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超伝導のホログラフィック双対な記述に向けて

超伝導のホログラフィック双対な記述に向けて. 疋田泰章　（高エネルギー加速器研究機構） ２００９年７月９日＠ 基研研究会 「 場の理論と弦理論」. AdS/CFT 対応. [ Maldacena ’ 97 ]. d +1 次元の Anti-de Sitter (AdS) 空間上の重力理論. d 次元の共形場理論（ CFT ）. AdS 空間の境界 r→ 1 に住む. Ex. AdS 5 上の Type IIB 超弦理論 古典論をこえた量子論はほとんど理解されていない. Ex. 4 次元 N =4 超対称 U(N) ゲージ理論

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超伝導のホログラフィック双対な記述に向けて

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  1. 超伝導のホログラフィック双対な記述に向けて超伝導のホログラフィック双対な記述に向けて 疋田泰章　（高エネルギー加速器研究機構） ２００９年７月９日＠基研研究会「場の理論と弦理論」

  2. AdS/CFT対応 [ Maldacena ’97 ] d+1 次元のAnti-de Sitter (AdS) 空間上の重力理論 d次元の共形場理論（CFT） AdS空間の境界 r→1に住む • Ex. AdS5上のType IIB超弦理論 • 古典論をこえた量子論はほとんど理解されていない • Ex.4次元N=4超対称U(N)ゲージ理論 • 摂動論はよく理解されているが、強結合領域の解析は困難

  3. AdS/CFT対応による強結合物理 結合領域の対応 IIB string on AdS5 4d N=4 U(N) SYM 古典重力 ラージN 強結合 • AdS/CFT対応を用いる有効性 • 格子ゲージ理論に代わる強結合物理の定式化？ • 幾何学的, 解析的な取扱いが可能 • 時間発展も追える • クォーク・グルーオン・プラズマ • Shear viscosityの予言 • RHICにおける実験との比較 • [ Kovtun-Son-Starinets ‘04]

  4. AdS/CMPの例 (I) • ホログラフィック超伝導 [ Gubser; Hartnoll,Herzog,Horowitz; Maeda,Okamura; Herzog,Kovtun,son; ... ] • 高温超伝導の理解 • 普通の超伝導 ⇒ BCS理論による記述, Cooper対の凝縮 • 高温超伝導 ⇒ あまりよく理解されていない, 強相関物理？ • AdS/CFT双対な理論による記述が有効？ • 双対な重力理論における記述 • 有限温度 ⇒ AdS空間中のブラックホール • Cooper対の双対なスカラー場が凝縮 • 2次相転移, 無限大のDC伝導率, エネルギーギャップ, … 重力理論側 場の理論側 AdSブラックホールにおけるスカラー場の凝縮 有限温度での Cooper対の凝縮

  5. AdS/CMPの例 (II) • 非相対論的な共形場理論 • Schrödinger群 [ Son; Balasubramanian,McGreevy; Sakaguchi,Yoshida; Herzog,Rangamani,Ross; Maldacena,Martelli,Tachikawa; Adams,Balasubramanian,McGreevy; Nakayama,Ryu,Sakaguchi,Yoshida; ...] • Galilean変換 + スケール変換 + 特殊共形変換 (z=2) • 冷却フェルミ原子気体（40K, 6Li）の対の凝縮 Tc～50 nK 強相関, ユニタリ・フェルミ気体 B: 磁場 BEC crossover BCS

  6. AdS/CMPの例 (III) • Lifshitz的な模型 [ Kachru,Liu,Mulligan; Horava, ... ] • 時間反転に対して対称, Schrödinger群への拡張はなし • 量子臨界現象 • 繰り込み可能な重力理論？ • 量子ホール効果 [ Keski-Vakkuri,Kraus; Davis,Kraus,Shah, Fujita,Li,Ryu,Takayanagi; YH,Li,Takayanagi; Alanen,Keski-Vakkuri,Kraus,Suur-Uski ] • 有効理論としてのChern-Simons理論 • 不純物のある系 [ Hartnoll,Herzog; Fujita,YH,Ryu,Takayanagi; ... ] • レプリカ法

  7. 計画 0.　導入 • 超伝導 • AdS/CFT対応 • ホログラフィック超伝導 • 不純物のある系 • 議論

  8. 1. 超伝導 BCS理論とGL理論

  9. 超伝導の発見 • Kamerlingh-Onnes (1911) • ゼロ抵抗 • 温度 T < 4.2K で水銀の電気抵抗がゼロとなり完全導体となる • Meissner-Ochsenfeld (1933) • Meissner 効果 • 転移温度以下では超伝導体の内部から磁束が排除 from Wikipedia

  10. BCS理論 • Bardeen-Cooper-Schrieffer (1957) • 超伝導のミクロな理解 • 電子の対が格子の歪みを通じてCooper対をつくり、その対が凝縮することで超伝導状態が構成される

  11. Ginzburg-Landau理論 (I) • 強磁性体の場合 • F: 自由エネルギー, M: 磁化（秩序変数） F(M)の最少値

  12. Ginzburg-Landau理論 (II) • 超伝導の場合 • 秩序変数：波動関数 • 自由エネルギー密度 の最少値 磁場なし h = 0, 転移温度以下 ® < 0

  13. Meissner効果 超伝導体 • 方程式における特徴的長さ • 磁場侵入長：¸ • ゲージ場が質量を持つことによって, 磁場の侵入が指数関数的に抑えられる • コヒーレンス長：» ( Meissner効果)

  14. Type I & Type II • Type I • Type II from Wikipedia

  15. 高温超伝導 • 高温超伝導の特徴 • 高温の相点移転点 • 銅酸化物, 2+1次元 • 相構造 • 高温超伝導の理解 • ＢＣＳ（フォノンを媒介, 電子のクーパー対,s波） • non-BCS（スピン揺らぎを媒介 準粒子のクーパー対,d波） • non-BCS（準粒子の描像なし） AdS/CFTによる理解が有効？ from Wikipedia

  16. 2. AdS/CFT対応 AdS/CFT対応を用いた計算方法

  17. AdS/CFT対応 [ Maldacena] d+1 次元のAdS空間上の重力理論 • 双対性による写像 • 状態の対応 • 分配関数 • 相関関数 d次元の共形場理論 （境界 z=0 に住む） [Gubser,Klebanov,Polyakov; Witten]

  18. AdS空間中のスカラー場 スカラー場の作用 運動方程式 双対な共形場理論におけるスケーリング次元

  19. ２点関数 境界条件 境界 z=0 での振る舞い ホライズンz→∞ で正則 境界における作用 唯一の解 Bulk-boundary propagator スケーリング次元

  20. 演算子の真空期待値 • 境界 z=0 における重力理論の場の振る舞い • 双対な理論の物理量は境界の振る舞いから読み取る • 境界条件 • 境界 z=0 での振る舞い（ex. 　　　　　　　　　　　　　　　） • ホライズンz→∞ における条件（ex. 正則性） • スカラー場の展開 に関するソース の真空期待値

  21. スケーリング次元 双対性による写像 双対な演算子のスケーリング次元 境界z=0に住む d次元の共形場理論 d+1次元のAdS空間上の重力理論 : スカラー場 : スカラー演算子 m : スカラー場の質量 : 演算子のスケーリング次元 が発散しないのは ユニタリティ条件 ：Δ+のみがユニタリティ条件を満たす ：Δ+, Δ-両方が満たす Breitenlohner-Freedman bound (AdS空間の曲率のため負になりうる)

  22. 3. ホログラフィック超伝導 双対な重力理論における超伝導状態の実現

  23. 双対な重力理論 • [Gubser; Hartnoll,Herzog,Horowitz ] • 重力理論の性質 • (2+1)次元有限温度系 (3+1)次元AdS Schwarzschild ブラックホール • Cooper pair + U(1) 対称性  スカラー場 ª+ U(1) ゲージ場A¹ • Ginzburg-Landau模型に酷似 • スカラー場の凝縮 • ホライズン近傍で質量の２乗が負

  24. 重力解の構成 • 重力解を数値的に解析 • スカラー場, ゲージ場の反作用は無視 • q 1 として場の再定義で吸収 • 反作用も取り入れた解析も可能で定性的に同じ結果 • Ansatz • 運動方程式 • ホライズンにおける境界条件

  25. AdS/CFT写像 • 演算子との対応 • 質量を適当に固定 • 真空期待値との対応 • AdSの境界　　　　　　での振る舞い • 境界条件を仮定 AdS/CFT 電荷密度 化学ポテンシャル

  26. スカラー演算子の真空期待値 • [Hartnoll,Herzog,Horowitz ] • 結果 • 結論 • BCS理論による曲線をうまく再現 • ２次相転移 (自由エネルギーが連続的) cf. BCS: , High-Tc :

  27. 伝導率 • Maxwell場の摂動 • ベクトルポテンシャル Axの摂動 • ホライズンで　　　　　　　　　　　を仮定 • AdSの境界　　　　　　における振る舞い • Ohmの法則による伝導率

  28. Cooper対 ?? エネルギーギャップ • [Hartnoll,Herzog,Horowitz ] • 結果 • 結論 • 無限大のDC伝導率 • エネルギーギャップ

  29. ホログラフィック超伝導のまとめ • 結果 • 超伝導にホログラフィック双対な理論を構成 • スカラー場がAdSブラックホールホライズン近傍で凝縮 • ２次相転移, 無限大のDC伝導率, エネルギーギャップ • 議論 • Cooper対 • CFT側での理解, 高温超伝導特有の現象 • Meissner効果 • U(1)対称性のゲージ化, NGボソン • Type II 超伝導？Abrikosov格子？ [ Albash,Johnson; Montull,Pomarol,Silva ] • 不純物 • 並進対称性によりDC伝導率が無限大

  30. 4. 不純物のある系 レプリカ法とその双対な重力理論における対応物

  31. 不純物のある系 不純物 不純物の存在が大きな効果をもたらすこともある • 不純物のある系の例 • 実験で用いられる物質 • スピングラス系 • 量子ホール効果 • などなど

  32. 設定 d次元の場の量子論を用意 Ex. 4d N=4 U(N) SYM 演算子　　　　によって理論を変形 Ex. single-trace 演算子 変形のパラメータに関して平均化 変形のパラメータが空間座標 x に依存

  33. レプリカ法 自由エネルギー レプリカ法はこの恒等式に由来 • レプリカ法 • n 個のコピーを用意し, 不純物に関して平均をとったのち, n = 0 の極限をとる

  34. 重力理論による記述 利用する事実 レプリカ法 ｎ 個の場の理論を用意 相互作用を導入 最後に n = 0 の極限をとる Double-trace 演算子による変形 重力側では双対なスカラー場 Áの境界条件を変えることに対応 ホログラフィックレプリカ法 n個のAdS空間を用意 それぞれのAdS空間は境界を共有 AdS空間に住むスカラー場 Áiの境界条件を変形 スカラー場の境界条件を通してそれぞれのAdS空間が相互作用 最後に n = 0 の極限をとる 主に２点関数を計算し、両方の方法で同じ結果を得た [ Fujita,YH,Ryu,Takayanagi ] [ Witten ]

  35. 5. 議論 まとめと展望

  36. 議論 • まとめ • AdS/CFT対応の物性系への応用 • 強相関物理が重要 • いろいろな模型が構成できる • 実験室でAdS/CFT対応の検証を • 問題点 • 現実の模型に双対な重力理論の構成は困難 • 古典重力を超えた解析が困難 • ラージN極限, 共形場理論側の理解 • ユニバーサリティ？

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