先端論文紹介ゼミ

1. 先端論文紹介ゼミ 生体情報システム工学研究室 2011/01/14 M1 内山　祥吾

2. 紹介論文 • A Combined Adaptive Law for Fuzzy Iterative Learning Control of Nonlinear Systems With Varying Control Tasks • 様々な制御器による非線形システムのファジィ反復学習制御のための複合適応則

3. Abstract • 様々な制御器を用いて、0以外の初期リセット状態誤差、入力外乱の不確かな非線形システムの反復制御を行うため、新たな適応ファジィ反復学習制御器を提案する • その構造は、非線形対象を近似するファジィ学習要素とスライディングモードに似た手法で、ゲイン、外乱、　　　ファジィ近似誤差を抑えるロバスト学習要素から成る • 提案する適応則は適した制御パラメータを得て、閉ループシステムの安定性と誤差の収束性を保証する

4. 1. Introduction • 繰り返しの追従制御や周期的外乱除去問題に対し、　　反復学習制御(ILC)は有効な制御方法の1つである • 反復学習制御器は誤差と前試行の入力情報を用いる学習メカニズムにより制御入力を更新する • 近年、反復学習制御に適応制御の概念を取り入れ、　　連続する反復試行間で、制御自身が制御器のパラメータを調整する適応反復学習制御(AILC)が研究されている

5. 1. Introduction • その設計や分析は、一般的に未知のパラメータが既知の非線形関数によって線形化されるという事実によるものである • 非線形システムが線形化できないとき、ファジイシステムやニューラルネットワークをベースにした制御器がよく使われている • 本論文で提案する適応ファジィ反復学習制御器の特徴は次の3つに要約される

6. 1. Introduction １)従来は前試行の多くの制御パラメータを格納し、メモリの容量が大きくなっていたが、それを減らすことができる ２)時間領域のみ、反復領域のみ、その両方の領域でパラメータの更新を既存の反復学習適応アルゴリズムでカバーすることができる ３)初期状態誤差が存在する無限回の反復で、追従誤差ベクトルのノルムの収束、残差の調整が見れ、正の学習ゲインが可能な限り大きく設定された場合の学習速度の向上、さらに周期的でない外乱を抑制することもできる

7. 2. Problem Formulation and Design Approach • 次の反復非線形システムを考える • 反復領域の学習回数が十分大きいとき 制御目標は状態ベクトル　　　　を 有界ベクトル　　に追従させることである • 調整可能な適応則は次の4Stepで表される ：システムの状態ベクトル ：入力外乱 ：制御入力 ：未知で正の連続非線形関数 ：反復回数

8. 2. Problem Formulation and Design Approach Design Step 1: The design issue for initial state errors • 状態誤差を次のように定義する • まず、次の誤差関数を定義する 　　　　　　　はフルビッツ多項式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の係数 • 有界な初期誤差の不確かさ　　を次のように定義する 補助誤差関数　　　を導入して ここでsatは飽和関数で次のように定義される 　　　は初期値を変化させることで時間的に変化する境界層

9. 2. Problem Formulation and Design Approach Design Step 1: The design issue for initial state errors • 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　より、　　　は次のようになる (4)式、(5)式より 　　が適切な大きさで　　　が全ての時間間隔[0,T]で可能な限り小さくでき、　　　　　　　　　　　　　　　が証明された時、誤差関数は 　　　　　　　　　　　　　を満たす

10. 2. Problem Formulation and Design Approach Design Step 2: Construction of the controller • 誤差関数(2)式と補助誤差関数(3)式を用いて制御器を次のように定義する ここで、　　　は　　　のフィードバック要素で次のように表される 　　　と　　　　は　　　の重要な学習要素で　　　　　の微分により設計する さらに　　　　　　　　　　　　　すなわち　　　　　　　　　　　　　なので(9)式を書き換えると

11. 2. Problem Formulation and Design Approach Design Step 2: Construction of the controller • (10)式の右辺第1,第2項を(3)式を用いると (10)式に(11)式を代入すると このとき　　　　　　　　　　　、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　となり、　　　は全ての時刻tにおいて 0に収束する • しかし、　　　は未知であるため次のStepで2つの要素を近似設計する －

12. 2. Problem Formulation and Design Approach Design Step 3: The learning components of UFL and URL • 未知の非線形関数　　　　　をファジィシステムで近似する ここで、 　　はファジィルール数、　　　　は後件パラメータ 　　　　　　はメンバーシップ関数、　　　　　は基底関数

13. 2. Problem Formulation and Design Approach Design Step 3: The learning components of UFL and URL • ファジィシステムをベースにしたファジィ学習制御　　　　と スライディングモードをベースにしたロバスト学習制御は それぞれ　　　　　と　　　　　を補償するために提案する ここで、　　　　　　　　　　　　はファジィパラメータベクトル、 は有界な制御パラメータ 全てのパラメータは、閉ループ安定性、収束性を保証するため　　　適応則で調整される

14. 2. Problem Formulation and Design Approach Design Step 4: The parameter adaptive laws • 時間領域、反復領域を組み合わせた次の適応則を提案する これらの適応則の　　　　　　と　　　　　　はそれぞれ重みゲインと　　学習ゲインである 適応則は、　　　　　　　　　　のとき時間領域の適応則 　　　　　　　　　　　　　　　　　のとき反復領域の適応則である

15. 3. Analysis of Stability and Convergence • 提案したAILCシステムの安定性と収束性を考えるため、Lpe[0,T]の　概念を用いる 　　はスカラー関数の絶対値、ユークリッド、ベクトルのノルムである • まず始めに、第1反復における内部入力の有界性を設計する

16. 3. Analysis of Stability and Convergence Lemma 1: • 　　　　　　　　　　　　と　　　　　　　を満たす未知の非線形システム　　(1)式を考える 有界な目標状態ベクトル　　　　と適応則(17)-(19)式を備えた適応　　ファジィ反復学習制御器(7),(8),(14),(15)式が得られるのであれば、初期反復のすべての内部信号は有界であることを保証する すなわち、 Lemma 2: • Lemma1の問題条件を考慮して、 • 提案した、適応ファジィ反復学習制御器は、　　　　　　　　　　　　　が　すべての　　　　において有界であり、

17. 3. Analysis of Stability and Convergence Theorem 1: • Lemma1の問題条件と　　　　　　　　　　　　　　　　　　を考慮して、　　提案した適応ファジィ反復学習制御器は次の条件を満たすため追従性能とシステムの安定性を保証する t1) t2) t3) t4)　　　　　　　　　　　と　　が正定数で、　　　　　がフルビッツ多項式で　あるなら mは正定数で

18. 3. Analysis of Stability and Convergence Remark 1: • メモリのサイズが実際の実行にかかわっているなら、　　　　を設定し、適応則(17)-(19)式を次のように修正できる これは、ファジィパラメータベクトル　　　が前反復情報　　　　　を必要としないことを意味する。これにより、メモリを減らすことができる • しかし、　　　　　　とすることはできない このとき、適応則(39),(40)式は　　　　　　　　　　、　　　　　　　　　　　　常に正になるため、パラメータを調整できないためである

19. 3. Analysis of Stability and Convergence Remark 2: • ,,　　　に加えて、パラメータ　　　　　　　　　　を設計する • パラメータ　　は　　　　　　　　　　　なので、値が十分に大きいとき、　　状態追従誤差は小さくなる • 重みゲイン　　　　　　　は、1や0に近い値だとよりよい学習性能になるという技術的分析に対する証明の糸口はないが、Remark1より　　　にするとメモリのサイズが減らせるには良い方法である • 学習ゲイン　　　　　　　は正定数で、値が大きいと　　　や　　　の収束速度が上がるため、大きい値が好ましい

20. 4. Simulation Example • Example 1 (Application to Repetitive Tracking Control of an Inverted Pendulum): • 提案システムの性能を、次の台車付き振子で検証する 制御目的は状態ベクトル　　　　　　　　　　　　　を　　　　　　　　　　　　　目標ベクトル　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　に追従させることで、設計は次のように要約される D1)　　　　　　　　　　　　ここで、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　また、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,,

21. 4. Simulation Example • Example 1 (Application to Repetitive Tracking Control of an Inverted Pendulum): D2)ファジィシステムを次のように設計する 　　　　　　はファジィ設定、　　　　　　　　　　　　　　　　　　はメンバーシップ関数 　　　　　　　　　　　　は調整可能な値で、4つのルールを設計し、パラメータは D3)制御器は　　　　　　　　　　　　　　　　で、 D4)重みゲイン　　　　　と学習ゲイン　　　　　の有効性を次のシミュレーション　条件で検証する

22. 4. Simulation Example • Example 1 (Application to Repetitive Tracking Control of an Inverted Pendulum): • 10回の反復の初期状態 初期状態誤差 ステップD1の設計パラメータ 外乱 　　　　　　　　　　　　　　　　　振幅　　　　　　　　　周波数 • 学習性能の有効性検証で、学習速度、学習誤差、設計パラメータについて議論をする

23. 4. Simulation Example • Discussions of the simulation results:1)

24. 4. Simulation Example • Discussions of the simulation results:2), 3)

25. 4. Simulation Example • Remark 3: • 一般にファジィルールが多いほど、ファジィ近似誤差は小さくなる　　　しかし、多すぎると調整と保管を行うファジィパラメータが多くなることを意味する したがって、実用的なファジィルール数を選択することが妥当である • ルール数は時として、非線形関数の複雑性に依存するが、　　　　　　　ファジィ近似誤差は提案した適応ファジィ反復学習制御器において　非常に小さくする必要はないと強調する、つまり、ファジィルールの数を大きくする必要はない • 本論文で、近似誤差の不確かさを保証するためスライディングモードに似たロバスト適応制御を用いることは、すべての試行で内部信号が有界で、誤差は　　の有界制約なしで残差に収束することを示す

26. 4. Simulation Example • Example 2 (Application to Repetitive Tracking Control of an Mass-Spring-Damper System): • 質量-バネ-ダンパ系システムで提案システムの性能を検証する • プラントパラメータ • 初期状態、外乱、ファジィシステムはExmple1と同じ • 目標信号 • 10試行の振幅、周波数

27. 4. Simulation Example • Example 2 (Application to Repetitive Tracking Control of an Mass-Spring-Damper System): • Fig.3より提案した学習制御器の有効性を証明できたが、目標信号の　振幅と周波数が試行毎に異なるため、　　の収束がExample1のように単調にはならなかった

28. 5. Conclusion • 初期状態誤差や入力外乱が存在する非線形システムの追従制御問題の解決のため、新しい適応ファジィ反復学習制御法を提案した • 台車付き倒立振子システムと非線形質量-バネ-ダンパ系システムを理論的な結果を得るためにシミュレーションに用いた • 学習ゲインや適応則の重みゲインの選択は、学習誤差の収束速度を上げる方法の研究のため論じている

29. ご清聴ありがとうございます