简单的线性规划问题

1. y x o 简单的线性规划问题

2. 一..学习目标 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

3. 【教学重点】 • 用图解法解决简单的线性规划问题 • 【教学难点】 • 准确求得线性规划问题的最优解

4. 一、实际问题 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组

5. 将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。 若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？ 设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y 把z＝2x＋3y变形为 它表示斜率为 的直线系，z与这条直线的截距有关。 y 4 3 M o 4 8 x 如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大。

6. 二、基本概念 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。 y 4 可行域 最优解 满足线性约束的解 （x，y）叫做可行解。 3 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 可行解 o 4 8 x 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。

7. 三、例题 例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？ 分析：将已知数据列成表格

8. 解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么 目标函数为：z＝28x＋21y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域

9. 把目标函数z＝28x＋21y 变形为 它表示斜率为 随z变化的一组平行直线系 y 6/7 5/7 是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。 M 3/7 如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。 3/7 5/7 6/7 x o

10. M点是两条直线的交点，解方程组 得M点的坐标为： 所以zmin＝28x＋21y＝16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。

11. 四、练习题： 1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件： 2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：

12. y A 1.解：作出平面区域 o x C B z＝2x＋y 作出直线y=－2x＋z的图像，可知z要求最大值，即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1），则Zmax=2x＋y＝3

13. y 2.解：作出平面区域 A z＝3x＋5y o x C B 作出直线3x＋5y＝z 的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。 求得A（1.5，2.5），B（－2，－1），则Zmax=17，Zmin=－11。

14. 解线性规划问题的步骤： （1）画： 画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。

15. 几个结论： 1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。 2、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义--------与y轴上的截距相关的数。