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Equation du second degré

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Equation du second degré

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  1. Equation du second degré

  2. Sommaire • Exemple • Définition • Résolution graphique • Cas1 • Cas2 • Cas3 • Exo 4 • Ex: Entreprise Reguenet • Résolution algébrique d’une équation du second degré

  3. Sommaire • Exemples • Remarque 1 • Remarque 2 • Factorisation • Exemple • Inéquation du second • I. Signe du trinôme • Exemples • II. Solution d’une inéquation du second degré

  4. Définition : Une équation du second degré a pour forme générale : Les solutions (si elles existent) d'une telle équation sont les abscisses des points d'intersection : ·  de la parabole d'équation P d’équation y = a x2 + b x + c · et l’axe (ox) d’équation y = 0

  5. Résolution graphique d’une équation du second degré

  6. Cas 1 : (figure I) La parabole (P) coupe l’axe des abscisses (ox) en deux points A et B. Les deux solutions distinctes sont les abscisses des points d'intersection de (ox) et (P). Exemple Résoudre graphiquement x2 + x ‑ 6 = 0.

  7. Pour cela : 1.     On trace la parabole (P) d'équation y = x2 + x - 6. 2.     On lit sur l’axe (ox) d'équation y =0 3.     Les points d'intersection A et B ont pour coordonnées respectives (- 3; 0)  et (2; 0). • Les abscisses xA = ‑ 3et xB = 2sont solutions de l'équation x2 + x ‑ 6 = 0. • Vérification : • ·        (‑3)2 + ( ‑3) – 6 = 0, • ·        22 + 2 – 6 = 0.

  8. Cas 2 : (figure II) L’axe (ox)est tangente à la parabole (P) au point I. La solution est l'abscisse du point de tangence de la droite à la parabole. Exemple Résoudre graphiquement l’équation:

  9. Pour cela: ·   On trace la parabole (P) d'équation y = x2 - 4 x + 4 ·Le point d'intersection I a pour coordonnées : (2 ; 0) Son abscisse x = 2 est solution de l'équation :

  10. Cas 3 : (figure III) L’axe (ox) ne coupe pas la parabole (P). L'équation n'a pas de solution dans ce cas. Exemple Résoudre graphiquement l’équation ‑ x2 ‑ x ‑ 2 = 0. • Pour cela : ·   On trace la parabole (P) d'équation y = - x2 ‑ x ‑ 2. ·  Il n'y a pas de point commun. Il n'existe donc pas de réel x pour lequel ‑ x2 ‑ x ‑ 2 = 0 .

  11. A B

  12. I

  13. IV. Equation: 2 x2 + x – 6 = 0 Les coordonnées du point d’intersection sont: (- 2; 0) et (1,5; 0) Les solutions sont: x = - 2 et x = 1,5

  14. Solutions: x = - 2 et x = 1,5

  15. Exemples

  16. Coût de production : 1. a.   Tableau de valeurs: b. Voir graphique. a.   Tableau de valeurs : 2.

  17. b. Une centaine d’objets est vendue à 10 k€, donc n centaines seront vendues à R = 10 n c.  Voir graphique 3. a.     B(n) = R(n) – C(n) = 10 n – (n² + 9) = - n² + 10 n – 9 b.    Pour avoir des bénéfices, h(x) doit être positive, donc l’entreprise doit vendre entre 100 et 1000, exclus, objets.    Par lecture graphique, le bénéfice est maximum pour 500 objets c. Voir graphique d. Pour 500 objets le bénéfice est maximal

  18. D: R(n) = 10 n P: C(n) = n2 + 9

  19. x 0 5 10 15 20 25 2 x² - 40 x + 500 500 350 300 350 500 750 RENTABILITÉ D’UNE PRODUCTION 1. ·Tableau de valeurs : ·   Représentation graphique de la fonction C(voir graphique).

  20. x 0 5 10 15 20 25 P(x) = 10 x + 300 300 350 400 450 500 550 2. ·Tableau de valeurs. ·Voir graphique. ·   Le prix de vente est égal au coût d’achat pour q = 5 et q = 20. ·La production est rentable pour

  21. Exercice: Entreprise de M. Ringuenet

  22. PREMIERE PARTIE : 1.    Tableau : 2. a) CA= 0,3 n + 100 pour tout n compris entre 0 et 50 ( 10 ≤ n ≤ 50 ) b) CA = 0,7 n + 80 pour tout n compris entre 50 et 120 ( 50 ≤ n ≤ 120 ) 3. Courbe de la fonction f

  23. DEUXIEME PARTIE : 1.    Tableau de valeurs. 2.        Voir graphique. TROISIEME PARTIE : 1.  Par lecture graphique, f(x) = g(x) lorsque x = 100 2. Dans l’intervalle [50 ; 120], f(x) = 0,7 x + 80 et = 0,006 x2 + 90

  24. donc dans l’intervalle [50 ; 120], f(x) = g(x) Et après simplification, on trouve

  25. 3. Par lecture graphique, f(x) < g(x) lorsque 4.  D’après l’étude précédente, et puisque la destination des colis est à plus de 100 km, M. Ringuenet devra choisir la société A qui semble plus intéressante à partir de 100 km.

  26. Résolution algébrique d’une équation du second degré

  27. Méthode du discriminant Pour résoudre l’équation a x2 + b x + c = 0(avec a non nul), On calcule le nombre Ce nombre est appelé discriminantde l’équation. Trois cas sont possibles: • Si < 0, l’équation n’a pas de solution • Si = 0, l’équation a une solution unique:

  28. Si > 0, l’équation a deux solutions distinctes:

  29. Exemples: Résoudre I. 2 x2 – 5 x – 3 = 0 - 3 2; b = - 5; c = • a = • Je calcule le discriminant: donc l’équation a deux solutions

  30. II. 4 x2 – 4 x + 1 = 0 1 4; b = - 4; c = • a = = (- 4)2 – 4×4×1 = 0 = 0, donc l’équation a une seule solution

  31. III. – 3 x2 + 5 x – 5 = 0 - 5 - 3; b = 5; c = • a = donc l’équation n’a pas de solution

  32. Remarque 1 Dans les cas où l’équation à résoudre peut se mettre immédiatement sous forme de produit de facteurs, On n’utilise pas la méthode du discriminant; Il est plus rapide dans ce cas de factoriser l’équation. Exemple: Résoudre dans 3 x2 – 9 x = 0 3 x ( x – 3) = 0 3 x2 – 9 x = 0 3 x = 0 et x = 0 ou x – 3 = 0 et x = 3 D’où les solutions x1 = 0 et x2 = 3

  33. Organigramme de résolution • Pour résoudre une telle équation, on utilise l’organigramme suivant:

  34. a x² + b x + c = 0 Calcul du discriminant Δ = b ² - 4 a c Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Une seule solution b x1 = x2 = - —— 2 a Deux solutions Aucune solution Dans l’ensemble des nombres réels

  35. Remarque 2: • Les solutions de l’équation a x ² + b x + c = 0 • sont aussi appeléesles racines du polynôme a x ² + b x + c

  36. Factorisation du polynôme a x ² + b x + c • a. Si Δ > 0, le polynôme a x ² + b x + c a deux racines x1 et x2etil se factorise comme suit: a x² + b x + c = a ( x – x1)(x – x2 )

  37. Factorisation du polynôme • b. Si Δ = 0, a x² + b x + c admet une seule racine x0 telle que: a x ² + b x + c = a ( x – x0  )² • c. Si Δ < 0, a x ² + b x + c n’a pas de racine; il ne peut être factorisé

  38. Exemple Factoriser le polynôme 3 x² + 7 x – 20 Δ = 7² - 4×3×(-20) = 289 > 0 Donc ce polynôme admet 2 racines:

  39. Résolution d’une inéquation du second degré

  40. I - Signe du trinômea x 2 + b x + c avec a 0

  41. Exemples: a.     Cas où  > 0 : Recherche graphique du signe de f(x) = x2 – 4 x + 3 : a = 1 ; b = - 4 ; c = 3   On calcule Δ  = b² - 4 a c = 16 – 12 = 4 > 0 ; donc f(x) admet 2 racines : x1 = 3 ; x2 = 1

  42. Par lecture graphique on a: •   Pour x < 1 ou x > 3, f(x) = x² - 4 x + 3> 0 • Pour 1 < x < 3, f(x) = x² - 4 x + 3< 0 Ceci peut se résumer par le tableau suivant(a = 1 > 0)  :

  43. Recherche graphique du signe de f(x) = - 2 x2 – x + 6: 6 a = - 2; b = - 1 ; c =  = b2 – 4 a c = 49 > 0; doncle trinôme f(x) = - 2 x2 – x + 6admet 2 racines x1 = 1,5et x2 = - 2