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图论与网络

数学的内容、方法与意义. 图论与网络. 组合数学概述. 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等；另一类就是研究离散对象的组合数学。 计算机出现以后，由于离散对象的处理是计算机科学的核心，研究离散对象的组合数学得到迅猛发展 。 图论是组合数学的一个重要分支，也是最活跃的一个分支。. 公认的第一个图论问题. 近代图论的历史可追溯到 18 世纪的 七桥问题 — 穿过 Königsberg 城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。 Euler 1736 年证明了不可能存在这样的路线。.

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图论与网络

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Presentation Transcript

  1. 数学的内容、方法与意义 图论与网络

  2. 组合数学概述 • 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等；另一类就是研究离散对象的组合数学。 • 计算机出现以后，由于离散对象的处理是计算机科学的核心，研究离散对象的组合数学得到迅猛发展。 • 图论是组合数学的一个重要分支，也是最活跃的一个分支。

  3. 公认的第一个图论问题 • 近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过Königsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。 • Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。 • 如果一个图包含一条经过每条边恰好一次的闭途径，则称这个图为欧拉图。 • 对任意的非空连通图，若它是欧拉的, 当且仅当它没有奇度点。

  4. 图的定义和基本术语 1. 图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为： G=(V，E) 其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。

  5. 旅行售货员问题 • 对一般图,我们就叫Hamilton圈;如果图的每条边上赋一个权值,就叫旅行售货员问题,即TSP. • 大家如果用Google搜索一下“TSP”，获得约 86,500,000 条结果 （用时 0.06 秒） 

  6. 四色问题 • 在日常生活中我们常常可以遇到组合数学的问题。比如一个著名的世界难题“四色猜想”：一张地图，用一种颜色对一个地区着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同。

  7. 平面图和四色问题

  8. 中国邮递员问题 • 1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国邮递员问题”。 • 一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，然后返回邮局。那么如何选择一条尽可能短的路线。 • 物流系统、多邮局多邮递员问题

  9. 相识问题 • 1958年，美国的《数学月刊》上登载着这样一个有趣的问题：“任何6个人的聚会，其中总会有3个人相互认识，或3个人相互不认识”。 •  用6个顶点表示6个人，用红色连线表示两者相识，用蓝色连线表示两者不相识。于是问题化为下述命题：

  10. 相识问题 • 对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两边着色，则图中一定存在一个同色三角形。

  11. Ramsey数 • 推广为一般问题：给定任意正整数a和b，总存在一个最小整数 r(a,b)，使得r(a,b) 个人中或者有 a 个人互相认识，或者有 b 个人互相不认识。称 r(a,b)为Ramsey数。

  12. 稳定的婚姻问题 组合数学中有一个著名定理：如果一个村子里每一个女孩都恰好认识k个男孩，并且每一个男孩也恰好认识k个女孩，那么每一个女孩都可以嫁给她认识的一个男孩，并且每一个男孩都可以娶一个他认识的女孩。（ k 正则二部图，一定存在一个完美匹配）

  13. 稳定的婚姻问题 • 但是这样的安排方法不一定是最好的。假如能找到两对夫妇，彼此都更喜欢对方的配偶，那么这样婚姻有潜在的不稳定性。 • 用图论匹配理论中Gale-Shapley算法，可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情况出现。

  14. 图论 图论是一个应用十分广泛而又极其有趣的学分支．物理、化学、生物、科学管理、计算机等各个领域都可以找到图论的足迹． 图论与数学的其他分支如群论、矩阵论、概率论，拓扑、数值分析、组合数学等都有着密切的驻系． 基本图论的几个研究方向: 图的染色理论:如点染色、边染色、全染色等； 图的因子理论：完美匹配、( g, f )—因子等； 图的控制理论：点控制，完全控制等； 图的圈理论：Hamilton圈，围长、周长、圈分解等； 图的剖分理论：点或边剖分。

  15. 复杂网络研究的新纪元 推荐书:1) 链接·网络新科学 2) 网络战争 20世纪60年代以来，随机图理论在将近40年的时间里一直是研究复杂网络结构的基本理论，但绝大多数实际的复杂网络结构并不是完全随机的。 在20世纪即将结束之际，对复杂网络的科学探索发生了重要的转变，复杂网络理论研究也不再局限于数学领域。人们开始考虑节点数量众多、连接结构复杂的实际网络的整体特性，在从数学、物理学到生物学的众多学科中掀起了研究复杂网络的热潮，甚至于被称为“网络的新科学”。

  16. 复杂网络研究的新纪元 有两篇开创性的文章可以看作是复杂网络研究新纪元开始的标志：一篇是美国康奈尔大学理论和应用力学系的博士生Watts及其导师、非线性动力学专家Strogatz教授于1998年6月在Nature杂志上发表的题为《“小世界”网络的集体动力学》 (Collectivedynamicof“Small-World”Networks,1998,393(6684):440-442)的文章；另一篇是美国NotreDame大学物理系的Barabasi教授及其博士生Albert于1999年10月在Science杂志上发表的题为《随机网络中标度的涌现》(EmergenceofScalinginRandomNetworks，Science,1999,286(5439):509-512)的文章。这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特征和无标度性质，并建立了相应的模型以阐述这些特性的产生机理。 推荐书 1）小小世界：有序与无序之间的网络动力学 2) 复杂网络（郭雷等著）

  17. 《Nature》上的一篇文章 “小世界”网络的集体动力学

  18. 《Nature》上的一篇文章 “小世界”网络的集体动力学

  19. 《Science》上的一篇文章 随机网络中标度的涌现

  20. 中国人引文次数的最高记录 1. 美国（近十年论文总引用次数46,796,090） 论文：ANALYSIS OF RELATIVE GENE EXPRESSION DATA USING REAL-TIME QUANTITATIVE PCR AND THE 2(T)(-DELTA DELTA C) METHO 被引次数：9,252 领域：生物学与生物化学 发表期刊：《方法学》（METHODS） 8. 中国（近十年论文总引用数4,227,779） 论文：CORONAVIRUS AS A POSSIBLE CAUSE OF SEVERE ACUTE RESPIRATORY SYNDROME 被引次数：1,025 领域：临床医学 发表期刊：《柳叶刀》（THE LANCET）

  21. 中国人引文次数的最高记录 被引用次数：1256 王振义院士的Blood上牛文，1988年发表以来，已被引用1538次（Web of Science 数据）

  22. 彭实戈院士的论文

  23. 听说是历史上最牛的文章 PROTEIN MEASUREMENT WITH THE FOLIN PHENOL REAGENT， LOWRY, OH; ROSEBROUGH, NJ; FARR, AL, et al. JOURNAL OF BIOLOGICAL CHEMISTRY 193:1(1951) 265-275. 该文的第一作者为 Oliver Howe Lowry (1910–1996) ，著名的Lowry蛋白定量法就是以此人的姓来命名的，上述论文也是Lowry蛋白定量法的理论基础，该文发表60年后该方法仍被全世界广泛应用。该文章发表时，Oliver Howe Lowry时任为位于美国圣路易斯的华盛顿大学（Washington University in St. Louis）的药理系的系主任。并与1955年到1958年间任该校的医学院院长。 Oliver Howe Lowry于1964年被选为美国科学院院士。但Lowry终生并没有由于该方法的巨大贡献而获诺贝尔奖 被引用次数：184690

  24. 几篇与网络有关的论文的引用次数

  25. 几篇与网络有关的论文的引用次数 Statistical mechanics of complex networks, R Albert… - Reviews of modern physics, 2002 , 被引用次数：9131 The structure and function of complex networks, J Newman - SIAM review, 2003,- 被引用次数：6475 Error and attack tolerance of complex networks, R Albert, H Jeong… - Nature, 2000被引用次数：2619 Exploring complex networks, SH Strogatz - Nature, 2001 被引用次数：3465 Network motifs: simple building blocks of complex networks, R Milo, S Shen-Orr, S Itzkovitz, N Kashtan… - Science, 2002被引用次数：2281 Emergence of scaling in complex networks, AL Barabási - Handbook of graphs and networks, 1999 被引用次数：2123 Complex networks: Structure and dynamics, S Boccaletti, V Latora, Y Moreno, M Chavez… - Physics reports, 2006 被引用次数：2475 Uncovering the overlapping community structure of complex networks in nature and society, G Palla, I Derényi, I Farkas… - 被引用次数：1169 Hierarchical organization in complex networks, E Ravasz… - Physical Review E, 2003 - 被引用次数：890

  26. 复杂网络的研究统计 SCI papers:Small-World Networks

  27. 复杂网络的研究统计 EI papers： Scale-Free Networks

  28. 现实生活中无处不存在着复杂网络 互联网

  29. 现实生活中无处不存在着复杂网络 互联网

  30. 现实生活中无处不存在着复杂网络 交通网 互联网 交通网 电网 水网 广播电视网 通讯网 社会关系网

  31. 现实生活中无处不存在着复杂网络 交通网

  32. 现实生活中无处不存在着复杂网络 通信网

  33. 现实生活中无处不存在着复杂网络 社会关系网

  34. 现实生活中无处不存在着复杂网络 京城四少关系图

  35. 现实生活中无处不存在着复杂网络 电网

  36. 现实生活中无处不存在着复杂网络 大规模集成电路

  37. 科学研究中也存在许多复杂网络 Global organization of metabolic fluxes in the bacterium Escherichia coli, NATURE |VOL 427 | 26 FEBRUARY 2004 |www.nature.com/nature

  38. 科学研究中也存在许多复杂网络

  39. 科学研究中也存在许多复杂网络

  40. 科学研究中也存在许多复杂网络

  41. 基因调控网络

  42. Protein 3D Structure Detection X-ray diffraction X-射线衍射法 • Expensive • Slow

  43. 你知道如下问题吗? • 地球上任意两个人之间要通过多少个朋友才能互相认识? • 万维网(WWW)上从一个页面到另一个页面平均需要点击多少次鼠标? • 层出不穷的计算机病毒是如何在互联网(internet)上传播的? • 各种传染病(艾滋病、非典型性肺炎和禽流感等)是如何在人类和动物中流行的? • 应该如何建立合理的公共卫生与安全网络? • 为什么流言蜚语会散布得很快? • 全球或地区性金融危机是如何发生的? • 局部故障是如何触发大面积停电事故的? • 大城市的交通堵塞问题是如何引起的? • 为什么大脑能够具有思维的功能? • 将来的交通工具还需要自己来驾驶吗？

  44. 一个社会网络就是一群人或团体按某种关系连接在一起而构成的一个系统。这里的关系可以多种多样，如个人之间的朋友关系、同事之间的合作关系、家庭之间的联姻关系和公司之间的商业关系等等。右图反映的就是澳大利亚堪培拉的一个社会关系网络。以朋友关系为例，很多人可能都有这样的经历：偶尔碰到一个陌生人，同他聊了一会儿后发现你认识的某个人居然他也认识，然后一起发出“这个世界真小”的感叹。那么对于地球上任意两个人来说，借助第三者、第四者这样的间接关系来建立起他们两人的联系，平均需要通过多少人呢?20世纪60年代美国哈佛大学的社会心理学家Stanley Milgram通过一些社会调查后给出的推断是：地球上任意两个人之间的平均距离是6。也就是说，平均中间只要通过5个人，你就能与地球上任何一个角落的任何一个人发生联系。 地球上任意两个人之间要通过多少个朋友才能互相认识? 六度分离推断 (Six degrees of separation)

  45. 万维网(WWW)上从一个页面到另一个页面平均需要点击多少次鼠标?万维网(WWW)上从一个页面到另一个页面平均需要点击多少次鼠标? 世界上任何两台计算机至多通过四台服务器就可以连通!

  46. 如果把人的电子邮件地址作为一个点,两个有联系的人的地址联一条边(电邮地址簿),则这个图的直径为4,即任何两点的距离至多为4.如果把人的电子邮件地址作为一个点,两个有联系的人的地址联一条边(电邮地址簿),则这个图的直径为4,即任何两点的距离至多为4. 根据计算机病毒传播的途径和方法不一样,网络拓扑结构也是有变化的. 复杂网络上的传播机理和动力学分析--各种传染病(艾滋病、非典型性肺炎和禽流感等)是如何在人类和动物中流行的?--为什么流言蜚语会散布得很快? 层出不穷的计算机病毒是如何在互联网(internet)上传播的?

  47. 20世纪60年代末，哈佛大学的研究生Mark Granovetter带着这些问题，开始了他的研究课题。他在波士顿地区采访了近100个人，并向200多个人发出了问卷。这些被调查者，要么刚刚改变了工作，要么最近才被雇佣，而且都是专业技术人士，也就是说，他的调查范围不包括蓝领工人。Granovetter发现，人们在找寻工作时，那些关系紧密的朋友(强连接)反倒没有那些关系一般的甚至只是偶尔见面的朋友(弱连接)更能够发挥作用。事实上，关系紧密的朋友也许根本帮不上忙。下面是Granovetter论文中给出的一个例子，类似的例子在我们身边也非常多，例如：Edward在上高中的时候，他认识的一个女孩邀请他参加了一个聚会。在聚会上， Edward遇到了比他大十岁的那个女孩的大姐的男朋友。三年以后，当Edward辞去了工作后，他在当地的住所偶遇到了这位只有一面之交的朋友。在交谈中，这个人提起说他所在的公司现在需要一个制图员，于是Edward申请了这个工作，并顺利地被聘用了。Granovetter的这篇标题为《弱连接的强度》(The Strength of Weak Ties)的论文最初于1969年8月投给了《美国社会学评论》杂志，但4个月后就被退稿。四年之后，这篇论文才在《美国社会学》杂志发表。现在它已被认为是有史以来最有影响的社会学论文之一。 人们是如何找到他们所需要的工作呢?

  48. 网络的小世界性：尽管网络很大，但是任意两人之间的平均距离却惊人的小。网络的小世界性：尽管网络很大，但是任意两人之间的平均距离却惊人的小。 网络的可搜索性：尽管链接两个人的路径的数目可能很大且不同路径的长度差异也可能很大，但是人们是有可能找到链接自己与某个陌生人之间的较短路径的(见：《“小世界”网络的集体动力学》)。 Watts(Identity and search in social networks, Science,2002,296:1302-1305)对社会网络作了进一步的研究。 社会网络搜索：Kleinbeig网格搜索、层次树结构网络模型 搜索策略：广度有限搜索、随机游走搜索、最大度搜索等 WS小世界网络 复杂网络中的搜索

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