Ψηφιακά Κυκλώματα

1. Ψηφιακά Κυκλώματα

2. Ορισμοί Γενικοί ορισμοί: Σύνολο (set) είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που έχουν μία κοινή ιδιότητα x S : το αντικείμενο x είναι μέρος του συνόλου S Ένας δυαδικός τελεστής (binary operator) ορισμένος σε ένα σύνολο S είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε ζεύγος στοιχείων του S ένα μοναδικό στοιχείο από το S

3. Ορισμοί • Αξιώματα για το σχηματισμό αλγεβρικών δομών • Κλειστότητα: Ένα σύνολο S είναι κλειστό ως προς ένα δυαδικό τελεστή εάν για κάθε ζεύγος στοιχείων του S ο δυαδικός τελεστής αντιστοιχίζει ένα στοιχείο που ανήκει στο S. Σύνολο φυσικών αριθμών Ν={1,2,3,4…} κλειστό ως προς τον δυαδικό τελεστή (+) με τον κανόνα της πρόσθεσης. Το ίδιο σύνολο δεν είναι κλειστό ως προς τον τελεστή (-) διότι 2-3 = -1 και το (-1) Ν. • Προσεταιριστικότητα: Ένας δυαδικός τελεστής * στο σύνολο S είναι προσεταιριστικός όταν: • (x*y)*z = x*(y*z) για όλα x,y,z S

4. Ορισμοί • 3. Αντιμεταθετικότητα: Ένας δυαδικός τελεστής * στο σύνολο S είναι αντιμεταθετικός όταν: • x*y = y*x για όλα x,y S • 4. Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου: Ένα σύνολο S έχει ουδέτερο στοιχείο ως προς ένα τελεστή * ένα υπάρχει στοιχείο e με την ιδιότητα: • e*x = x*e =x για κάθε x S • (Στο σύνολο των ακεραίων Ι={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} • ουδέτερο στοιχείο είναι το 0 ως προς την πράξη της πρόσθεσης • Αντίστροφο: Ένα σύνολο S που έχει το ουδέτερο στοιχείο e ως προς ένα δυαδικό τελεστή * λέμε ότι έχει αντίστροφο όταν για κάθε x S υπάρχει y S τέτοιο ώστε : • x * y = e • (Στο σύνολο των ακεραίων με τον τελεστή της πρόσθεσης και ουδέτερο το e=0 αντίστροφο του α είναι το (-α)

5. Ορισμοί 6. Επιμεριστικότητα: Εάν * και . είναι δύο δυαδικοί τελεστές στο S ο * λέγεται ότι είναι επιμεριστικός ως προς τον . όταν: x * (y.z) = (x*y) . (x*z)

6. Άλγεβρα Boole • To 1854 o Boole ανέπτυξε την άλγεβρα Boole • To 1938 o Shannon εισήγαγε την άλγεβρα διακοπτών • Η άλγεβρα Boole είναι μία αλγεβρική δομή ορισμένη πάνω σε ένα σύνολο στοιχείων Β με δύο δυαδικούς τελεστές + και . όπου ικανοποιούνται τα παρακάτω αξιώματα Huntington: • 1. Κλειστή ως προς τον + • Κλειστή ως προς τον . • Ύπαρξη ουδετέρου ως προς +, συμβ. με 0: (x+0 = 0+x = x) • Ύπαρξη ουδετέρου ως προς . συμβ με 1: (x.1 = 1.x = x) • Αντιμεταθετική ως προς +: x + y = y + x • Αντιμεταθετική ως προς . : x . y = y . x

7. Άλγεβρα Boole • 4. O . είναι επιμεριστικός ως προς +: x.(y+z) = (x.y) + (x.z) • Ο + είναι επιμεριστικός ως προς . • Για κάθε στοιχείο x B υπάρχει x’ B που ονομάζεται συμπλήρωμα ώστε: x + x’ = 1, x . x’ = 0 (γιατί δεν το λέμε αντίστροφο ??) • Υπάρχουν δύο τουλάχιστον x, y B που να είναι x  y • Η άλγεβρα Boole ασχολείται με ένα σύνολο στοιχείων B το οποίο δεν ορίσαμε ακόμα

8. Άλγεβρα Boole • Διαφορές από τη συνηθισμένη άλγεβρα (πεδίο των πραγματικών αριθμών): • Ο επιμεριστικός νόμος του + ως προς τον . ισχύει για την άλγεβρα Boole αλλά όχι για τη συνηθισμένη άλγεβρα • Η άλγεβρα Βοοle δεν έχει προσθετικά ή πολλαπλασιαστικά αντίστροφα : επομένως δεν υπάρχουν πράξεις αφαίρεσης ή διαίρεσης • Το αξίωμα 5 ορίζει έναν τελεστή, που καλείται συμπλήρωμα, ο οποίος δεν υπάρχει στη συνηθισμένη άλγεβρα • Η συνηθισμένη άλγεβρα ασχολείται με τους πραγματικούς αριθμούς, που αποτελούν ένα απειροσύνολο. Η άλγεβρα Boole ασχολείται με ένα σύνολο στοιχείων B που δεν είναι απειροσύνολο.

9. Άλγεβρα Boole • Για να έχουμε μία άλγεβρα Boole πρέπει να έχουμε: • Τα στοιχεία του συνόλου Β • Τους κανόνες λειτουργίας των δύο δυαδικών τελεστών • Το σύνολο των στοιχείων του Β μαζί με τους δύο δυαδικούς τελεστές ικανοποιούν τα έξι αξιώματα του Huntington

10. Δίτιμη Άλγεβρα Boole x y x . y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 x y x + y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 x x’ 0 1 1 0 Ορίζεται πάνω στο σύνολο Β = { 0 , 1 } Για το ανωτέρω σύνολο και πράξεις ισχύουν τα αξιώματα Huntington

11. Δίτιμη Άλγεβρα Boole Βασικά Αξιώματα : Αξίωμα 2 (a) x+0 = x (b) x.1 = x (ουδέτερο) Αξίωμα 5 (a) x+x’ = 1 (b) x.x’ = 0 (συμπλήρωμα) Αξίωμα 3 (a) x + y = y + x (b) x.y = y.x (αντιμεταθ.) Αξίωμα 4 (a) x.(y+z) = x.y + x.z (b) x + y.z = (x+y).(x+z) (επιμερ) Θεώρημα 1(a): x + x = x Απόδειξη: x + x = (x+x) . 1 Αξίωμα 2b = (x+x) . (x+x’) Αξίωμα 5α = x + x.x’ Αξίωμα 4b = x + 0 Αξίωμα 5b = x Αξίωμα 2a

12. Δίτιμη Άλγεβρα Boole Θεώρημα 1(β): x . x = x Θεώρημα 2(α): x + 1 = 1 Απόδειξη: x + 1 = 1 . (x+1) αξίωμα 2(β) = (x + x’) . (x+1) 5(α) = x + x’ . 1 4(β) = x + x’ 2(β) = 1 5(α) Θεώρημα 2(β): x . 0 = 0

13. Δίτιμη Άλγεβρα Boole Θεώρημα 3: (x’)’ = x Θεώρημα 4: x + (y+z) = (x + y) + z x(yz) = (xy)z Θεώρημα 5 (Νόμος De Morgan) (x + y)’ = x’ . y’ (xy)’ = x’ + y’ Θεώρημα 6 (απορρόφηση) x + xy = x x.(x+y) = x Όλα τα θεωρήματα είναι δυνατόν να αποδειχθούν και με πίνακες αλήθειας

14. Συναρτήσεις Boole x y z F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 Μία συνάρτηση Boole είναι μία έκφραση που σχηματίζεται από δυαδικές μεταβλητές, τους δυαδικούς τελεστές (ΚΑΙ, Η, ΌΧΙ), παρενθέσεις και ένα ίσον. Π.χ. F = x y z’ Διαφορετικά, μία συνάρτηση Boole ορίζεται με ένα πίνακα αλήθειας. Π.χ. F = x’y’z + x’yz + xy’z’ + xy’z = x’y’z + x’yz + xy’

15. Συναρτήσεις Boole Η αλγεβρική έκφραση μιας δεδομένης συνάρτησης Boole δεν είναι μοναδική Εφαρμογή: Πρόβλημα εύρεσης απλούστερων εκφράσεων για την ίδια συνάρτηση Δύο συναρτήσεις n δυαδικών μεταβλητών λέγονται ίσες αν παίρνουν την ίδια τιμή και για τους 2n δυνατούς συνδυασμούςτων n μεταβλητών

16. Συναρτήσεις Boole Να αποδειχθεί ότι:

17. Κανονικές Μορφές Θεωρούμε δύο μεταβλητές x και y που συνδέονται με την πράξη AND Κάθε μεταβλητή μπορεί να εμφανιστεί είτε με την κανονική είτε με την συμπληρωματική της μορφή Υπάρχουν τέσσερις πιθανοί συνδυασμοί: x’y’ x’y xy’ xy Οι όροι αυτοί λέγονται ελαχιστόροι (minterm) ή πρότυπα γινόμενα n μεταβλητές μπορούν να συνδυαστούν και να δώσουν 2nελαχιστόρους Με παρόμοιο τρόπο, αν δημιουργήσουμε το άθροισμα (OR) n μεταβλητών προκύπτουν 2n συνδυασμοί που ονομάζονται μεγιστόροι (maxterms) ή πρότυπα αθροίσματα

18. Κανονικές Μορφές Ελαχιστόροι Μεγιστόροι x y z Όρος Ονομασία Όρος Ονομασία 0 0 0 x’y’z’ m0 x+y+z M0 0 0 1 x’y’z m1 x+y+z’ M1 0 1 0 x’yz’ m2 x+y’+z M2 0 1 1 x’yz m3 x+y’+z’ M3 . . . . . . . 1 1 1 xyz m7 x’+y’+z’ M7 Κάθε μεγιστόρος είναι το συμπλήρωμα του αντίστοιχου ελαχιστόρου

19. Κανονικές Μορφές • Μία συνάρτηση Boole μπορεί να εκφραστεί αλγεβρικά από τον πίνακα αληθείας σχηματίζοντας έναν ελαχιστόρο για κάθε συνδυασμό των μεταβλητών που δίνει τιμή συνάρτησης 1 και μετά σχηματίζοντας το άθροισμα (OR) όλων αυτών των ελαχιστόρων • Μορφή αθροίσματος ελαχιστόρων • Για το προηγούμενο παράδειγμα: • F = x’y’z + x’yz + xy’z’ + xy’z = m1 + m3 + m4 + m5 • Θεωρούμε το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης Boole. • Η αλγεβρική παράσταση για αυτό το συμπλήρωμα προκύπτει αν από τον πίνακα αληθείας της αρχικής συνάρτησης πάρουμε το άθροισμα των ελαχιστόρων για κάθε συνδυασμό μεταβλητών που δίνει τιμή 0. • Είναι F’ = x’y’z’ + x’yz’ + xyz’ + xyz • Εάν πάρουμε το συμπλήρωμα της F’ προκύπτει πάλι η αρχική συνάρτηση: • (F’)’ = (x+y+z) (x+y’+z) (x’+y’+z) (x’+y’+z’) = M0 . M2 . M6 . M7 • Μορφή γινομένου μεγιστόρων

20. Κανονικές Μορφές • Κάθε συνάρτηση Boole μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ελαχιστόρων ή ως γινόμενο μεγιστόρων • Εάν μία συνάρτηση δεν είναι σε μορφή αθροίσματος ελαχιστόρων τότε: • Την αναπτύσσουμε σε άθροισμα γινομένων • Ελέγχουμε αν κάθε γινόμενο περιέχει όλες τις μεταβλητές • Αν από κάποιο γινόμενο λείπει μία ή περισσότερες μεταβλητές τότε το πολλαπλασιάζουμε με παράσταση της μορφής (x+x’) όπου το x μία από τις μεταβλητές που λείπουν • Να εκφραστεί η F=A+B’C ως άθροισμα ελαχιστόρων

21. Κανονικές Μορφές Να εκφραστεί η F=A+B’C ως άθροισμα ελαχιστόρων Από τον πρώτο όρο λείπουν οι Β και C. Άρα: Α = Α(Β+Β’) = ΑΒ + ΑΒ’ Α = ΑΒ(C+C’) + AB’(C+C’) = ABC + ABC’ + AB’C + AB’C’ Από τον δεύτερο όρο λείπει μία μεταβλητή: Β’C = B’C(A+A’) = B’CA + B’CA’ = AB’C + A’B’C Aθροίζοντας τους όρους έχουμε F = ABC + ABC’ + AB’C + AB’C’ + AB’C + A’B’C Αλλά ο όρος ΑΒ’C εμφανίζεται δύο φορές. Σύμφωνα με το θεώρημα 1 (x+x = x) μπορούμε να απαλείψουμε τον έναν Τελικά F=Α’Β’C+ AB’C’ + AB’C + ABC’ + ABC = m1+m4+m5+m6+m7 F(A, B, C) = Σ(1,4,5,6,7) Παράδειγμα: F = A’B + B’C + C’ = Σ(0,1,2,3,4,5,6)

22. Κανονικές Μορφές Εναλλακτικά μπορούμε να κατασκευάσουμε τον πίνακα αληθείας της F=A+B’C Από τον πίνακα εντοπίζουμε απευθείας τους 5 ελαχιστόρους

23. Κανονικές Μορφές • Για να εκφραστεί μία συνάρτηση ως γινόμενο μεγιστόρων πρέπει: • να τη φέρουμε σε μορφή γινομένου αθροισμάτων (χρησιμοποιώντας τον επιμεριστικό κανόνα: • x + yz = (x+y) (x+z) • Στη συνέχεια, σε κάθε άθροισμα όπου λείπει μία μεταβλητή προσθέτουμε τον όρο xx’ (=0 ) • Να εκφραστεί η F = xy + x’z υπό μορφή γινομένου μεγιστόρων

24. Κανονικές Μορφές Να εκφραστεί η F = xy + x’z υπό μορφή γινομένου μεγιστόρων F = xy + x’z = (xy + x’) (xy + z) = (x + x’) (y + x’) (x + z) (y + z) = (x’ + y) ( x + z) ( y + z) Σε κάθε άθροισμα λείπει μία μεταβλητή: x’ + y = x’ + y + zz’ = (x’ + y + z) ( x’ + y + z’) x + z = x + z + yy’ = (x + y + z) ( x + y’ + z) y + z = y + z +xx’ = (x + y + z) (x’ + y + z) Συνδυάζοντας όλους τους όρους και απαλοίφοντας αυτούς που εμφανίζονται πάνω από μία φορα (x . x = x) προκύπτει: F = (x+y+z)(x+y’+z)(x’+y+z)(x’+y+z’) = M0 M2 M4 M5 F(x,y,z) = Π(0, 2, 4, 5) Παράδειγμα:F = A’B + B’C + C’ = Π(7)

25. Ψηφιακές Λογικές Πύλες C B E Οι λογικές συναρτήσεις είναι δυνατόν να υλοποιηθούν με ηλεκτρονικά λογικά κυκλώματα Τα ηλεκτρονικά κυκλώματα που μπορούν να εκτελέσουν τις βασικές πράξεις της άλγεβρας Boole ονομάζονται πύλες (gates) Οι δύο τιμές της άλγεβρας Boole αντιστοιχούν συνήθως σε δύο επίπεδα τάσης (π.χ. το λογικό 1 στην τάση +5V, ενώ το λογικό 0 σε τάση 0 V)

26. Ψηφιακές Λογικές Πύλες +VCC +VCC +VCC Vout Vout V1 Vout C B V2 V1 V2 E E E E Πύλη NAND Πύλη NOR Πύλη ΝΟΤ

27. Ψηφιακές Λογικές Πύλες x y F 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 AND KAI F = xy x y F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 OR H F = x+y x F 0 1 1 0 NOT OXI F = x’ x F 0 0 1 1 Απομονωτής Buffer F = x

28. x y F 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 NAND OXI KAI F = (xy)’ x y F 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 NOR OYTE F = (x+y)’ x y F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 XOR Αποκλειστικό Η F = xy’+x’y = xy x y F 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 ΧΝΟR Αποκλειστικό ΟΥΤΕ F = xy + x’y = x y

29. Επέκταση Υλοποίηση πύλης AND 3 εισόδων ? Υλοποίηση πύλης NOR 3 εισόδων ? (x + y + z)’

30. Σχεδίαση απλών ψηφιακών κυκλωμάτων Να σχεδιαστεί ένα σύστημα πλειοψηφίας 2/3. Δηλαδή το σύστημα να έχει τρεις εισόδους και μία έξοδο και η έξοδος να γίνεται ένα μόνο όταν τουλάχιστον δύο είσοδοι είναι 1 2/3 Θα ισχύει: z = ab + ac + bc

31. Υλοποίηση a b c z

32. Απλοποίηση λογικών συναρτήσεων • Η απλούστερη μέθοδος είναι με χρήση του χάρτη Karnaugh • Ένας χάρτης Karnaugh περιέχει 2nτετραγωνίδια (όπου n ο αριθμός των μεταβλητών της συνάρτησης) • Η συνάρτηση απεικονίζεται στο χάρτη αφού γραφεί στη μορφή αθροίσματος ελαχιστόρων • Στη συνέχεια τοποθετείται στο αντίστοιχο τετραγωνίδιο του χάρτη η τιμή 1 ή 0 ανάλογα αν η συνάρτηση περιέχει ή όχι τον ελαχιστόρο που αντιστοιχεί στις συντεταγμένες του τετραγώνου • Πίνακας Karnaugh δύο μεταβλητών: xy + xy’

33. Απλοποίηση λογικών συναρτήσεων • Αφού τοποθετηθεί η συνάρτηση στο χάρτη, προσπαθούμε να ομαδοποιήσουμε γειτονικά τετραγωνίδια που περιέχουν την τιμή 1 • Γειτονικά θεωρούνται τα τετραγωνίδια που διαφέρουν κατά μία μεταβλητή • Ο αριθμός των 1 στην κάθε ομάδα θα πρέπει να είναι δύναμη του 2 • Οι ομάδες αυτές αντιστοιχούν: • (α) σε όρους από τους οποίους λείπει μία μεταβλητή • (β) σε όρους από τους οποίους λείπουν δύο μεταβλητές • (γ) σε όρους από τους οποίους λείπουν τρείς μεταβλητές κ.ο.κ • Να απλοποιηθεί η συνάρτηση • f(A,B,C) = A’BC’ + A’BC + ABC + AB’C’

34. Απλοποίηση λογικών συναρτήσεων A’B BC • Να απλοποιηθεί η συνάρτηση • f(A,B,C) = A’BC’ + A’BC + ABC + AB’C’ BC 00 01 11 10 A 0 1 f(A,B,C) = A’B + BC + AB’C’

35. Τροποποιημένη είσοδος F (x, y, z) = Σ (2,3,4,5) yz 00 01 11 10 x 0 1

36. Τροποποιημένη είσοδος F (x, y, z) = Σ (2,3,4,5) yz 00 01 11 10 x 0 1

37. Τροποποιημένη είσοδος F (x, y, z) = Σ (2,3,4,5) yz 00 01 11 10 x 0 1 F =x’y + xy’

38. Χάρτες Karnaugh Να απλοποιηθεί η συνάρτηση F(x,y,z) = x’yz + xy’z’ xyz’ + xyz yz 00 01 11 10 x 0 1 F =yz + xz’

39. Απλοποίηση Να υλοποιηθεί η συνάρτηση F = x’y’ + x’y (Υλοποίηση με 6 πύλες (2 ΑΝD + 1 OR + 3 αντιστροφείς) ) Μετά την απλοποίηση (έστω με πίνακα Karnaugh) F = x’ (Υλοποίηση με 1 αντιστροφέα)

40. Χάρτες Karnaugh 4-5 μεταβλητών Να απλοποιηθεί η συνάρτηση F(w,x,y,z) =Σ(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14) 5 μεταβλητών : F(A,B,C,D,E) = Σ(0,2,4,6,9,13,21,23,25,29,31)

41. Prime Implicants • Όταν επιλέγουμε γειτονικά τετράγωνα πρέπει να εξασφαλίζουμε: • ότι όλοι οι ελαχιστόροι της συνάρτησης καλύπτονται • ότι αποφεύγονται πλεονάζοντες όροι • Ορισμένες φορές υπάρχουν δύο ή περισσότερες εκφράσεις που ικανοποιούν τα κριτήρια • Ένας prime-implicantείναι ένα γινόμενο παραγόντων που σχηματίζεται συνδυάζοντας το μεγαλύτερο αριθμό γειτονικών παραγόντων στο χάρτη • Αν ένας ελαχιστόρος στο χάρτη καλύπτεται μόνο από έναν prime-implicant αυτός λέγεται ουσιώδης prime-implicant

42. Prime Implicants • Έστω η συνάρτηση • F (A, B, C, D) = Σ(0, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15) • Ένας prime-implicant είναι ουσιώδης αν είναι ο μοναδικός prime-implicant που καλύπτει τον ελαχιστόρο. • Οι ελαχιστόροι που απομένουν είναι δυνατόν να καλυφθούν από διάφορους συνδυασμούς prime-implicants • Η απλοποιημένη έκφραση για τη συνάρτηση προκύπτει ως το λογικό άθροισμα όλων των ουσιωδών prime-implicants και οποιωνδήποτε από τους υπόλοιπους prime-implicants καλύπτουν τους υπόλοιπους όρους • Οι εκφράσεις που προκύπτουν για τη συνάρτηση Boole είναι ισοδύναμες

43. Απλοποίηση γινομένων αθροισμάτων Οι προηγούμενες συναρτήσεις που εξάγονταν από τους χάρτες ήταν σε μορφή αθροίσματος γινομένων Για την απλοποίηση συναρτήσεων σε μορφή γινομένου αθροισμάτων: Οι ελαχιστοόροι που δεν περιέχονται στη συνάρτηση (τα 0 στο χάρτη) δίνουν το συμπλήρωμα της συνάρτησης Η επιλογή των 0 κατά παρόμοιο τρόπο οδηγεί σε απλοποιημένη έκφραση της F' Το συμπλήρωμα της F' μας δίνει την ίδια την F. Σύμφωνα δε με το θεώρημα De Morgan, η συνάρτηση που λαμβάνουμε είναι σε μορφή γινομένου αθροισμάτων Να απλοποιηθεί η F(A, B, C, D) = Σ(0, 1, 2, 5, 8, 9, 10) σε γινόμενο αθροισμάτων

44. Συνθήκες Αδιαφορίας Το λογικό άθροισμα των ελαχιστόρων που αντιστοιχεί σε μία συνάρτηση Boole, προσδιορίζει τις συνθήκες κάτω από τις οποίες η συνάρτηση έχει τιμή 1. Η συνάρτηση υποτίθεται ότι έχει τιμή 0 για όλους τους υπόλοιπους συνδυασμούς. Συχνά, η συνάρτηση δεν προσδιορίζεται για ορισμένους συνδυασμούς. Οι απροσδιόριστοι ελαχιστόροι ονομάζονται συνθήκες αδιαφορίας Να απλοποιηθεί η συνάρτηση F(w, x, y ,z)=Σ(1,3,7,11,15) με συνθήκες αδιαφορίας d(w, x, y, z) = Σ(0, 2, 5)

45. Υλοποίηση μόνο με πύλες NAND (ΌΧΙ-ΚΑΙ) • Απλοποιούμε τη συνάρτηση και την εκφράζουμε ως άθροισμα γινομένων • Σχεδιάζουμε μία πύλη NAND για κάθε όρο γινομένου της συνάρτησης που έχει τουλάχιστον δύο παράγοντες. Αυτές είναι οι πύλες του πρώτου επιπέδου • Σχεδιάζουμε μία πύλη NAND στο δεύτερο επίπεδο με εισόδους που τροφοδοτούνται από τις εξόδους του πρώτου επιπέδου. • Ένας όρος με έναν μόνο παράγοντα χρειάζεται μόνο έναν αντιστροφέα στο πρώτο επίπεδο για να τροφοδοτήσει την πύλη του 2ου επιπέδου • Να υλοποιηθεί η F(x, y, z) = Σ(0, 4, 6) μόνο με NAND

46. Συνδυαστικά Κυκλώματα Σε ένα συνδυαστικό ψηφιακό κύκλωμα (Combinational circuit) η έξοδος z είναι συνάρτηση μόνο της κατάστασης της εισόδου z = f(x)

47. Συνδυαστικά Κυκλώματα • Για τη σχεδίαση συνδυαστικών κυκλωμάτων με σχετικά χαμηλό αριθμό εισόδων ακολουθούνται τα εξής βήματα: • Κατασκευή του πίνακα αληθείας από τα δεδομένα του προβλήματος • Εξαγωγή της λογικής συνάρτησης από τον ΠΑ • Απλοποίηση της λογικής συνάρτησης • Σχεδίαση του λογικού διαγράμματος με χρήση βασικών πυλών • Τα μπλοκ λογικής που υλοποιούν μία συνάρτηση μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως δομικά μπλοκ για μια άλλη συνάρτηση

48. Δυαδικός Αθροιστής (Ημιαθροιστής) S = A’B + AB’ C = AB Η ανωτέρω συνάρτηση δεν απλοποιείται περαιτέρω

49. Πλήρης Αθροιστής x y z FA C S S = x’y’z+x’yz’+xy’z’+xyz C = xy + xz + yz (απλοποιημ)

50. Πλήρης Παράλληλος Αθροιστής Β1Α1 B2 A2 Bn Αn Cn-1 FA FA FA C1 S1 C2 S2 Cn Sn Β0Α0 ΗA . . . C0 S0