Teoría de Autómatas II

1. Teoría de Autómatas II 3º curso Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas UNED

2. Sesión 8 • Problemas NP Teoría de Autómatas II 3º Ing. Tec. Informática Sistemas Josep Silva Galiana

3. Complejidad de los Problemas • Clase NP: • Lenguajes que pueden aceptar Máquinas de Turing No-Deterministas en tiempo polinómico • Puesto que las MdT deterministas están contenidas en la clase de las MdT no-deterministas, P  NP • Actualmente, no se sabe si P=NP • Tampoco se sabe si aceptar un lenguaje en tiempo polinómico es equivalente a decidirlo en tiempo polinómico Teoría de Autómatas II 3º Ing. Tec. Informática Sistemas Josep Silva Galiana

4. Complejidad de los Problemas • Clase NP: • Existen muchos problemas que se sabe pertenecen a NP pero no se sabe si pertenecen a P • Ejemplo problema viajante de comercio (página 279) • Si alguien demostrara que P=NP • Se tendría “esperanza” en resolver muchos problemas “sin solución” en tiempo polinómico • El apéndice E muestra muchos problemas de la clase NP Teoría de Autómatas II 3º Ing. Tec. Informática Sistemas Josep Silva Galiana

5. Complejidad de los Problemas • Reducciones Polinómicas: • Es una transformación de un lenguaje a otro lenguaje • Dado un lenguaje L1 del alfabeto Σ1 y otro lenguaje L2del alfabetoΣ2 • Es una función f tal que w єL1 sí y solo sí f(w) єL2 • f es computable en tiempo polinómico • “L1 se reduce a L2“ se representa L1 αL2 • Es una herramienta muy útil para clasificar problemas Teoría de Autómatas II 3º Ing. Tec. Informática Sistemas Josep Silva Galiana

6. Complejidad de los Problemas • Reducciones Polinómicas: • Si Mf es una reducción polinómica de L1aL2yM2 reconoce L2 entonces: • → MfM2 reconoce L1 • Teorema 5.3 (página 281) • Si L1 αL2y L2 está en P, entonces L1 está en P • Si L1 αL2y L1 no está en P, entonces L2 no está en P Teoría de Autómatas II 3º Ing. Tec. Informática Sistemas Josep Silva Galiana

7. Complejidad de los Problemas • Preliminares Teorema de Cook: • Cook utilizó el teorema 5.3 para enunciar el famoso teorema de Cook que permite clasificar lenguajes • Identifica un lenguaje en NP al que cualquier otro lenguaje en NP se puede reducir • Si alguna vez se demuestra que el lenguaje se halla en P, entonces todos los lenguajes de NP pertenecen a P • Preliminares • Sea V = {v1, v2, v3} un conjunto de variables booleanas • Asignación de verdad, literal y claúsula Teoría de Autómatas II 3º Ing. Tec. Informática Sistemas Josep Silva Galiana

8. Complejidad de los Problemas • Problema de Satisfactibilidad o SAT: • Dado un conjunto finito de variables V y una colección de cláusulas con respecto a V, ¿existe una asignación de verdad que satisfaga las cláusulas? • Resolución • Codificar las cláusulas con 0, p y n (página 283) • LSAT: lenguaje consistente en aquellas cadenas que representan casos de SAT que satisfacen alguna asignación de verdad Teoría de Autómatas II 3º Ing. Tec. Informática Sistemas Josep Silva Galiana

9. Complejidad de los Problemas • Problema de Satisfactibilidad o SAT: • EJERCICIO: • Representar las cláusulas: “v1 o ¬v2” “v1 o ¬v2 o ¬v3” “¬v1 o v2 o v3” “¬v1 o v2 o ¬v3 o ¬v4” • (p000/0n00) (p000/0n00/00n0) (n000/0p00/00p0) (n000/0p00/00n0/000n) • Asignación de verdad:v1, ¬v2, v3, ¬v4 = pnpn • Utilizar algoritmo Figura 5.15 (página 284) Teoría de Autómatas II 3º Ing. Tec. Informática Sistemas Josep Silva Galiana

10. Complejidad de los Problemas • Ejercicio 3 (página 291): • A SI • B SI • C NO • D NO Teoría de Autómatas II 3º Ing. Tec. Informática Sistemas Josep Silva Galiana

11. Complejidad de los Problemas • Problema de Satisfactibilidad o SAT: • El algoritmo de la Figura 5.15 (página 284) tiene un coste polinómico en una máquina no-determinista • Pertenece a la clase NP • Teorema de Cook: • Si L es cualquier lenguaje en NP, entonces L α LSAT • Todos los lenguajes de NP se reducen a LSAT • Desde el teorema de Cook se han encontrado otros lenguajes con las propiedades de LSAT (NP-completos) • Leer párrafo final (página 290) Teoría de Autómatas II 3º Ing. Tec. Informática Sistemas Josep Silva Galiana