z’ M3

. . . . . . .

1 1 1 xyz m7 x’+y’+z’ M7

Κάθε μεγιστόρος είναι το συμπλήρωμα του αντίστοιχου ελαχιστόρου

slide19
Κανονικές Μορφές
  • Μία συνάρτηση Boole μπορεί να εκφραστεί αλγεβρικά από τον πίνακα αληθείας σχηματίζοντας έναν ελαχιστόρο για κάθε συνδυασμό των μεταβλητών που δίνει τιμή συνάρτησης 1 και μετά σχηματίζοντας το άθροισμα (OR) όλων αυτών των ελαχιστόρων
  • Μορφή αθροίσματος ελαχιστόρων
  • Για το προηγούμενο παράδειγμα:
  • F = x’y’z + x’yz + xy’z’ + xy’z = m1 + m3 + m4 + m5
  • Θεωρούμε το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης Boole.
  • Η αλγεβρική παράσταση για αυτό το συμπλήρωμα προκύπτει αν από τον πίνακα αληθείας της αρχικής συνάρτησης πάρουμε το άθροισμα των ελαχιστόρων για κάθε συνδυασμό μεταβλητών που δίνει τιμή 0.
  • Είναι F’ = x’y’z’ + x’yz’ + xyz’ + xyz
  • Εάν πάρουμε το συμπλήρωμα της F’ προκύπτει πάλι η αρχική συνάρτηση:
  • (F’)’ = (x+y+z) (x+y’+z) (x’+y’+z) (x’+y’+z’) = M0 . M2 . M6 . M7
  • Μορφή γινομένου μεγιστόρων
slide20
Κανονικές Μορφές
  • Κάθε συνάρτηση Boole μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ελαχιστόρων ή ως γινόμενο μεγιστόρων
  • Εάν μία συνάρτηση δεν είναι σε μορφή αθροίσματος ελαχιστόρων τότε:
  • Την αναπτύσσουμε σε άθροισμα γινομένων
  • Ελέγχουμε αν κάθε γινόμενο περιέχει όλες τις μεταβλητές
  • Αν από κάποιο γινόμενο λείπει μία ή περισσότερες μεταβλητές τότε το πολλαπλασιάζουμε με παράσταση της μορφής (x+x’) όπου το x μία από τις μεταβλητές που λείπουν
  • Να εκφραστεί η F=A+B’C ως άθροισμα ελαχιστόρων
slide21
Κανονικές Μορφές

Να εκφραστεί η F=A+B’C ως άθροισμα ελαχιστόρων

Από τον πρώτο όρο λείπουν οι Β και C. Άρα:

Α = Α(Β+Β’) = ΑΒ + ΑΒ’

Α = ΑΒ(C+C’) + AB’(C+C’) = ABC + ABC’ + AB’C + AB’C’

Από τον δεύτερο όρο λείπει μία μεταβλητή:

Β’C = B’C(A+A’) = B’CA + B’CA’ = AB’C + A’B’C

Aθροίζοντας τους όρους έχουμε

F = ABC + ABC’ + AB’C + AB’C’ + AB’C + A’B’C

Αλλά ο όρος ΑΒ’C εμφανίζεται δύο φορές.

Σύμφωνα με το θεώρημα 1 (x+x = x) μπορούμε να απαλείψουμε τον έναν

Τελικά F=Α’Β’C+ AB’C’ + AB’C + ABC’ + ABC = m1+m4+m5+m6+m7

F(A, B, C) = Σ(1,4,5,6,7)

Παράδειγμα: F = A’B + B’C + C’ = Σ(0,1,2,3,4,5,6)

slide22
Κανονικές Μορφές

Εναλλακτικά μπορούμε να κατασκευάσουμε τον πίνακα αληθείας της F=A+B’C

Από τον πίνακα εντοπίζουμε απευθείας τους 5 ελαχιστόρους

slide23
Κανονικές Μορφές
  • Για να εκφραστεί μία συνάρτηση ως γινόμενο μεγιστόρων πρέπει:
  • να τη φέρουμε σε μορφή γινομένου αθροισμάτων (χρησιμοποιώντας τον επιμεριστικό κανόνα:
  • x + yz = (x+y) (x+z)
  • Στη συνέχεια, σε κάθε άθροισμα όπου λείπει μία μεταβλητή προσθέτουμε τον όρο xx’ (=0 )
  • Να εκφραστεί η F = xy + x’z υπό μορφή γινομένου μεγιστόρων
slide24
Κανονικές Μορφές

Να εκφραστεί η

F = xy + x’z υπό μορφή γινομένου μεγιστόρων

F = xy + x’z = (xy + x’) (xy + z)

= (x + x’) (y + x’) (x + z) (y + z)

= (x’ + y) ( x + z) ( y + z)

Σε κάθε άθροισμα λείπει μία μεταβλητή:

x’ + y = x’ + y + zz’ = (x’ + y + z) ( x’ + y + z’)

x + z = x + z + yy’ = (x + y + z) ( x + y’ + z)

y + z = y + z +xx’ = (x + y + z) (x’ + y + z)

Συνδυάζοντας όλους τους όρους και απαλοίφοντας αυτούς που εμφανίζονται πάνω από μία φορα (x . x = x) προκύπτει:

F = (x+y+z)(x+y’+z)(x’+y+z)(x’+y+z’) = M0 M2 M4 M5

F(x,y,z) = Π(0, 2, 4, 5)

Παράδειγμα:F = A’B + B’C + C’ = Π(7)

slide25
Ψηφιακές Λογικές Πύλες

C

B

E

Οι λογικές συναρτήσεις είναι δυνατόν να υλοποιηθούν με ηλεκτρονικά λογικά κυκλώματα

Τα ηλεκτρονικά κυκλώματα που μπορούν να εκτελέσουν τις βασικές πράξεις της άλγεβρας Boole ονομάζονται πύλες (gates)

Οι δύο τιμές της άλγεβρας Boole αντιστοιχούν συνήθως σε δύο επίπεδα τάσης (π.χ. το λογικό 1 στην τάση +5V, ενώ το λογικό 0 σε τάση 0 V)

slide26
Ψηφιακές Λογικές Πύλες

+VCC

+VCC

+VCC

Vout

Vout

V1

Vout

C

B

V2

V1

V2

E

E

E

E

Πύλη NAND

Πύλη NOR

Πύλη ΝΟΤ

slide27
Ψηφιακές Λογικές Πύλες

x y F

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

AND

KAI

F = xy

x y F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

OR

H

F = x+y

x F

0 1

1 0

NOT

OXI

F = x’

x F

0 0

1 1

Απομονωτής

Buffer

F = x

slide28

x y F

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

NAND

OXI KAI

F = (xy)’

x y F

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

NOR

OYTE

F = (x+y)’

x y F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

XOR

Αποκλειστικό Η

F = xy’+x’y = xy

x y F

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

ΧΝΟR

Αποκλειστικό ΟΥΤΕ

F = xy + x’y = x y

slide29
Επέκταση

Υλοποίηση πύλης AND 3 εισόδων ?

Υλοποίηση πύλης NOR 3 εισόδων ? (x + y + z)’

slide30
Σχεδίαση απλών ψηφιακών κυκλωμάτων

Να σχεδιαστεί ένα σύστημα πλειοψηφίας 2/3. Δηλαδή το σύστημα να έχει τρεις εισόδους και μία έξοδο και η έξοδος να γίνεται ένα μόνο όταν τουλάχιστον δύο είσοδοι είναι 1

2/3

Θα ισχύει:

z = ab + ac + bc

slide32
Απλοποίηση λογικών συναρτήσεων
  • Η απλούστερη μέθοδος είναι με χρήση του χάρτη Karnaugh
  • Ένας χάρτης Karnaugh περιέχει 2nτετραγωνίδια (όπου n ο αριθμός των μεταβλητών της συνάρτησης)
  • Η συνάρτηση απεικονίζεται στο χάρτη αφού γραφεί στη μορφή αθροίσματος ελαχιστόρων
  • Στη συνέχεια τοποθετείται στο αντίστοιχο τετραγωνίδιο του χάρτη η τιμή 1 ή 0 ανάλογα αν η συνάρτηση περιέχει ή όχι τον ελαχιστόρο που αντιστοιχεί στις συντεταγμένες του τετραγώνου
  • Πίνακας Karnaugh δύο μεταβλητών: xy + xy’
slide33
Απλοποίηση λογικών συναρτήσεων
  • Αφού τοποθετηθεί η συνάρτηση στο χάρτη, προσπαθούμε να ομαδοποιήσουμε γειτονικά τετραγωνίδια που περιέχουν την τιμή 1
  • Γειτονικά θεωρούνται τα τετραγωνίδια που διαφέρουν κατά μία μεταβλητή
  • Ο αριθμός των 1 στην κάθε ομάδα θα πρέπει να είναι δύναμη του 2
  • Οι ομάδες αυτές αντιστοιχούν:
  • (α) σε όρους από τους οποίους λείπει μία μεταβλητή
  • (β) σε όρους από τους οποίους λείπουν δύο μεταβλητές
  • (γ) σε όρους από τους οποίους λείπουν τρείς μεταβλητές κ.ο.κ
  • Να απλοποιηθεί η συνάρτηση
    • f(A,B,C) = A’BC’ + A’BC + ABC + AB’C’
slide34
Απλοποίηση λογικών συναρτήσεων

A’B

BC

  • Να απλοποιηθεί η συνάρτηση
    • f(A,B,C) = A’BC’ + A’BC + ABC + AB’C’

BC

00 01 11 10

A

0

1

f(A,B,C) = A’B + BC + AB’C’

slide35
Τροποποιημένη είσοδος

F (x, y, z) = Σ (2,3,4,5)

yz

00 01 11 10

x

0

1

slide36
Τροποποιημένη είσοδος

F (x, y, z) = Σ (2,3,4,5)

yz

00 01 11 10

x

0

1

slide37
Τροποποιημένη είσοδος

F (x, y, z) = Σ (2,3,4,5)

yz

00 01 11 10

x

0

1

F =x’y + xy’

karnaugh
Χάρτες Karnaugh

Να απλοποιηθεί η συνάρτηση

F(x,y,z) = x’yz + xy’z’ xyz’ + xyz

yz

00 01 11 10

x

0

1

F =yz + xz’

slide39
Απλοποίηση

Να υλοποιηθεί η συνάρτηση

F = x’y’ + x’y

(Υλοποίηση με 6 πύλες (2 ΑΝD + 1 OR + 3 αντιστροφείς) )

Μετά την απλοποίηση (έστω με πίνακα Karnaugh)

F = x’

(Υλοποίηση με 1 αντιστροφέα)

karnaugh 4 5
Χάρτες Karnaugh 4-5 μεταβλητών

Να απλοποιηθεί η συνάρτηση

F(w,x,y,z) =Σ(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14)

5 μεταβλητών :

F(A,B,C,D,E) = Σ(0,2,4,6,9,13,21,23,25,29,31)

prime implicants
Prime Implicants
  • Όταν επιλέγουμε γειτονικά τετράγωνα πρέπει να εξασφαλίζουμε:
    • ότι όλοι οι ελαχιστόροι της συνάρτησης καλύπτονται
    • ότι αποφεύγονται πλεονάζοντες όροι
  • Ορισμένες φορές υπάρχουν δύο ή περισσότερες εκφράσεις που ικανοποιούν τα κριτήρια
  • Ένας prime-implicantείναι ένα γινόμενο παραγόντων που σχηματίζεται συνδυάζοντας το μεγαλύτερο αριθμό γειτονικών παραγόντων στο χάρτη
  • Αν ένας ελαχιστόρος στο χάρτη καλύπτεται μόνο από έναν prime-implicant αυτός λέγεται ουσιώδης prime-implicant
prime implicants1
Prime Implicants
  • Έστω η συνάρτηση
  • F (A, B, C, D) = Σ(0, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15)
  • Ένας prime-implicant είναι ουσιώδης αν είναι ο μοναδικός prime-implicant που καλύπτει τον ελαχιστόρο.
  • Οι ελαχιστόροι που απομένουν είναι δυνατόν να καλυφθούν από διάφορους συνδυασμούς prime-implicants
  • Η απλοποιημένη έκφραση για τη συνάρτηση προκύπτει ως το λογικό άθροισμα όλων των ουσιωδών prime-implicants και οποιωνδήποτε από τους υπόλοιπους prime-implicants καλύπτουν τους υπόλοιπους όρους
  • Οι εκφράσεις που προκύπτουν για τη συνάρτηση Boole είναι ισοδύναμες
slide43
Απλοποίηση γινομένων αθροισμάτων

Οι προηγούμενες συναρτήσεις που εξάγονταν από τους χάρτες ήταν σε μορφή αθροίσματος γινομένων

Για την απλοποίηση συναρτήσεων σε μορφή γινομένου αθροισμάτων:

Οι ελαχιστοόροι που δεν περιέχονται στη συνάρτηση (τα 0 στο χάρτη) δίνουν το συμπλήρωμα της συνάρτησης

Η επιλογή των 0 κατά παρόμοιο τρόπο οδηγεί σε απλοποιημένη έκφραση της F'

Το συμπλήρωμα της F' μας δίνει την ίδια την F.

Σύμφωνα δε με το θεώρημα De Morgan, η συνάρτηση που λαμβάνουμε είναι σε μορφή γινομένου αθροισμάτων

Να απλοποιηθεί η F(A, B, C, D) = Σ(0, 1, 2, 5, 8, 9, 10) σε γινόμενο αθροισμάτων

slide44
Συνθήκες Αδιαφορίας

Το λογικό άθροισμα των ελαχιστόρων που αντιστοιχεί σε μία συνάρτηση Boole, προσδιορίζει τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η συνάρτηση έχει τιμή 1.

Η συνάρτηση υποτίθεται ότι έχει τιμή 0 για όλους τους υπόλοιπους συνδυασμούς.

Συχνά, η συνάρτηση δεν προσδιορίζεται για ορισμένους συνδυασμούς.

Οι απροσδιόριστοι ελαχιστόροι ονομάζονται συνθήκες αδιαφορίας

Να απλοποιηθεί η συνάρτηση F(w, x, y ,z)=Σ(1,3,7,11,15) με συνθήκες αδιαφορίας d(w, x, y, z) = Σ(0, 2, 5)

slide45
Υλοποίηση μόνο με πύλες NAND (ΌΧΙ-ΚΑΙ)
  • Απλοποιούμε τη συνάρτηση και την εκφράζουμε ως άθροισμα γινομένων
  • Σχεδιάζουμε μία πύλη NAND για κάθε όρο γινομένου της συνάρτησης που έχει τουλάχιστον δύο παράγοντες. Αυτές είναι οι πύλες του πρώτου επιπέδου
  • Σχεδιάζουμε μία πύλη NAND στο δεύτερο επίπεδο με εισόδους που τροφοδοτούνται από τις εξόδους του πρώτου επιπέδου.
  • Ένας όρος με έναν μόνο παράγοντα χρειάζεται μόνο έναν αντιστροφέα στο πρώτο επίπεδο για να τροφοδοτήσει την πύλη του 2ου επιπέδου
  • Να υλοποιηθεί η F(x, y, z) = Σ(0, 4, 6) μόνο με NAND
slide46
Συνδυαστικά Κυκλώματα

Σε ένα συνδυαστικό ψηφιακό κύκλωμα (Combinational circuit) η έξοδος z είναι συνάρτηση μόνο της κατάστασης της εισόδου

z = f(x)

slide47
Συνδυαστικά Κυκλώματα
  • Για τη σχεδίαση συνδυαστικών κυκλωμάτων με σχετικά χαμηλό αριθμό εισόδων ακολουθούνται τα εξής βήματα:
  • Κατασκευή του πίνακα αληθείας από τα δεδομένα του προβλήματος
  • Εξαγωγή της λογικής συνάρτησης από τον ΠΑ
  • Απλοποίηση της λογικής συνάρτησης
  • Σχεδίαση του λογικού διαγράμματος με χρήση βασικών πυλών
  • Τα μπλοκ λογικής που υλοποιούν μία συνάρτηση μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως δομικά μπλοκ για μια άλλη συνάρτηση
slide48
Δυαδικός Αθροιστής (Ημιαθροιστής)

S = A’B + AB’

C = AB

Η ανωτέρω συνάρτηση δεν απλοποιείται περαιτέρω

slide49
Πλήρης Αθροιστής

x y z

FA

C S

S = x’y’z+x’yz’+xy’z’+xyz

C = xy + xz + yz (απλοποιημ)

slide50
Πλήρης Παράλληλος Αθροιστής

Β1Α1

B2 A2

Bn Αn Cn-1

FA

FA

FA

C1 S1

C2 S2

Cn Sn

Β0Α0

ΗA

. . .

C0 S0

slide51
Αποκωδικοποιητές

Ένας αποκωδικοποιητής είναι ένα συνδυαστικό κύκλωμα που δέχεται n εισόδους(κωδικοποιημένη πληροφορία) και τη μετατρέπει σε m <= 2nεξόδους

Από τις εξόδους, για κάθε συνδυασμό μεταβλητών της εισόδου, είναι μόνο μία ενεργοποιημένη

Ονομάζονται n x m αποκωδικοποιητές

slide52
Αποκωδικοποιητές

Π.χ. αποκωδικοποιητής 3 x 8

C B A y7 y6 y5 y4 y3 y2 y1 y0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

. ………………………………………

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

slide53
Αποκωδικοποιητές

Υλοποιήστε έναν πλήρη-αθροιστή χρησιμοποιώντας έναν αποκωδικοποιητή:

Από τον πίνακα αληθείας του πλήρη-αθροιστή:

S(x, y, z) = Σ(1, 2, 4, 7)

C(x, y, z) = Σ(3, 5, 6, 7)

Αφού υπάρχουν τρεις είσοδοι και συνολικά οκτώ ελαχιστόροι απαιτείται ένας αποκωδικοποιητής 3-σε-8. Ο αποκωδικοποιητής παράγει τους 8 ελαχιστόρους.

Μία πύλη OR συνδυάζει τους επιθυμητούς ελαχιστόρους

slide54
Κωδικοποιητές

Ένας κωδικοποιητής είναι ένα συνδυαστικό κύκλωμα που δέχεται m εισόδους(αποκωδικοποιημένη πληροφορία) και τη μετατρέπει σε n εξόδους (m <= 2n)

Στην κανονική λειτουργία δεν ενεργοποιούνται περισσότερες από μία είσοδοι (displays)

Στην περίπτωση όμως του κωδικοποιητή προτεραιοτήτωνοι είσοδοι μπορούν να έχουν οποιεσδήποτε τιμές. Στην περίπτωση αυτή παράγεται ο κώδικας της εισόδου με την μεγαλύτερη προτεραιότητα.

slide55
Κωδικοποιητές

Ε1

Κωδικοποιητής

Προτεραιοτήτων

y1

Ε2

Ε3

y2

Ε4

H E1έχει τη μεγαλύτερη προτεραιότητα.

slide56
Κωδικοποιητές

E3E4

E1E2

00 01 11 10

00

01

11

10

y1

Οι αδιάφοροι όροι (Χ) χρησιμοποιούνται για την επίτευξη της μεγαλύτερης δυνατής απλοποίησης

multiplexing
Πολυπλεξία (Multiplexing)

Πολυπλεξία είναι η μεταβίβαση ενός μεγάλου αριθμού πληροφοριών μέσα από ένα μικρότερο αριθμό καναλιών

Ένας ψηφιακός πολυπλέκτης είναι ένα συνδυαστικό κύκλωμα που επιλέγει δυαδικές πληροφορίες από n γραμμές εισόδου και τις κατευθύνει σε μία μοναδική γραμμή εξόδου

Για την επιλογή μίας γραμμής ανάμεσα σε 2nγραμμές εισόδου απαιτούνται n γραμμές επιλογής (MUX 2n x 1)

slide58
Πολυπλέκτης

Το κύκλωμα του πολυπλέκτη (4 x 1) έχει μία έξοδο (Ζ) στην οποία μεταφέρονται οι πληροφορίες μίας από τις γραμμές εισόδου, με βάση τις τιμές 2 εισόδων επιλογής (select signals). Π. χ.

Σήμ.Επιλ Είσοδοι Έξοδοι

S1 S0 X3 X2 X1 X0 Z

0 0 Χ Χ Χ 0 0

0 0 Χ Χ Χ 1 1

0 1 Χ Χ 0 Χ 0

0 1 Χ Χ 1 Χ 1

1 0 Χ 0 Χ Χ 0

1 0 Χ 1 Χ Χ 1

1 1 0 Χ Χ Χ 0

1 1 1 Χ Χ Χ 1

slide59
Πολυπλέκτης

Από τον πίνακα αληθείας προκύπτει η συνάρτηση:

Ζ = S1’ S0’ X0 + S1’ S0 X1 + S1 S0’ X2 + S1 S0 X3

Υλοποίηση

Ιδιαίτερα χρήσιμο κύκλωμα στην ALU (κύκλωμα συσσωρευτή)