第五节 控制系统灵敏度分析

1. 第五节 控制系统灵敏度分析 • 控制系统在参数变化时的灵敏度是一个非常重要的概念。在开环系统中，所有的变化都会导致系统的输出产生偏差，并且系统自身没有能力消除这一偏差，这是由于开环系统没有反馈的缘故。但是，闭环系统能够察觉到输出所产生的偏差，并试图修正输出，这正是闭环反馈控制系统的一个主要好处，就是具有减少系统灵敏度的能力。

2. 对于闭环系统 的情况，如果在所关心的复数域内，都有： (3.71) 成立，则可得到： (3.72) 那么，输出仅受到H(s)的影响，而且H(s)有可能是一个常数。如果H(s)=1，得到的结果正是期望的输入值，那就是，输出等于输入。但是，在对闭环控制系统应用式(3.72)这样一个近似之前，必须注意式(3.71)这一前提条件，可能会导致系统的响应为剧烈振荡，甚至于不稳定。尽管如此，增加开环传递函数G(s)H(s)的大小会导致G(s)对输出影响减少的事实是一个极有用的概念。因此，反馈控制系统的最重要优势就是被控过程参数G(s)变化的影响被减少了。 |G(s)H(s)|>>1

3. 为描述参数变化的影响，假设被控过程G(s)发生变化，新被控过程就是G(s)+ΔG(s)。那么，在开环情况下，输出的变化为为描述参数变化的影响，假设被控过程G(s)发生变化，新被控过程就是G(s)+ΔG(s)。那么，在开环情况下，输出的变化为 (3.73) 在闭环系统中，有 (3.74) 考虑到 ,则输出的改变就是： (3.75) 通常情况下，有G(s)H(s)>>ΔG(s)H(s)，于是： (3.76) ΔC(s)=ΔG(s)R(s)

4. 观察式(3.76)可以看出，由于[1+G(s)H(s)]在所关心的复数域范围内常常远大于1，因此闭环系统输出的变化减少了。因子[1+G(s)H(s)]在反馈控制系统的特征中起到了非常重要的作用。观察式(3.76)可以看出，由于[1+G(s)H(s)]在所关心的复数域范围内常常远大于1，因此闭环系统输出的变化减少了。因子[1+G(s)H(s)]在反馈控制系统的特征中起到了非常重要的作用。 • 系统灵敏度定义为系统传递函数的变化率与被控过程传递函数变化率的比值。如果系统传递函数为 则，灵敏度定义为 (3.77) 取微小增量的极限形式，则式(3.77)成为 (3.78) GB(s)=C(s)/R(s)

5. 很明显，从式(3.73)可以看出，开环系统的灵敏度等于1。闭环系统灵敏度可以从式(3.78)容易得到。设闭环系统的系统传递函数为很明显，从式(3.73)可以看出，开环系统的灵敏度等于1。闭环系统灵敏度可以从式(3.78)容易得到。设闭环系统的系统传递函数为 因此反馈系统关于G (s)的灵敏度为 即 (3.79)

6. 再次可以看到，在所关心的复数域范围内GH(s)增加时，闭环系统的灵敏度将会低于开环系统的灵敏度。再次可以看到，在所关心的复数域范围内GH(s)增加时，闭环系统的灵敏度将会低于开环系统的灵敏度。 • 同样道理，可以考察闭环系统对反馈环节H(s)改变时的系统灵敏度，令 (3.80) 即 (3.81) 当G(s)H(s)很大时，灵敏度约为1，也就是H(s)的变化将直接影响到系统的输出。因此，使用不随环境改变或基本恒定的反馈器件是很重要的。 由此可见，控制系统引入反馈环节后能减少因参数变化而造成的影响，尤其是因被控过程参数变化所造成的影响，这是反馈控制系统的一个重要优点。

7. 下面介绍一个利用反馈减少灵敏度的简单例子。运算放大器是一种被广泛使用在电子线路上的集成电路器件，它的基本应用电路是图3-36（a）所示的反相放大器电路。下面介绍一个利用反馈减少灵敏度的简单例子。运算放大器是一种被广泛使用在电子线路上的集成电路器件，它的基本应用电路是图3-36（a）所示的反相放大器电路。 • 通常，运算放大器的增益A远大于104。由于输入阻抗很高，所以运算放大器的输入电流可以忽略不计，因此在节点n，可写出电流关系式如下 (3.82) 由于放大器的增益是A，并且是反相接法，所以uc = -Aun ，因此 (3.83) 将(3.83)代入(3.82)，得到 (3.84)

8. 解出输出电压uc，有 (3.85) 可重写式(3.85)如下 (a) 电路原理图 (b) 结构图 图3-36 反相放大器

9. 当A>>1时，可忽略R1/Rf项，则 (3.86) 其中，k = R1/Rf 。反相放大器电路结构图如图3-36（b），图中反馈环节是H(s)= k，前向通道的传递函数是G(s)= -A 。进一步，当A>>1时，反相放大器电路的传递函数为 (3.87) 当运算放大器处于开环状态（即无反馈电阻Rf ）时，相对于增益A的开环灵敏度为1。在闭环时，相对于增益A的闭环灵敏度为 (3.88)

10. 如果A=104而且k = 0.1，有 (3.89) 则灵敏度接近于0.001，是开环灵敏度的千分之一。 再来考虑闭环时相对于因子k（或者反馈电阻Rf）的灵敏度。处理方法同上，得 (3.90) 相对于k的闭环灵敏度接近于1。

11. 第六节 应用MATLAB分析控制系统的性能 这一节将用两个例子描述反馈控制的优点，同时 说明如何利用MATLAB来分析控制系统。系统分析的 主要内容包括如何抑制干扰、如何减小稳态误差、如 何调节瞬态响应以及如何减少系统对参数变化的影响 等。

12. 第一个例子是带有负载转矩干扰信号的电枢控制直流电动机。开环系统结构图如图3-37(a)所示，为了改善系统性能，加入速度反馈如图3-37(b)所示。系统的各元器件参数值在表3.6中给出。第一个例子是带有负载转矩干扰信号的电枢控制直流电动机。开环系统结构图如图3-37(a)所示，为了改善系统性能，加入速度反馈如图3-37(b)所示。系统的各元器件参数值在表3.6中给出。 从图中可以看出，系统有Ua(s)（或Vr(s)）和ML(s)两个输入。由于这是一个线性系统，按叠加定理可以分别考虑两个输入的独立作用结果。为了研究干扰对系统的作用，可令Ua(s)=0（或Vr(s)=0），此时只有干扰ML(s)起作用。相反地，为了研究参考输入对系统的响应，可令ML(s)=0。如果系统具有很好的抗干扰能力，则干扰信号ML(s)对输出w (s)的影响就应该很小，下面就来验证此结论。

13. 图3-37 速度控制系统结构图

14. 首先，考虑图3-37(a)所示的开环系统，从ML(s)到w o(s) (此处的下标“o”表示开环)的传递函数为 • 假设干扰信号为单位阶跃信号，即ML(s) =1/s。利用MATLAB可以计算系统的单位阶跃响应如图3-38(a)所示，而用于分析此开环控制系统的MATLAB程序文本opentach.m示于图3-38(b)。 在输入信号Ua(s)=0的情况下，稳态误差就是干扰响应w o(t)的终值。在图3-38(a)的曲线中，干扰响应w o(t)在t = 7秒后已近似不变，所以近似稳态误差值为 w o(∞) ≈ -0.663(弧度/秒)

15. 同样，通过计算从ML (s)到w c(s) (此处下标“c”表示闭环)的闭环传递函数可分析图3-37(b)所示闭环系统的抗干扰性能。对于干扰输入的闭环传递函数为 (a) 开环速度系统对阶跃干扰的响应曲线

16. %开环速度控制系统对干扰信号的单位阶跃应:opentach.m Ra=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1; num1=[1];den1=[J B]; num2=[Km*Ke/Ra];den2=[1]; [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2); %干扰信号为负 num=-num; printsys(num,den) %wo为输出,“o”表示开环 [wo,x,t]=step(num,den);plot(t,wo) xlabel('Time[sec]'),ylabel('Speed'),grid %显示稳态误差，即wo的最后一个值 wo(length(t))

17. 闭环系统对单位阶跃干扰输入的响应曲线w (t)和MATLAB程序文本closedtach.m分别示于图3-39(a) (b)。 • 同前，稳态误差就是w (t)的终值，稳态误差的近似值为 在本例中，闭环系统与开环系统对单位阶跃干扰信号的输出响应的稳态值之比为 可见通过引入负反馈已明显减小了干扰对输出的影响，这说明闭环反馈系统具有抑制噪声特性。

18. (a) 闭环系统对阶跃干扰的响应曲线 (b) MATLAB程序文本:closetach.m 图3-39 闭环速度控制系统分析

19. %闭环速度控制系统对干扰信号的单位阶跃响应:closetach.m Ra=1;Km=10;J=2;B=0.5;Ke=0.1;Ka=54;Ks=1 num1=[1];den1=[J B];num2=[Ka*Ks];den2=[1]; num3=[Ke];den3=[1];num4=[Km/Ra];den4=[1]; [numa,dena]=parallel(num2,den2,num3,den3); [numb,denb]=series(numa,dena,num4,den4); [num,den]=feedback(num1,den1,numb,denb); %干扰信号为负 num=-num; printsys(num,den) %wc为输出,“c”表示闭环 [wc,x,t]=step(num,den);plot(t,wc) xlabel('Time[sec]'),ylabel('Speed'),grid %显示稳态误差，即wc的最后一个值 wc(length(t))

20. 第二个例子是分析闭环控制系统的控制器增益K对瞬态响应的影响。图3-40是闭环控制系统的结构图。在参考输入R (s)和干扰输入N (s)同时作用下系统的输出为 图3-40 反馈控制系统的结构图

21. 如果单纯考虑增益K对参考输入产生的瞬态响应的影响，可以预计增加K将导致超调量增加、调整时间减少和响应速度提高。在增益K=20和K=100时，系统对参考输入的单位阶跃响应曲线以及相应的MATLAB程序文本gain_kr.m示于图3-41。对比两条响应曲线，可以看出上述预计的正确性。如果单纯考虑增益K对参考输入产生的瞬态响应的影响，可以预计增加K将导致超调量增加、调整时间减少和响应速度提高。在增益K=20和K=100时，系统对参考输入的单位阶跃响应曲线以及相应的MATLAB程序文本gain_kr.m示于图3-41。对比两条响应曲线，可以看出上述预计的正确性。 • 尽管在图中不能明显看出增大K能减少调整时间，但是这一点可以通过观察MATLAB程序的运行数据得以验证。这个例子说明了控制器增益K是如何改变系统瞬态响应的。根据以上分析，选择K=20可能是一个比较好的方案。尽管如此，在做出最后决定之前还应该考虑其他因素。

22. (a) 阶跃响应曲线 (b) MATLAB程文本:gain_kr.m 图3-41 单位阶跃输入的响应分析

23. % K=20和K=100时，参考输入的单位阶跃响应：gain_kr.m numg=[1];deng=[1 1 0]; K1=100;K2=20; num1=[11 K1];num2=[11 K2];den=[0 1]; %简化结构图 [na,da]=series(num1,den,numg,deng); [nb,db]=series(num2,den,numg,deng); [numa,dena]=cloop(na,da); [numb,denb]=cloop(nb,db); %选择时间间隔 t=[0:0.01:2.0]; [c1,x,t]=step(numa,dena,t); [c2,x,t]=step(numb,denb,t); plot(t,c1,'--',t,c2) xlabel('Time[sec]'),ylabel('Cr(t)'),grid

24. 在对K做出最后选择之前，非常重要的是要研究系统对单位阶跃干扰的响应，有关结果和相应的MATLAB程序文本如图3-42所示。从中可以看到，增加K减少了单位干扰响应的幅值。对于K=20和K=100，响应的稳态值分别为0.05和0.01。对干扰输入的稳态值可按终值定理求得在对K做出最后选择之前，非常重要的是要研究系统对单位阶跃干扰的响应，有关结果和相应的MATLAB程序文本如图3-42所示。从中可以看到，增加K减少了单位干扰响应的幅值。对于K=20和K=100，响应的稳态值分别为0.05和0.01。对干扰输入的稳态值可按终值定理求得 如果仅从抗干扰的角度考虑，选择K=100更合适。 在本例中所求出的稳态误差、超调量和调整时间（2%误差）归纳于表3.7。

25. (a) 阶跃响应曲线 (b) MATLAB程序文本:gain_kn.m 图3-42 单位阶跃干扰的响应分析

26. % K=20和K=100时，干扰输入的单位阶跃响应：gain_kn.m • numg=[1];deng=[1 1 0]; • K1=100;K2=20; • num1=[11 K1];num2=[11 K2];den=[0 1]; • %简化结构图 • [numa,dena]=feedback(numg,deng,num1,den); • [numb,denb]=feedback(numg,deng,num2,den); • %选择时间间隔 • t=[0:0.01:2.5]; • [c1,x,t]=step(numa,dena,t); • [c2,x,t]=step(numb,denb,t); • plot(t,c1,'--',t,c2) • xlabel('Time[sec]'),ylabel('Cn(t)'),grid

27. 表3.7 K=20和K=100时，控制系统的响应特性

28. (a) 被控对象变化时系统的灵敏度

29. %系统灵敏度分析 • K=20;num=[1 1 0];den=[1 12 K]; • %取s=jw,w 的范围为10-1～103，共取200点 • w=logspace(-1,3,200);s=w*j; • %S为灵敏度，S2为灵敏度的近似值 • n=s.^2+s;d=s.^2+12*s+K;S=n./d; • n2=s;d2=K;S2=n2./d2; • subplot(211),plot(real(S),imag(S)) • xlabel('Real(S)'),ylabel('imag(S)'),grid • subplot(212),loglog(w,abs(S),w,abs(S2)) • xlabel('w[rad/sec]'),ylabel('abs(S)') (b) MATLAB程序文本 图3-43 系统的灵敏度分析

30. 最后来分析被控对象变化时系统的灵敏度。在本例中，被控对象的传递函数和闭环系统的传递函数分别为最后来分析被控对象变化时系统的灵敏度。在本例中，被控对象的传递函数和闭环系统的传递函数分别为 系统的灵敏度可由式(3.78)得出 利用上式可计算不同s值所对应的灵敏度SG，并绘制出频率—灵敏度曲线。图3-43(a)中给出的是K=20，s=jw，w =10-1 ~10-4 时，系统的灵敏度相对于频率w的变化曲线，图3-43(b)是相应的MATLAB程序文本。在低频段，系统的灵敏度可近似为 可见，增大K值，可以减少系统的灵敏度。

31. 第七节 设计实例 (一)英吉利海峡海底隧道钻机 • 连接法国和英国的英吉利海峡海底隧道于1987年12月 • 开工建造，1990年11月，从两个国家分头开钻的隧道首次 • 对接成功。隧道长23.5英里，位于海平面以下200英尺。隧 • 道于1992年完工，共花费14亿美元，每天能通过50趟列车。 • 这个工程把英国同欧洲大陆连接起来，将伦敦到巴黎的火 • 车行车时间缩短为3个小时

32. 钻机分别从海峡两端向中间推进，并在海峡的中间对接。为了使对接达到必要的精度，施工时使用了一个激光导引系统以保持钻机的直线方向。钻机的控制模型如图所示，其中Y（s）是钻机向前的实际角度，R（S）是预期的角度，负载对机器的影响用干扰D（S）表示。钻机分别从海峡两端向中间推进，并在海峡的中间对接。为了使对接达到必要的精度，施工时使用了一个激光导引系统以保持钻机的直线方向。钻机的控制模型如图所示，其中Y（s）是钻机向前的实际角度，R（S）是预期的角度，负载对机器的影响用干扰D（S）表示。 3.44 钻机控制系统框图

33. 设计的目标是选择增益K使得对输入角度的响应满足工程要求，并且使干扰引起的误差最小。应用Mason信号流图增益公式，对两个输入的输出为：设计的目标是选择增益K使得对输入角度的响应满足工程要求，并且使干扰引起的误差最小。应用Mason信号流图增益公式，对两个输入的输出为：

34. 为减少干扰的影响，我们希望增益大于10。当设置增益K=100，并令D（T）=0时，可得到系统对单位阶跃输入R（T）的响应，如图所示。令r(t)=0 则可以确定系统对单位阶跃干扰的响应y(T),如图所示。由此可见，干扰的影响是很少的。如果设置增益K=20，可得到系统对单位阶跃r(t)和d(t)的响应曲线如图所示。由于此时系统响应的超调量较小（小于4%），且在2s 之内即达到稳态，所以我们选择K=20。为便于比较，特将上述结果同时列于表中。 表3.8 钻机系统在两种增益情况下的响应

35. 系统对单位阶跃输入R（s）=1/s的稳态误差为： 当干扰为单位阶跃[D（s)=1/s],输入r(t)=0时，y(t)的稳态值为：

36. 于是当K=100和200时，干扰响应的稳态值分别为0.01和0.05。于是当K=100和200时，干扰响应的稳态值分别为0.01和0.05。 最后考虑系统对G（s）的变化的灵敏度，得： • 在低频频段（ ），灵敏度近似为： 其中K≥20。可见当增益K增加时，系统的灵敏度会降低，因此我们选择K=20是一种合理的折中。

37. 图所示的是以太阳能作动力的“逗留者号”火星漫游车。由于地球上发出的路径控制信号r(t)能对该装置实施遥控。本例中我们将斜坡信号[r(t)=t,t>0]用作输入信号。该装置既能以开环方式工作（不带反馈），图所示的是以太阳能作动力的“逗留者号”火星漫游车。由于地球上发出的路径控制信号r(t)能对该装置实施遥控。本例中我们将斜坡信号[r(t)=t,t>0]用作输入信号。该装置既能以开环方式工作（不带反馈）， • (二)火星漫游车 图3.45 火星漫游车

38. 又能够以闭环方式工作（带反馈），分别如图所示。本例设计的目的是使漫游车受干扰（如岩石）的影响较小，而且对增益K变化的灵敏度也较小。开环的传递函数是：又能够以闭环方式工作（带反馈），分别如图所示。本例设计的目的是使漫游车受干扰（如岩石）的影响较小，而且对增益K变化的灵敏度也较小。开环的传递函数是： 闭环的传递函数是

39. K=2时， 这时我们可对开环系统和闭环系统的灵敏度进行比较。 开环系统的灵敏度为：

40. 图3.46 漫游车的控制系统

41. 为了考察系统在低频时的灵敏度，令s=jω，得：为了考察系统在低频时的灵敏度，令s=jω，得： • 闭环系统的灵敏度为： 图3.47 火星漫游车闭环系统的灵敏度幅值

42. 对K=2，在频率ω<0.1时系统的灵敏度为 灵敏度的幅值随频率变化的曲线如图所示。从图可以看出，系统在低频段的灵敏度为

43. (三)哈勃太空望远镜指向控制 • 哈勃太空望远镜是迄今为止人类建造的最为复杂和昂贵的科学仪器。该仪器于1990年4月14日发射至离地球380英里的太空轨道，它的发射和应用将技术发展推向了一个新的高度。望远镜的2.4M镜头拥有所有镜头中最光滑的表面，其定向系统能在400英里以外将视场聚集在一个硬币上。望远镜的偏差在1993年12月的一次太空任务中得到了大规模的校正。下面考虑图所示的望远镜定向系统的模型。

44. 设计的目标是选择k1和k2，使得：（1）在阶跃指令r(t)作用下，输出的超调量小于或等于10%；（2）在斜坡输入作用下，稳态误差达到最小；（3）减小阶跃干扰的影响。因为系统有内环，还需将框图化简为图的简化系统。设计的目标是选择k1和k2，使得：（1）在阶跃指令r(t)作用下，输出的超调量小于或等于10%；（2）在斜坡输入作用下，稳态误差达到最小；（3）减小阶跃干扰的影响。因为系统有内环，还需将框图化简为图的简化系统。 • 应用Mason信号流图公式，可得到图系统在两个输入作用下的输出：

45. 其中 误差为

46. 首先选择K和K1以满足对阶跃输入的超 调量要求。令R（s）=A/s,D(s)=0，我们得： 为使超调量小于10%，选择ξ=0.6。利用上 图可得到ξ=0.6时的超调量为9.5%。接下来 讨论响应斜坡信号的稳态误差。当r(t)=Bt， t>0时，由上式可得：

47. 由单位阶跃干扰引起的稳态误差为-1/K，可见增大K可以减少由单位阶跃干扰引起的瞬态响应。因此，我们要寻找一个较大的K和较大的K/K1，以保证系统对斜坡输入信号具有较小的稳态误差。同时我们还要保持前面已经确定的ξ=0.6，以减少超调量。由单位阶跃干扰引起的稳态误差为-1/K，可见增大K可以减少由单位阶跃干扰引起的瞬态响应。因此，我们要寻找一个较大的K和较大的K/K1，以保证系统对斜坡输入信号具有较小的稳态误差。同时我们还要保持前面已经确定的ξ=0.6，以减少超调量。 • 为了完成设计，我们需要选择K。系统的特征方程为（ξ=0.6 ）： 于是，

48. 由式的分母可知，应同时有 故 或 的比值为：

49. 如果选择K=25，将有k1=6,k/k1=4.17.如果选择K=100，则有K1=12,k/k1=8.33.在实际系统中，我们还必须限制K，以使系统工作在线性区。当取K=100时，我们得到的系统如图所示。该系统对单位阶跃输入和单位阶跃干扰的响应如图所示，可以看出干扰的影响并不明显。如果选择K=25，将有k1=6,k/k1=4.17.如果选择K=100，则有K1=12,k/k1=8.33.在实际系统中，我们还必须限制K，以使系统工作在线性区。当取K=100时，我们得到的系统如图所示。该系统对单位阶跃输入和单位阶跃干扰的响应如图所示，可以看出干扰的影响并不明显。 最后，我们可以得到系统对斜坡输入的稳态误差为： 由此可见，当选取K=100时，得到的是一个很 好的系统。

50. (四)循序渐进设计示例：磁盘驱动读取系统 • 现代磁盘在每厘米宽度内有多达5000个磁道，每个磁道的典型宽度仅为1um，因此磁盘读取系统对磁头的定位精度和磁头在磁道间移动的精度有严格的要求。本章将考虑弹性支架的影响，并在此情况下，建立磁盘驱动系统的状态空间模型。