ymt 222 sayisal anal z b l m 3a n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 3a) PowerPoint Presentation
Download Presentation
YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 3a)

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 30

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 3a) - PowerPoint PPT Presentation


  • 321 Views
  • Uploaded on

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 3a). Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi. Doğrusal (Lineer) Denklem Sistemleri. GİRİŞ (ı). Lineer Denklem: Sadece birinci derece bilinmeyenli olan denklemlerin gösterimidir.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 3a)' - lynne


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
ymt 222 sayisal anal z b l m 3a

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 3a)

Prof. Dr. Asaf Varol

2012-2013 Bahar Dönemi

slide3
GİRİŞ (ı)
  • Lineer Denklem: Sadece birinci derece bilinmeyenli olan denklemlerin gösterimidir.
  • Lineer Denklem Sistemleri: Lineer denklemlere karşılık birden fazla bilinmeyenli denklemler de vardır.
g r 2
GİRİŞ (2)

(n+1) noktaları boyunca ilerleyen n dereceli bir polinomun katsayılarını bulmak istersek (n+1) denklemlerin bir lineer sistemi gösterilir. Örneğin x ve y noktaları boyunca ilerleyen 2. dereceden bir parabol için denklem bulma;

(-1,0) ; (1,1) ; (2,-1) a0, a1 ve a2 bilinmeyen katsayılar için aşağıdaki denklemleri çözebiliriz.

2. derecedeki bir polinom için genel denklem her bir x ve y noktasının değeri ile elde edilir.

durum rne i demiryolu arac n n titre imi
Durum ÖrneğiÜç Demiryolu Aracının Titreşimi

Newtonun 2. Kanununagöre her aracınkazancı

-k1 x1 + k2 (x2 – x1) = m1 a1

-k2 (x2 – x1) + k3 (x3 – x2) = m2 a2

-k3 (x3 – x2) = m3 a3

durum rne i demiryolu arac n n titre imi1
Durum ÖrneğiÜç Demiryolu Aracının Titreşimi

k1=k2=k3=k=10000 kg/s ve m= 2000 kg , m2=3000kg ve m3= 1000kg’dir.Hepsininivmesi 1m/s olduğudurumdaher biraracınkonumunubelirleyiniz. Bu temsilideğerler ile denklemvekazanç düzenlenirse;

-2x1 + x2 = 0.2

x1 - 2x2 + x3 = 0.3 x2 - x3 = 0.1

Bu özel form denklem sistemlerinin matristemsiliiçinçokuygundur.

[A]{X} = {C}

[A] katsayılarınmatrisgösterimi, {x} bilinmeyenvektörtemsili, ( x1,x2,x3 ) ve {C} eşitliğin karşı tarafındaki katsayılardır.

durum rne i basit bir destek st ne uygulanan g
Durum ÖrneğiBasit Bir Destek Üstüne Uygulanan Güç

c ile:

-Fcd cos30 – Fbc cos45 = 0

Fcy + Fcd sin30 + Fbc sin45 = 0

d ile:

-Fad cos30 + Fcd cos30 = 0

Fbd– Fad sin30 – Fcd sin30

Serbestcisimdiyagramıçizilirve x- ve y- yönlerindekuvvetlerintoplamıayarlanaraksıfırayaklaştırılırveaşağıdakidenklemeldeedilir;

a ile:

Fax + Fab cos45 + Fad cos30 = 0

Fay + Fab sin45 + Fad sin30 = 0

b ile:

-Fab cos45 + Fbc cos45 + 3 = 0

-Fab sin45 – Fbc sin45 –Fbd = 0

durum rne i basit bir destek st ne uygulanan g1
Durum ÖrneğiBasit Bir Destek Üstüne Uygulanan Güç

Denklemyenidendüzenlenirse;

Denklem organize biçimdeyenidendüzenlendiğindebudeğerlerbirmatrisformundakolaylıklayerinekoyulabilir.

F1 =Fax, F2 = Fay, F3 = Fab, F4 =Fad, F5 = Fbc, F6 = Fbd, F7 = Fcd, ve F8 = Fcy

Matris denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.

[G]{F} = {L}

G geometrikmatris, F Güçvektörüve L yolvektörüdür.

durum rne i basit bir destek st ne uygulanan g2
Durum ÖrneğiBasit Bir Destek Üstüne Uygulanan Güç

Denklemsistemi 8 bilinmeyeniçinçözülebilir. 8 bilinmeyenlidenkleminçözümü 8 denklemyardımıyla olur. Elbettebuistenilenbirişdeğildir. Bu yüzdenhesapveçözümalgoritmalarınışu an bubölümdebugörevinispikolaylaştırmaileyerinegetirebiliriz.

matris cebirinin ncelenmesi
Matris Cebirinin İncelenmesi

[A] 3*3 matrisibelirler

a11 a12 a13

[A] = aij = a21 a22 a23

a31 a32a33

İlk indeksi=1,2,3 satırsayılarınıbelirtirve 2. indeksj=1,2,3 sütunsayılarıbelirtir. Aii(a11, a22, a33) elemenları köşegen elemanlardır. Bu köşegenelemanlarınüstündekielemanlarüstköşegenelemanlar altındakileriise alt köşegenelemanlarolarakadlandırılır.

Alt köşegenelemanlar0 olduğundaüstüçgenmatrisüstköşegenelemanlar0 olduğunda alt üçgenmatrisolarakadlandırılır.

Birmatrisgenellikle m satırve n sütunilebelirtilir.

[A] = aij ; i=1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n

m=n eşitolduğundakarematrisolarakadlandırılır. Matrisinbüyüklüğün*m ilebelirtilir.

matris cebirinin ncelenmesi toplama
Matris Cebirinin İncelenmesi Toplama

İkimatrisitoplayabilmekiçinaynıbüyüklükteolmalarıgerekir. İkimatrisintoplanabilmesiiçinbuişlemelemanlarınınuygunolmasıgerekir.

[A] + [B] = [C]

yani

aij + bij = cij

Örneğin c11 = a11 + b11; c12 = a12 + b12; c21 = a21 + b21vs.

matris cebirinin ncelenmesi arpma
Matris Cebirinin İncelenmesi Çarpma

1.matrisin sütunsayısıile 2. matrisinsatırsayısıaynıolmasışartıylaikimatrisçarpılabilir.

[A]mxn [B]nxk= [C]mxk

Matrisinçarpımsonucu 2. matrisinsütunsayısıile 1. matrisinsatırsayısıylaaynıolduğugörülür. İkimatrisçarpımındarakamlaraşağıdakidenklem ilegösterir;

aijbjk = cik

Toplam jindeksi üzerinde ise

önemli not : çarpımdayerlerdeğiştirilemez.

[A][B]  [B][A]

rnek 3 2 1
Örnek 3.2.1

Problem: Aşağıdaverilenmatrisinçarpımınıbulunuz

1-10

[A] = aij = 2-2 1

30 -1

2-2

[C] = cik = 7 -4

3 -3

Çözüm:

i=1, k=1c11= a11b11 + a12b21 + a13b31 = 1 * 2 + -1 * 0 + 0 * 3 = 2

i=2,k=1c21= a21b11 + a22b21 + a23b31 = 2 * 2 + -2 * 0 + 1 * 3 = 7

i=3,k=1 c31= a31b11 + a32b21 + a33b31 = 3 * 2 + 0 * 0 + -1 * 3 = 3

i=1,k=2c12= a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1 * -1 + -1 * 1 + 0 * 0 = -2

i=2,k=2 c12 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 2 * -1 + -2 * 1 + 1 * 0 = -4

i=3,k=2c12= a31b12 + a32b22 + a33b32 = 3 * -1 + 0 * 1 + -1 * 0 = -3

matrisin transpoz ve determinant
Matrisin Transpoz ve Determinantı

Birmatrisintranspozu, [A]Tmatrisinsütunlarıylasatırlarınınyerdeğiştirmesiyleeldeedilir.

[B] = [A]T ; bij= aji

Birsimetrik[A] matrisiiçin; [A]T = [A].

Birmatrisinin determinantışuşekildetanımlanır.

det[A] = (-1)i+jaij

Minormatrisjsütunveisatırbağlantısıylaeldeedilenorijinalmatrisin örneğidir. Eğer 2 satıryerdeğiştirirsebu determinant değişikliğiişaretidir. En küçük 2 ncilmatris2 * 2 dirvedeterminantı:

EğerDet [A] =0ise, [A] matristanımsızdırvesistemintekçözümüyoktur.

bir matrisin tersi ve zde i
Bir Matrisin Tersi ve Özdeşi

[A] matrisinintersi[A]-1olaraktanımlıdır.

[A][A]-1 = [I] = [A]-1[A]

[I] birimmatrisolarakadlandırılır. Bu matrisinköşegenelemanı1 diğertümelemanları0 dır. Örneğin 4 * 4 tanımınlımatris;

matris cebirinin kurallar
Matris Cebirinin Kuralları

BirleşmeKuralı([A]+[B])+[C] = [A]+([B]+[C])

([A][B])[C] = [A]([B][C])

Yerdeğiştirme Kuralı[A] + [B] = [B] + [A]

Dağıtma Kuralı [A]([B]+[C]) = [A][B] + [A][C]

([A][B])T = [B]T [A]T

([A] + [B])T =[A]T + [B]T

Tersi([A][B])-1 = [B]-1 [A]-1

(c=Sabit)(c[A]) -1= [A]-1/c

Determinantdet([A][B]) = det[A]det[B]

det([A]T) = det[A]

(c=Sabit)det(c[A]) = cndet[A](n.derece)

matris normlar
Matris Normları

Birvektörünnormuveyabirmatrisnegatifolmayansayılardır. Bu sayılarmatrisveyavektörünbüyüklüğününbirölçümüdür. Scaler sayılarınbüyüklüğü tam değerlerdir. Çünkübirskaler birdenfazlavektörüvematrisiiçerir. Vektörlervematrisleriçinnormlarbirdenfazlayollahesaplanabilirvetanımlanabilir. Vektörünbüyüklüğüelemanlarınkarelerinintoplamınınkareköküiletanımlanır.

örneğin{v} = -1i + 2j -3k; v1 = -1, v2 = 2, v3 = -3

{V} =

Bu normlarEuclidian normolarakbilinir.

Genelliklebir‘’p’’ normutanımlanabilir.

matris normlar ii
Matris Normları (II)

Diğeryaygınkullanımnormu uniform (tekbiçimli) vektör norm olarakadlandırılır.

1i n için

Benzer normlar n*n büyüklüğündeki bir [A]matrisi ile tanımlanır.

Frobenius norm:

Uniform matris normu (ya dasatır-toplam normu):

for 1i n

Sütun normu (ya dasütun-toplam normu):

for 1 j  n

rnek e3 2 3
Örnek E3.2.3

Problem: Aşağıdaki matrisi 3 yaygın normlarla hesaplayınız.

Çözüm: Tanımlamalarınkullanımıylaeldeedelim

Frobenius norm:

{(1)2 + (2)2 + (3)2 + (-2)2 + (3)2 + (4)2 + (-1)2 + (-2)2 + (5)2 }1/2 = 8.54

Uniform matris normu:

max{(1+2+1), (2+3+2), (3+4+5)}

= max(4,7,12) = 12

Sütun normu:

max{(1+2+3), (2+3+4), (1+2+5)}

= max(6,9,8) = 9

ko ul say lar ve ko ulland r lm sistemler
Koşul Sayılarıve Koşullandırılmış Sistemler

Bir matrisin koşul sayısı A ile tanımlanır.

Cond([A]) =

Sembol matrisin bir normunu gösterir. Cebir matrisiyle gösterilebilir. Bir matrisin koşul sayısı genellikle 1 den büyük ve eşittir.

Cond ([A]) =

Eğer bir matrisin koşul sayısı büyükse ona kötü şart denilebilir. Denklem sistemlerinde kötü şart içeren sistem varsa zor çözülürler. Bir sayısal çözümün bulunma denenmesinden önce bu sistemler ilk olarak önceden hazırlanmalıdır. Kötü şartlı sistemler için katsayıdaki küçük bir değişiklik çözümde büyük bir değişikliğe götürür.

rnek e 3 3 1
Örnek E 3.3.1.

Problem:Verilen matrisin koşul sayısını bulunuz

[A] = [A]-1 = (1/56)

Çözüm: Tek matris normu kullanımı:

= Max (4, 7, 12) = 12; = Max[(1/56) (36, 24, 18)] = 36/56 = 9/14

Cond ([A]) = (12)(9/14) = 54/7

Sütun Normu Kullanımı:

= Max (6, 9, 8) = 9; = Max[(1/56) (40, 24, 14)] = 40/56 = 5/7

Cond ([A]) = (9)(5/7) = 45/7

bir matrisin ko ulunu kontrol i in g zden ge irme kurallar
Bir matrisin koşulunu kontrol için gözden geçirmekuralları

Matris ölçümünden sonra uygulama denemelerini izleme, [A] gibi geniş elemanlarda her bir satır 1 dir.

Eğer kapalı köşegen elemanlarının tam değerlerinin toplamı ,ayrı ayrı her bir satır için köşegen elemanlarının tam değerinden daha az ise bu matris muhtemelen iyi koşullanmamıştır.

Not :Satırların kısmi eksende yer değiştirmesi bir matrisin koşul sayısını değiştirmez.

Eğer det[A]  0. isebu matris kötü koşullanmıştır.

Eğer[A]-1in elemanlarının ve varsa [A]-1elemanlarının sırası bir diğerinden büyükse muhtemelen kötü koşullanmıştır.

[I]* = [A] [A]-1; Eğer [I]* , [I], özdeş matrisinden farklı özellikteyse matris muhtemelen kötü koşullanmıştır.

[A]* = {[A]-1}-1 ; Eğer[A]* orijinal [A] matris inde kapalı değilse muhtemelen kötü koşulludur.

rnek e 3 3 2
Örnek E 3.3.2.

Problem: Verilen gösterimde

satırlar yer değiştiği zaman matrisin koşul şartının yer değişmediğini gösterelim.

Çözüm:

Şimdi aşağıdaki matrisi elde etmek için satırları değiştirin.

Matrisin tersinin doğruluğu çarpımın kontrolüyle gösterilir.

[B][B]-1 = I

Froberiusnormu kullanarak bulabiliriz;

cond([A]) = ||[A]||e||[A]-1||e = (1.4177)(1.4177) = 2.001

cond([B]) = ||[B]||e||[B]-1||e = (1.4177)(1.4177) = 2.001

do rusal sistemlerin z m i in direk metodlar
Doğrusal Sistemlerin Çözümü için Direk Metodlar

Genelde yaygın olarak Direk Metot kullanılır. Bu metodu anahatprosödürü veya algoritması koşullandırıldığı zaman çözebiliriz. Bu nedenle yaklaşık çözüm geliştirmede iterasyona ihtiyaç yoktur.

Cramer’s Metodu:

Bu metodliner bir denklemin çözüm metodundan çok kullanışsız ve masraflıdır. n*n matrisin determinantının hesaplanması istenirse n bilinmeyen sayısıdır. Bu kural ;

xi = det{[A]*}/det[A] i=1,2,3,...,n için (3.4.1)

[A]* matrisin değişimidir “i”ninci matris diğer tarafındaki sütunun değişimidirörneğin {c}T= (c1,c2,c3, ...

rnek e 3 4 1
Örnek E 3.4.1

Problem: (3.1.4).denklem sistemin çözümünü bulunuz

Çözüm: İlk olarak denklemin matris formunu yazmalıyız [A]{X}={C}

x1 = a0 = det[A*]1/det[A]; x2 = a1 = det[A*]2/det[A]; x3 = a2 = det[A*]3/det[A]

Daha sonra det[A] = 6

a0 = 8/6 a1 = 3/6 a2 = -5/6

referanslar
Referanslar

Celik, Ismail, B., “IntroductoryNumericalMethodsforEngineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001

Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458

Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458

Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458

Varol, A., “SayisalAnaliz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001

http://math.uww.edu/faculty/mcfarlat/inverse.htm