レプリカ法と線型計画法に見る 無限小と無限大 - PowerPoint PPT Presentation

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レプリカ法と線型計画法に見る 無限小と無限大

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レプリカ法と線型計画法に見る 無限小と無限大

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Presentation Transcript

  1. 表紙 レプリカ法と線型計画法に見る 無限小と無限大 奈良女子大学理学部 角田秀一郎

  2. 計画法 線型計画法の作成する点列を使ったカオスの構成 (佐伯祐子との共同研究) 単体法における退化現象の回避---- 1.背理法:矛盾に持ち込む方法 2.無限小を使うやり方 一方,境界を探索していく単体法に対して, 80年代中頃から内点法が脚光を浴び,双対内点法と進化していく(ホットな分野) 単体法と双対内点法を ミックスさせる 最適解

  3. 問題 原型:単体法の退化現象と無限小による回避 線型計画問題 + ベクトル 行列

  4. 双対 双対内点法の統一的扱い 記号 … …

  5. 解の改善 から 実行可能解 により,あらたな実行可能解 は適当な実数

  6. ベクトル 列ベクトル  に対して, ベクトル         を で定義すると, が成り立つ(佐伯).   は M の, は N の列ベクトル これを使って解の収束等の評価を行う.

  7. 無限小 無限小の導入 ここで場合が分かれる. の成分に 0 が少ないときεに無関係に解が移動 の成分に 0 が多いとき解はεのオーダーでのみ変化 より具体的には によって決まる.

  8. 点の動き 点列とプロセス はじめは内点を移動し,境界に到達する.しばらく 境界上を移動して,次に動かなくなる.しばらくそ のまま.突然,内点方向に飛び出す.以上のプロセ スを繰り返す. このように,内点ではεは 点列には影響しないが, εオーダーの違いは境界に 行ったとき本質的となる. 飛び出すタイミングの 評価はできるが,決定は できない.

  9. 最悪のケースと♪の導入 のとき,εオーダーで改善されていき, εオーダーで元の よりも改善されることが分かる. これ以降,εに小さい数を代入すれば,いつでも よりも良い解が得られる. εのままであれば,そのまま. そこでnとは書けない大きな自然数 を導入する. これによって通常の「数 」だけ改良されるとしてよい.

  10. まとめ 前半のまとめ このカオス的点列が境界から飛び出す瞬間が存在するのは 前の評価を使ってできるが,いつかは原理的に確定できない. 「存在定理」があるのみ. 漸化式は内部でも境界でもひとつの式で書け, の導入により ひとつの操作を行うだけとなる. 計画法の解法としても    を適切にとってやれば,多項式 オーダーで収束し,かつ,厳密解を得ることになる.

  11. レプリカ レプリカ法とParisi解の無限小 分配関数Zの計算:lnZは難しいが,  は計算できることがある.そこで式 を参考に とするのをレプリカ法という.ただし,自然数 n だけで定義されたものに0を代入するので,そのままでは数学的裏付けはない.

  12. Parisi解 レプリカ法   :ランダム変数(の集まり) であるが,レプリカ法では         のあと となり,順序交換が問題となる. さらにレプリカ法にはParisi解という面白い解がある. 今日の話は,Parisi解を正当化する体系を作り,それを元にレプリカ法を 再構成すること. 由緒正しき方法は解析接続すること.しかし,いまの場合,解析接続の 前に関数自体を決定することが先決.

  13. 対称解 レプリカ対称解:鞍点での値がレプリカ指標によらない解 としたのがレプリカ対称解 対称解以外で知られているのはParisi解のみ

  14. Parisi解2 はすべての成分1 2ステップ目 以下同様に無限回 繰り返す は  の約数,...     を無限大にする. この大小を反転させる… (    とするとき)

  15. 無限小 無限小=無限大の枠組み は十分大きな素数で     の形

  16. 解説     と    を両立させることができる.  無限大は 多項式関係に強い数式処理ソフトの中には大きな素数を0とする ものがある.当然,大きな数を扱う場合バグが出やすい. そこを逆に積極的に使う. レプリカ法はシミュレーションと矛盾がない.これを「大きな」 素数の存在によって説明できるかもしれない. シミュレーションはレプリカ法を使っているわけではないが, 計算機での実際の数値計算で「意図せず」大きな素体での計算 をしているかもしれない. これを実証できると面白い.

  17. ♪2     とするためには p を有限のまま無限大にしなければならない. pを n とは書けないが有限の「素数 」に極限する. このとき k を「無限大」に飛ばすことができる. 上の議論が気に入らない人はあくまで近似のみを考えれば良い. しかし,それは実数を認めず,あくまで有理数ですべてを考える ことに等しい.

  18. 形式解 形式的Parisi解 Parisi解では  のみ変数. も二重性をもつようにすると 新しい解が得られるか.    はmodとしては不変だが,そのまま自然数で考えると変数と することは可能.        で では積分が発散するが,  では収束するようにできる.その上でParisi解とは異なる形で0に極限する. この方法で,通常の有限の解となり,かつ,Parisi解と異なるも のが得られるかどうか不明.

  19. 可換性 N と n の順序交換の問題 を計算するとき,まずnを無限大にする.このとき,被積分 関数の n のある種のオーダーが有限となれば,N との順序交換は 可能となる.レプリカ対称解やParisi解はそうなっている. したがって,この交換問題は n の二重性を考慮することで解決するもの と思われる.

  20. まとめ2 後半のまとめ Parisi解を中心にしてレプリカ法を再考察 「変数」の「解析接続」 変数の二重性を使用(1点のみに解析接続) Parisi解とレプリカ法をある程度説明できる. 課題:形式的Parisi解のようなあらたな解が構成できるか.

  21. replica1

  22. replica2

  23. 形式Parisi たとえば, こんな形.kでは収束せず,nでは収束. 最後にn=0に解析接続.