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Brief Summary of Chapter 1

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Presentation Transcript

  1. Brief Summary of Chapter 1 波粒二象性 p = h/ 能量量子化 测不准原理:xp or Et  ħ 微观粒子波动性-- 粒子运动在空间出现的几率分布呈现波的特征--几率波! 1. 几率密度分布函数 ||2 2. 正交归一性: i*jd = ij (i=j, ij=1; ij, ij=0) 3. 本征函数/方程: Â = a 4. Schrödinger方程:Ĥ(r) = E(r) 5. 态叠加原理: = cii , Âi = Aii 求平均值:<A> = *Âd /*d = ci2Ai/ ci2 量子力学的统计学本质 量子力学体系的状态函数--波函数(r,t) 简单体系 : i维势箱

  2. 第一章作业情况总结: • 数理基础(微积分)需要复习 • 算符运算的理解欠佳 • 势箱模型: 1)量子态(能级)的理解欠佳;2)未掌握多电子体系电子排布的能量最低原则。

  3. 1.4 某同步加速器,可把质子加速至具有100×109ev的动能,此时质子的速率是多大? • 易出现错误: 直接使用E=mv2/2 计算速率,超光 速,必须考虑相对论效应。

  4. 1.9用测不准原理说明普通光学光栅(间隙约10-6m)观察不到10000V电压加速的电子衍射。(1 eV = 1.602x10-19 J ) 显然,光学光栅的宽度要远大于电子的德布罗意波长,观察不到电子衍射。

  5. 1.27 1) 当粒子处在三维立方势箱中(a=b<c),试求能量最低的前3个能级(此题条件不够严格!); 2)若此势箱中共有四个电子,求其基态到第一激发态的吸收光频率。 解:1)三维势箱能级表达式: (n为能级顺序,nx,ny,nz为量子数, a/c < 1) 关键点:1)能级表达式中有三个量子数,如何排序? 2) 多电子体系基态电子占据的能量最低原则。

  6. 第三个能级:有三种可能情况 a) b) c) 例如c = 2a,则有:

  7. In case b: 2)基态和第一激发态的电子排布如下图,则激发能: 基态 第一激发态 In case a:…… In case c: ……

  8. 证明: (1) (2) 解: 令有波函数 f = f(x,y,z),则有 角动量算符定义为: 同理有:

  9. (2)

  10. 已知甲烷CH4的四个价层正则分子轨道(CMO)的归一化波函数分别为1、2、3和4,在独立粒子模型下满足单粒子本征方程: ,其中1的轨道能量为1,后三个轨道简并,能量均为2(2 > 1);根据态叠加原理,将这四个正则分子轨道线性组合,即得四个定域分子轨道(LMO)分别描述四个等价的C-H键: 试证明这四个定域分子轨道的能量完全相同,并确定其能量。 涉及要点: 1) 本征函数的正交归一性;2)本征方程的使用;3) 态叠加原理;4)求平均值方法。

  11. 解: 四个CMO的波函数是单粒子本征方程的本征函数,均满足正交归一性: 对任一LMO,可表示为: 均有 其能量可由求平均值方法导出:

  12. 由于四个LMO表达式中各CMO的组合系数为+1或-1,因此,四个LMO的能量相等,均为:

  13. 若环丁二烯为正方形,C-C键长为a, • 运用势箱模型处理该体系,若采用定域双键模型,其电子总能量多大?若采用离域大键模型,其离域电子总能量多大? • 利用(1)的结果推算该体系的离域能 • 若采用离域大键模型,求出该分子的基态到第一激发态的光谱波长表达式。

  14. 若采用定域双键模型,每个键中的2个电子均被限制在长度为a的一维势箱中,则每个电子的能量可表示为: 4个定域电子的总能量: 若采用离域模型,则四个离域于边长为a的二维方势箱中, 电子的能级公式为: 则能量最低的三个能级分别为: E3 E2 E1 则离域电子总能量为: (2)离域能:

  15. (3)离域体系中,基态到第一激发态的电子跃迁可发生于第一到第二能级,也可发生于第二至第三能级(此处为巧合!),激发能均为: 故对应的吸收光波长为: