弧、弦、圆心角
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弧、弦、圆心角. 皂户李镇中学 康风星. 学习目标 1. 理解圆心角的概念。能在图形中准确识别圆心角 2. 掌握在同圆或等圆中,弧、弦、圆心角之间的 关系并能利用这个关系解决具体问题 3. 通过动手操作、小组讨论探究,培养学生的自主 探究能力和合作意识。. O. 圆绕圆心旋转. A. B. A. B. O. 圆绕圆心旋转. B. O. A. 圆绕圆心旋转. B. O. A. 圆绕圆心旋转. O. 圆绕圆心旋转. B. A. B. O. A. 圆绕圆心旋转. B. O. A. 圆绕圆心旋转. 复习与回顾.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

弧、弦、圆心角

皂户李镇中学 康风星


学习目标

1.理解圆心角的概念。能在图形中准确识别圆心角

2.掌握在同圆或等圆中,弧、弦、圆心角之间的

关系并能利用这个关系解决具体问题

3.通过动手操作、小组讨论探究,培养学生的自主

探究能力和合作意识。


.

O

圆绕圆心旋转

A

B


.

A

B

O

圆绕圆心旋转


B

.

O

A

圆绕圆心旋转


B

.

O

A

圆绕圆心旋转


.

O

圆绕圆心旋转

B

A


B

.

O

A

圆绕圆心旋转


B

.

O

A

圆绕圆心旋转


复习与回顾

●O

圆的对称性及特性

  • 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.

  • 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.

  • 用旋转的方法可以得到:

  • 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.

  • 这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性


定义:圆心角 顶点在圆心的角

探究

  • 选择:下列各个角中表示的是圆心角的是(  )  

圆心角

B


D

C

B

A

下面我们一起来观察一下:在⊙O中有哪些圆心角?(请举出两个例子,并说出圆心角所对的弧,弦。)

如果: ∠AOB=∠ COD

o


下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠ COD

D

C

o

B

A


下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

D

C

o

B

A


下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB= ∠COD

D

C

o

B

A


D下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

C

B

A

下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

o


D下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

C

B

A

下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

o


下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

D

C

o

C

D


下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

D

C

o

C

D


D下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

C

B

A

下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

o


D下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

C

B

A

下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

o


B下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?’

A’

B

A

下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

o


D下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

C

B

A

下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

o


D下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

C

B

A

下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

o


D下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

C

B

A

下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

o


D下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

C

B

A

下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

如图: ∠AOB=∠COD

o


下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系?

=

A1B1

AB

探究

如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?

A′

A′

B

B

·

·

B′

B′

O

O

A

A

根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时,显然∠AOB=∠A′OB′,射线OA与OA′重合,OB与OB′重合.而同圆的半径相等,OA=OA′,OB=OB′,从而点A与A′重合,B与B′重合.

因此,弧AB与弧A1B1重合,AB与A′B′重合.


在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,

所对的弦也相等.

同圆或等圆中,

两个圆心角、两

条弧、两条弦中

有一组量相等,

它们所对应的其

余各组量也相

等.

定理

这样,我们就得到下面的定理:

同样,还可以得到:

在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角_____, 所对的弦________;

在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角______,所对的弧_________.

相等

相等

相等

相等


在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,

D

∴ AB = CD。

C

o

B

A

已知:如图∠AOB=∠ COD,

求证: AB=CD,

证明:∵OA=OC ,OB=OD,

∠AOB=∠COD,

∴ 当点A与点C重合时,

点B与点D也重合。

∴ AB=CD,

AB = CD。

圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等          所对的弦也相等。   


圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,

如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′,固定其中一个圆心,将另一个圆移动一定的距离,使得OA和O′A′重合.

探究

A

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

B

A′

A

A′

A

B′

B

B′

●O′

●O

●O

●O′

D′

D′

D′

D′

圆心角定理

B

  • 你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.


归纳在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,

A

A

D

D

B

B

●O

●O′

●O

⌒ ⌒

可推出

②AB=A′B′

A′

A′

B′

B′

D′

D′

圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理

  • 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.

由条件:

①∠AOB=∠A′O′B′

③AB=A′B′

④ OD=O′D′


猜一猜在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,P95

5

A

A

D

D

B

B

●O′

●O

●O

⌒ ⌒

可推出

②AB=A′B′

A′

A′

B′

B′

D′

D′

拓展与深化

  • 在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件:

  • ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.

①∠AOB=∠A′O′B′

如由条件:

③AB=A′B′

④ OD=O′D′


猜一猜在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,

A

A

D

D

B

B

●O′

●O

●O

⌒ ⌒

⌒ ⌒

可推出

可推出

②AB=A′B′

②AB=A′B′

A′

A′

B′

B′

D′

D′

推论

  • 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

①∠AOB=∠A′O′B′

如由条件:

④ OD=O′D′

③AB=A′B′

①∠AOB=∠A′O′B′

如由条件:

③AB=A′B′

④ OD=O′D′


Acb 60 aob boc aoc
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,ACB=60°,求证∠AOB =∠BOC= ∠AOC

例题讲解

证明:∵

⌒ ⌒

⌒ ⌒

AB=AC

AB=AC

例1、已知如图,在⊙ O中,

∴AB=AC,∆ABC是等腰三角形

又∵ ∠ACB=60°

∴ ∆ABC是等边三角形,AB=BC=CA

∴ ∠AOB =∠BOC= ∠AOC


例题讲解在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,

⌒ ⌒

⌒ ⌒

AC=BD

AC=BD

例2、如图,已知AB是⊙ O的直径,M、N是AO、BO

的中点,CM⊥AB,DN ⊥AB,分别与圆交于C、D点,

求证:

分析:要证弧相等,可证弧所对的圆心角相等,因此可构造含圆心角的的两个三角形全等。

证明:如图,连结OC、OD

∵ M、N是AO、BO的中点

∵ CM⊥AB,DN ⊥AB,OC=OD


在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,

=

=

CD

CD

CD

AB

AB

AB

·

E

B

A

O

D

F

C

练习

1.如图,AB、CD是⊙O的两条弦.

(1)如果AB=CD,那么___________,_________________.

(2)如果 = ,那么____________,______________.

(3)如果∠AOB=∠COD,那么_____________,____________.

(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗?为什么?

AB=CD

AB=CD

相 等

因为AB=CD,所以∠AOB=∠COD.

又因为AO=CO,BO=DO,

所以△AOB ≌ △COD.

又因为OE、OF是AB与CD对应边上的高,

所以 OE = OF.


在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,

=

=

CD

CD

BC

BC

E

D

·

C

A

B

O

=

=

DE

DE

2.如图,AB是⊙O的直径, , ∠COD=35°,

求∠AOE的度数.

解:


 当堂达标在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,

1.下列说法中正确的是( )

①圆心角是顶点在圆心的角;

②两个圆心角相等,它们所对的弦也相等;

③两条弦相等,圆心到这两条弦的距离相等;

④在等圆中,圆心角不等,所对的弦也不等.

A.①③ B.②④ C.①④ D.②③

2.如图,已知AB是⊙O的直径,

,∠BOC=40°,那么∠AOE为( )

A.40 B.60°

C.75 D.120°


3在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,

则两条弧AB与CD关系是( )

A.

B.

C.

D.不能确定

4.如图,AB和DE是⊙O的直径,弦AC∥DE,

若弦BE=3,则弦CE=________.


5在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,.如图,已知D、E分别为半径OA、OB的中点,C为

的中点.试问CD与CE是否相等?说明你的理由.

6.如图,M、N分别为⊙O的弦AB、CD的中点,AB=CD,

求证:∠AMN=∠CNM.


在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,弧

1°弧

愿你多知点

∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.

则每一份这样的弧叫做1º的弧.

这样,1º的圆心角对着1º的弧,

1º的弧对着1º的圆心角.

n º的圆心角对着nº的弧,

n º的弧对着nº的圆心角.

性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.


1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,在半径相等的⊙O和⊙O 中,AB和A B 所对的圆心

角都是60°.

(1)AB和A B各是多少度?

(2)AB和A B 相等吗?

(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?

2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么

每一份弧是多少度?

3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.

´

´

´

´

´

´

´

拓 展


4在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,、如图,点O是∠BPD的平分线上的一点,以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D,(1)写出图中相等的线段,并证明。

(2)当点P是⊙O内一点时,上述结论是否还

仍然 正确?请画出图形并说明理由。

N

M

B

D

A

M

O

A

O

P

P

N

C

C

D

B


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