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简单的线性规划问题 - PowerPoint PPT Presentation


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y. x. o. 简单的线性规划问题. 一 .. 学习目标 1 .知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2 .过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3 .情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生 “ 建模 ” 和解决实际问题的能力。. 【 教学重点 】 用图解法解决简单的线性规划问题 【 教学难点 】 准确求得线性规划问题的最优解.

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Presentation Transcript

y

x

o

简单的线性规划问题


..学习目标

1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;

2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力;

3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力。


  • 教学重点】

  • 用图解法解决简单的线性规划问题

  • 【教学难点】

  • 准确求得线性规划问题的最优解


一、实际问题

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?

按甲、乙两种产品分别生产x、y件,由已知条件可得二元一次不等式组


将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用那种生产安排利润最大?

设工厂获得的利润为z,则z=2x+3y

把z=2x+3y变形为

它表示斜率为 的直线系,z与这条直线的截距有关。

y

4

3

M

o

4

8

x

如图可见,当直线经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大。


二、基本概念 将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

一组关于变量x、y的一次不等式,称为线性约束条件。

把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数,因为它是关于变量x、y的一次解析式,又称线性目标函数。

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题。

y

4

可行域

最优解

满足线性约束的解

(x,y)叫做可行解。

3

由所有可行解组成的集合叫做可行域。

可行解

o

4

8

x

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。


三、例题 将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

例1、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?

分析:将已知数据列成表格


Xkg a ykg b z
解:设每天食用 将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,那么

目标函数为:z=28x+21y

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域


Z 28x 21y
把目标函数 将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。z=28x+21y 变形为

它表示斜率为

随z变化的一组平行直线系

y

6/7

5/7

是直线在y轴上的截距,当截距最小时,z的值最小。

M

3/7

如图可见,当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M时,截距最小,即z最小。

3/7

5/7

6/7

x

o


M 将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。点是两条直线的交点,解方程组

得M点的坐标为:

所以zmin=28x+21y=16

由此可知,每天食用食物A143g,食物B约571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元。


四、练习题 将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。:

1、求z=2x+y的最大值,使x、y满足约束条件:

2、求z=3x+5y的最大值,使x、y满足约束条件:


y 将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

A

1.解:作出平面区域

o

x

C

B

z=2x+y

作出直线y=-2x+z的图像,可知z要求最大值,即直线经过C点时。

求得C点坐标为(2,-1),则Zmax=2x+y=3


y 将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

2.解:作出平面区域

A

z=3x+5y

o

x

C

B

作出直线3x+5y=z 的图像,可知直线经过A点时,Z取最大值;直线经过B点时,Z取最小值。

求得A(1.5,2.5),B(-2,-1),则Zmax=17,Zmin=-11。


解线性规划问题的步骤: 将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

(1)画:

画出线性约束条件所表示的可行域;

(2)移:

在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点

且纵截距最大或最小的直线;

(3)求:通过解方程组求出最优解;

(4)答:作出答案。


几个结论: 将上述不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

1、线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得。

2、求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义--------与y轴上的截距相关的数。


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