第三章 导数与微分

2. 第三章 导数与微分 局部变化速度 & 局部改变量的估值

3. 本章内容 • §1 导数概念 • §2 计算 • §3 微分概念

4. 促使微分学产生的三个问题 • 求变速直线运动的瞬时速度 • 求曲线上一点处的切线 • 求极大值和极小值

5. Fermat’s Idia

6. §1 导 数 • 两个原型 • 导数概念 • 左、右导数 • 连续性与可导性之间的联系 • 高阶导数的概念

7. §1.1 抽象导数概念的两个现实原型 • 求变速直线运动的瞬时速度 • 求曲线上一点处的切线

8. 原型 I 求瞬时速度 如果质点作直线匀速直线运动，则

9. 对变速直线运动，在一个时间段内，速度可以改变很多次，例如对变速直线运动，在一个时间段内，速度可以改变很多次，例如 • 汽车在一个小时的行程中，其速度会发生很多变化 • 悬浮在水中的花粉的运动速度，由于水分子的碰撞而速度急剧地变化

10. 用平均速度近似瞬时速度 • 瞬时速度可以看作平均速度的极限 • 原理：汽车在一小时内速度经常变化，但在一个较小的时间段内，其速度变化会较少

11. 原型 I 求瞬时速度 设一质点 M 从点 O 开始作变速直线运动，经 T 秒到达 P 点, 求该质点在 t_0 时刻的瞬时速度

12. 原型 I 求瞬时速度 以 O 为原点，沿质点运动的方向建立数轴，用 s 表示质点运动的路程： 求 时刻的瞬时速度

13. Step1 求增量

14. Step2 求增量比 当Δt 很小时，速度不及有较大的变化，可把质点在Δt时间间隔内的运动近似看成匀速运动，求平均速度：

15. Step3 取极限 当Δt 越来越小，平均速度越来越接近于瞬时速度：

16. 原型 II 求曲线的切线的斜率 • 求曲线上一点处的切线

17. 切线作为割线的极限位置

20. 求切线斜率三部曲 • 求增量 • 求增量比 • 取极限

21. 现撇开变量所代表的物理意义，只看它们纯数学形式，发现以上的问题就是要求去计算一个函数的改变量现撇开变量所代表的物理意义，只看它们纯数学形式，发现以上的问题就是要求去计算一个函数的改变量

22. 还有很多实际或理论问题，如物体在某点的加速度，求局部密度等，都可归结为求这样一个极限。还有很多实际或理论问题，如物体在某点的加速度，求局部密度等，都可归结为求这样一个极限。 于是有必要把这个特定的极限从具体问题中抽象出来加以研究，这便产生了导数的概念。

23. §1.2 导数概念

24. 1.定义： 导数定义

25. 说明：

26. 变速直线运动物体在时刻 t_0 的瞬时速度 v(t_0) 是路程函数 s=f(t) 在时刻 t_0的导数： 导数的力学意义

27. 导数的几何意义 曲线在某点的切线的斜率

28. 导数计算三部曲 • 求增量 • 求增量比 • 取极限

30. 导函数

40. 三、函数在可导点的局部性质 函数在x=0是否连续？

43. 例：

46. 导数几何意义的应用