授课题目

1. 5.5 子空间的和与直和 授课题目 子空间的和与直和 授课时数 3课时 教学目的 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 教学重点 子空间的判别. 教学难点 子空间的交与和．

2. 一、子空间的和 1. 定义及性质 回忆: 令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W是V 的一个子空间. 一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。

3. 一般，设 {Wi }是向量空间V的一组子空间（个数可以有限，也可以无限）.令 表示这些子空间的交。如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间. 设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那么它们的交W1∩W2也是V的一个子空间. 作为子集的二个子空间W1与W2的并集，一般说来不是子空间，现在考虑V的子集

5. 证 0∈W1，0∈W2，所以0=0+0∈W1+W2，因此W1+W2≠ф。设a, b∈F, α,β∈W1+W2, 那么,因为W1,W2都是子空间,所以 , ,于是 这就证明了W1+W2是V的子空间.

7. + =

8. 2. 维数定理 定理5.5.2 设Ｗ和Ｗ都是数域Ｆ上向量空间Ｖ的有限维子空间．那么Ｗ＋Ｗ也是有限维的，并且 dim（Ｗ＋Ｗ） ＝dimＷ＋dimＷ－dim（Ｗ∩Ｗ）

9. (2) (3)

10. 设 则 于是

11. 故

15. 解 给出 一组基：

16. A=

19. 证 “必要性”

21. 证 运用循回证法 由维数定理，得

22. 即

23. 三、余子空间的确定 1、 余子空间的存在性 推论2 n维线性空间V的任一子空间都有余子空间.

26. 设