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O Romance das Equações Algébricas Gabriela Luciana Marcello Samuel - PowerPoint PPT Presentation


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O Romance das Equações Algébricas Gabriela Luciana Marcello Samuel. Gilberto Geraldo Garbi (1944 - ) ‏. De Taquaritinga SP Engenheiro eletrônico pelo ITA Empresário Autor de “A Rainha das Ciências”. $ $.

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Presentation Transcript
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O Romance das

Equações

Algébricas

Gabriela

Luciana

Marcello

Samuel

gilberto geraldo garbi 1944
Gilberto Geraldo Garbi (1944 - )‏
  • De Taquaritinga SP
  • Engenheiro eletrônico pelo ITA
  • Empresário
  • Autor de
  • “A Rainha das Ciências”.

$ $

slide3

“Estou convicto de que a Matemática pode e ser deve ser ensinada de forma espontânea, leve, humana e, em alguns casos, até mesmo alegre, para que se torne fonte de prazer intelectual e conquiste um número cada vez maior de adeptos.”

G.G.Garbi

slide4

Equações:

- Equacionar

- Igual e igualdade

Equações algébricas são aquelas em que a incógnita aparece apenas submetida às chamadas operações algébricas como: soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação.

euclides ca 300 a c
Euclides (ca. 300 a.C.)‏
  • a) Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
  • b) Se iguais forem somados a iguais, os resultados serão iguais.
  • c) Se iguais forem subtraídos de iguais, os resultados serão iguais.*
  • d) Coisas coincidentes são iguais entre si.
  • e) O todo é maior do que a parte.
  • f) Iguais multiplicados ou divididos por iguais continuam iguais.*
equa es do 1 grau
Equações do 1º grau

Pela noção c)

Pela verdade f)

equa es do 2 grau
Equações do 2º grau
  • Shidhara(991)‏
  • Bhaskara (1.114 -1.185)‏
slide8

ou

Pergunta: Como extrair a raiz quadrada de , se este binômio não é um quadrado perfeito?

A solução estava em somar aos dois lados da igualdade alguma coisa que tornasse o lado esquerdo um quadrado perfeito.

slide9

A quantidade a ser somada é

Usando novamente a noção de Euclides e organizando os termos temos o quadrado perfeito.

Basta apenas extrair as raízes, mas…

slide10

O que os babilônio não perceberam é que a extração de raízes quadradas geram sempre duas alternativas, uma com sinal + e outra com sinal –Logo

equa es do 3 grau
Equações do 3º grau

Niccolò Fontana ”Tartaglia” (1499-1557)‏

(1501-1576) Girolamo Cardano

cardano
Cardano

Nascido em Pavia em 1501 e falecido em Roma em 1576 e escreveu a Ars Magna.

Definiu-se como desbocado, espião, melancólico, traidor, invejoso, solitário, obsceno, desonesto, vicioso e portador de total desprezo pela região.

slide13

-Tartaglia, nascido em Bréscia, em 1501.

Desde a infância teve a vida marcada pelo infortúnio, pelas lutas, pelas asperezas e por toda a sorte de dificuldades.

Demonstrou desde cedo grande amor pelos estudos e infinita vontade de aprender.

Foi professor de ciência em Verona.

slide14

Scipione del Ferro, encontrou uma forma geral de resolver as equações do tipo

Mas Tartaglia além de resolver as tipo citado acima, também achou a fórmula geral para as do tipo

equa es do 3 grau1
Equações do 3º grau

Ludovico Ferrari

fran ois vi te recorre trigonometria
François Viète

recorre à trigonometria

Capítulo XI
b3 in a quad d plano in a a cubo aequator z solido
B3 in A quad – D plano in A + A cubo aequator Z solido
  • Em In artem analytivam isagoge inova no simbolismo algébrico:
  • (vulgo: 3BA² – DA + A³ = Z)‏
  • usa vogais para as incógnitas e consoantes para as constantes.
  • Nas equações de 3º grau fazia substituições trigonométricas, ex.:
      • x = k cos θ
  • daí não enfrentava as famigeradas raízes negativas.
descartes e fermat inventam a geometria anal tica
Descartes e Fermat

inventam a geometria analítica

Capítulo XII
um pouco de diofanto ca 250 d c
Um pouco de Diofanto (ca. 250 d.C.)‏

Regra de sinais:

Na pág. 65 justifica:

+ X – = – – X – = +

Álgebra retórica:

Em um terreiro existem cabras e galinhas, sendo 32 cabeças e 88 patas. Quantos animais de cada tipo existem em tal terreiro?

pierre de fermat ca 250 d c
Pierre de Fermat (ca. 250 d.C.)‏
  • Jurista por formação;
  • Magistrado por profissão;
  • Matemático por gosto.
  • Trocava cartas com:
    • Pascal,
    • Descartes,
    • Wallis,
    • Roberval,
    • Huygens et al.
cita o no livro de diofanto
Citação no livro de Diofanto

É impossível decompor um cubo em dois cubos, um biquadrado em dois biquadrados e, de um modo geral, qualquer potência acima de dois na soma de duas potências de igual expoente. Para isso eu descobri uma demonstração verdadeiramente maravilhosa, mas a margem é pequena para contê-la.

a geometria anal tica
A geometria analítica

Associou equações a linhas geométricas;

Métodos para:

traçar retas tangentes curvas e

determinar métodos de máx. e mín.

Não divulgou seu trabalho;

Suas ideias foram expostas no livro de publicação póstuma:

Ad locos planos et solidos isagogue

ren descartes 1596 1650
René Descartes (1596-1650)‏
  • Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences
  • Je pense donc je suis
g om trie
Géométrie

Apenas um apêndice do Discurso.

Não tem nem os eixos cartesianos!

Mostrou que a álgebra podia ser aplicada no estudo da geometria.

“oposto do que ocorrera na Antiguidade Clássica”

g om trie1
Géométrie

As útimas letras (X,Y,Z) para represenar icógnitas;

As primeiras letras (A,B,C...) para os parâmetros;

Potência era escrita da forma X³, X4, X5...

porém, X² era escrito como XX

Sinal de igualdade: ”α ” (só q ao contrário!)‏

Batizou as raízes negativas:

“nem sempre as raízes verdadeiras [positivas] ou falsas [negativas] de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias.”

g om trie2
Géométrie

Apenas um apêndice do Discurso.

Não tem nem os eixos cartesianos!

Mostrou que a álgebra podia ser aplicada no estudo da geometria.

“oposto do que ocorrera na Antiguidade Clássica”

g om trie3
Géométrie

Apenas um apêndice do Discurso.

Não tem nem os eixos cartesianos!

Mostrou que a álgebra podia ser aplicada no estudo da geometria.

“oposto do que ocorrera na Antiguidade Clássica”

descartes pessoa humilde
Descartes, pessoa humilde

Jamais conheci alguém que me parecesse conhecer tão bem a geometria como o senhor [Fermat]

ou n o
ou não?

e eu espero que a posterioridade me seja grata, não apenas pelas coisas que eu aqui expliquei mas também por aquelas que omiti voluntariamente, a fim de deixar-lhe o prazer de inventá-las

newton entra em cena
Newton entra em cenaCapítulo XIII

Disse Deus: “faça-se Newton!” E tudo foi luz.

sir isaac newton 1642 1727
Sir Isaac Newton (1642-1727)‏
  • Matemático;
  • físico;
  • astrônomo;
  • alquimista;
  • filósofo natural e
  • teólogo…
  • Obs.: não foi o autor do tal “binômio de Newton”
newton e a ma
Newton e a maçã

“Conforme Newton relatou em uma carta escrita muitos anos depois, foi também em 1666, após ver uma maçã desprender-se de um ramo que ele começou imaginar que a gravitação estendia-se até a órbita da Lua e mais além.”

gottfried wilhelm leibniz 1646 1716
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)‏
  • Diplomata;
  • Foi orientado em matemática por Christian Huygens
  • Trocou cartas de ofensas com Newton hehehe
teoria das flux es
Teoria das fluxões
  • Obra de 1687;
  • Sob a influência de Edmond Halley;
  • Publicou após os trabalhos de Leibniz;
  • Se apoiou no trabalho de Fermat.
  • PS.: o autor defende muito Newton!
newton e as ra zes
Newton e as raízes

Por aproximação;

Método de Newton-Raphson;*

Critérios para as raízes:

Regras de exclusão de Newton;

Cotas inferiores e superiores.

* - não é um método algébrico

leonard euler 1707 1783
Leonard Euler (1707-1783)‏
  • Gentil, bem humorado afável, generoso...
  • Discípulo de
    • Jean Bernoulli;
  • Publicou mais de 800 trabalhos!
evolu o na nota o
Evolução na notação

1525: 2cub'p:5reb'aequalis 17

1525: sit3Z + 5ּאaequatus 21

2 1

1572: 3U p 5U Equale á 21

1590: 3q + 5N aequatur 21

1637: 3ZZ + 5Z α 21

1693: 3XX + 5X = 21

2009: 3x²+5x=21

s mbolos de euler
Símbolos de Euler

Somatória:

Função:

Combinação:

i=

Pi: π

e

n meros complexos
Números complexos

Trabalhou com as operações básicas:

Soma e subtração;

Produto e divião;

Potenciação e exponenciação;

Módulo;

Argumento;

e i 1 0
eπi + 1 = 0
  • “Lisez Euler, Lizer Euler, c'est notre maître à tous!”
  • - Laplace
gauss demonstra o teorema fundamental da lgebra
Gauss demonstra o

Teorema Fundamental da Álgebra

Capítulo XV
carlos frederico gauss 1707 1783
Carlos Frederico Gauss (1707-1783)‏
  • Prodígio desde criança
  • Matemática ou filologia?
  • Construiu um polígono regular de 17 lados aos 18 anos!
teorema fundamental da lgebra
Teorema Fundamental da Álgebra

Toda equação polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, no campo complexo, pelo menos uma raíz.

Sua tese de doutoramento;

D'Alembert já havia feito uma tentativa;

Gauss elaborou outras 3 três provas.

gauss e o ltimo teorema
Gauss e o último teorema

“Confesso que o último teorema de Fermat, como proposição isolada, tem muito pouco interesse para mim, já que eu facilmente poderia fazer uma multidão de tais proposições que ninguém poderia provar ou utilizar.”

slide48

X=1 equivale a x³=1?

  • Observe que a segunda equação pode ser escrita: x³-1=0 ou (x-1)(x²+x+1)=0

e suas raízes são: x=1, x=(-1+√-3)/2 e x=(-1- √-3)/2

  • Por que aparecem essas raízes estranhas?

Descoberta de Euler : diferentemente da potenciação, a radiação não é unívoca (um número tem n raízes enézimas). No retorno da potenciação alguns caminhos não conduzem a equação original. Estes correspondem as raízes estranhas.

  • Efeito oposto: a perda de raízes.
slide50

Dada uma equação do 3º grau, com uma raiz complexa do tipo (a+bi), assim (a-bi) também será. A terceira é obrigatorimente real, chamamos de c. Faremos (a+bi)+(a-bi)+c=0 (para que inexista o termo do 2º grau).Teremos 2a+c=0, logo c=-2a Da forma x³+px+q=0 que tenha raízes complexas pode ser escrita: (x-[a+bi])(x-[a-bi])(x+2a)=0desenvolvendo teremos:x³+x(b²-3a²)+2a(a²+b²)=0 , logo, Δ= (-q/2)²+(p/3)³ ,desenvolvendo, temos Δ= 81(a²)²b²+18a²(b²)²+(b³)² 27isto é sempre positivo, exceto para a=b=0.

slide51
Portanto ficou provado que:

Equações do tipo x³+px+q=0, sendo:

Δ<0 as três raízes são reais e distintas

Δ>0 uma raiz é real e duas são complexas

Δ=0 as três raízes são reais mas pelo menos duas delas são coincidentes

slide53
É possível transformar uma equação polinomial P(x)=0 (equação primitiva) em Q(y)=0 (equação transformada) de modo que as raízes y relacionem-se com as raízes de x através da função y=φ(x) (função transformatriz). Quando cada raiz da transformada for obtida pela aplicação da função em cada uma das raízes da primitiva, a transformação é dita de 1º espécie ou de Viète.

Principais transformações de primeira espécie:

Aditiva

Multiplicativa

Simétrica

recíproca

slide54
Transformação aditiva- as raízes da nova equação são as de uma equação original somadas de uma quantidade h.

Ex: Seja x³+5x²+4x-8=0, queremos a

transformada de x somado ao 2.

Dividamos P(x) por x+2 (Por Ruffini-Horner) e

obtem-se x³+5x²+4x-8=(x+2)(x²+3x-2)-4* e

x²+3x-2 = (x+2)(x+1)-4 = (x+2)([x+2]-1)-4

Voltando a * e fazendo a substituição acima,

teremos: x³+5x²+4x-8=(x+2)³-(x+2)²-4(x+2)-4

Evidentemente a equação transformada será y³-y²-4y-4=0.

slide55
Transformação multiplicativa- consiste em encontrar uma equação cujas raízes sejam as de uma original multiplicadas por um fator k. O método consiste em substituir em f(x) a incógnita x por y/k. Obtem-se a transformada desejada.

Tranformação simétrica- quando k=-1, ou seja, y=-x.

Ex: 3x³+2x²+x+1 e sua tranformada simétrica

-3x³+2x²-x+1.

Transformação recíproca- aquela em que y=1/x.

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Niels Henrik Abel

Nasceu em 5 de agosto de 1802, na

pequena cidade de Finnöy, Noruega,

filho e neto de pastores protestantes,

teve quatro irmãos e uma irmã.

Foi notado pelo então professor, que mais tarde veio a se tornar grande amigo, Bernt Michael Holmboe, na Escola Catedral.

Dos 17 aos19 anos desenvolveu pesquisas no campo das equações e chegou a acreditar que houvesse encontrado uma fórmula geral para as do 5º grau.

slide58
Por volta de 1823, demontrou que, exceto em casos particulares, de um modo geral, é impossivel resolvê-las utilizando-se apenas operações algébricas.

Má alimentação, desgaste intelectual e infindável tensão emocional já eram sua rotina desde vários anos. Quando em 1826, chegou a Paris. Onde cintilava a maior constelação de astros das ciências exatas do mundo.

Bouvard, Hachette, Poisson, Fourier,

Ampère, Lacroix, Cirichlet, Laplace,

Legendre e o mais ativo de todos,

Augustin-Louis Cauchy.

slide59
Cauchy era um gênio universal, o pai da moderna teoria das funções de variável complexa.

Legendre trabalhava em pesquisas sobre as funções elípticas. Abel chegou estar com ele.

Em 30 de outubro de 1826, finalmente, Fourier, secretário perpétuo da Academia, leu ao plenário a introdução de um trabalho de Abel. Para julgá-lo, Cauchy, presidente da Academia e Legendre. O trabalho era tão profundo e inovador que mesmo esses homens precisaram esforçar-se bastante para compreendê-lo.

Cauchy deixou-o em sua gaveta para estudá-lo quando tivesse tempo, fato que só ocorreu após a morte de Abel.

slide60
Em 1828, Abel viu-se envolvido em uma disputa de prioridade com um nascente matemático alemão, Carl Gustav Jacob Jacobi, para ver qual dos dois avançaria mais nas profundezes das funções elípticas.

Apesar de vencer a batalha, as finanças e a saúde de Abel continuavam a se deteriorar rapidamente.

Em 06 de abril 1829, depois de dois dias do falecimento de Abel por tuberculose, chegava a carta de Berlim, do seu amigo Crelle, informando a admissão para ocupar um cargo de trabalho.

Porém Holmboe, seu professor, conseguiu publicar as obras completas de Abel.

slide61
Évariste Galois

Nasceu dia 25 de outubro de 1811,

na cidade de Bourg-la-Reine, a 10 km

de Paris. Teve contato inicial com a

Matemática em 1825, aos 14 anos.

Em 1828, incidindo curiosamente no mesmo erro

de Abel, acreditou ter encontrado a solução geral

para as equações de grau 5. Em 1829, publicou

seu primeiro artigo: Demonstração de um teorema

sobre as frações contínuas periódocas. Em outubro

do mesmo ano foi admitido na École Normale

Supérieure. Da qual foi expulso, em janeiro de

slide62
1831, por ter publicado uma carta atacando diretor por ter

proibido que seus alunos de lutarem nos Três Gloriosos.

Entre 14 de julho de 1831 e 16 de março de 1832, período

em que esteve preso por problemas políticos, deu inicio a

um trabalho intitulado Duas Memórias de Análise Pura. Ao

cumprir parte da pena a que foi sentenciado em um Hos-

pital, devido um surto de cólera, apaixona-se pela sobrinha

do médico. Acaba por duelar com um amigo pela moça

morrendo nesse combate.

Em setembro de 1832, o matemático Joseph Liouville,

publicou em seu jornal “Obras Matemáticas de Évariste

Galois.”

slide64
Teorema

Se um número racional N/D, com N e D primos entre si, a

raiz da equação polinomial de coeficientes inteiros P(x)=0,

então a0 é divisível por D e an é divisível por N.

Consequências

Toda equação polinomial de coeficientes inteiros cujo coeficiente do termo de maior grau é 1, se possuir raízes racionais, elas serão todas inteiras.

Uma equação polinomial de coeficientes inteiros, cujo coeficiente do termo de maior grau for diferente de 1 depois de estarem todos os coeficientes divididos pelo seu máximo divisor comum, não pode ter somente raízes inteiras.

slide65
c)Toda raiz inteira de uma equação polinomial de coeficientes inteiros é divisor do termo independente.

Teoremas

Toda recíproca de 1º espécie e grau ímpar admite -1 como raiz (eventualmente dupla)‏

Toda equação recíproca de 2º espécie e grau par admite +1 e-1 como raízes (eventualmente múltiplas).

Toda equação recíproca de 2º espécie e grau ímpar admite +1 como raiz (eventualmente múltipla).

slide67
Cinco questões investigadas pelos gregos não

Encontaram resposta dentro do conjunto de conhe

-cimentos disponíveis na época. Tiveram que

aguardar a evolução da Teoria das Equações Al-

Gébricas. Foram eles:

Construção da aresta de um cubo cujo volume

seja o dobro do volume de outro (duplicação do

cubo).*

Construção de um segmento de reta cujo

comprimento seja igual ao perímetro de uma

dada circunferência.(retificação da circunferência).

slide68
Construção de um quadrado de área igual à de

um dado círculo. (quadratura do círculo)*

Divisão de um ângulo qualquer em três partes iguais (trissecção do ângulo).*

Contrução de polígonos regulares(divisão da circun-ferência em n partes iguais).

*Os Três Problemas Clássicos

As três primeiras contruções são sempre impossíveis se

apenas régua e compasso forem admitidos. A trissecção

só é exequível em alguns casos particulares

(45º,90º,180º,etc). E para a divisão da circunferência

em n partes iguais Gauss deu uma resposta: só é possível

se n é da forma: dois elevado a s vezes p1 elevado a r1

vezes p2 elevado a r2... onde s é inteira não negativo, p1,

p2... são primos da forma (2ª )²+1 e r1,r2,... são, cada

um deles, zero ou um. Resta dúvida, não se sabem se para

a>4 existem ou não primos dessa forma.

slide69
Foi possível aplicar a Teoria das Equações àque-

les mistérios da Geometria, pois no caso das retas

e das circunferências as respectivas equações são

Algébricas.

Pierre Laurent Wantzel (1814-1848)‏

Um elementogeométrico é construtível com régua

e compasso quando e apenas quando os números

que o definem derivam dos dados do problema

através de uma quantidade finita de operações de

soma, subtração, multiplicação, divisão e extração

de raízes quadradas.

slide70
Pierre era linguista e engenheiro da École Polytechnique.

Pouco conhecido nos dias de hoje, mas sua obra repre-

senta um marco na história da Ciência.

Trissecção do ângulo e duplicação do cubo, demonstrou:

“A condição necessária e suficiente para que as três raízes

de uma mesma equação do terceiro grau. De coeficientes

racionais, sejam construtíveis por régua e compasso é que

uma delas seja racional.”

Construção do polígono de 17 lados

xª-1=0, denominada Equação Ciclotômica, foi

intensamente estudada no final do século XVIII e

início de XIX, principalmente por Gauss.

slide71
“ O dia foi 29 de março de 1796 e o acaso não teve qualquer

participação. Antes disto, em verdade, durante o inverno de

1796 (meu primeiro semestre em Göttigen), eu já havia des –

coberto tudo relativamente à separação das raízes da equação

(xª-1)/(x-1)=0 em dois grupos. Após intensas considerações

sobre o relacionamento de todas as raízes umas com as outras,

em bases Aritméticas, eu consegui, durante um feriado em

Braunschuweig, na manhã do mencionado dia (antes de sair da

cama), vialumbrar aquelas relações da forma mais clara, de

modo que pude imediatamente aplicá-las ao caso dos 17 lados

e as verificações numéricas.”

Gauss, apesar de modesto, sabia a importância de sua façanha

e manisfestou o desejo de após sua morte, ter sobre seu túmulo

o desenho de um polígono regular de 17 lados.

slide72

Questão natural: comparação entre abundância de algébricos e transcendentes

Dificuldade devido ao infinito

Georg Ferdinand Ludwing Philip Cantor (1845-1918): números transfinitos

Naturais como uma espécie de unidade

Cardinalidade → enumerabilidade

Racionais e algébricos como enumeráveis

Reais não enumeráveis

slide73

Capítulo XXII

Números algébricos e

números transcendentes

slide74

Pitagóricos – existência de não racionais

Método de redução ao absurdo – já utilizado nos Elementos

Abrangência do método

Cálculo Diferencial (séc XVII)– funções e números como séries infinitas

e = limn→∞ (1 + 1/n)n = 1 + 1 + 1/(1!) + 1/(2!) + 1/(3!) + ...

π = 4(1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + 1/13 – 1/15 + ...

slide75

Euler questiona-se: e, e² irracionais

Euler não foi adiante, mas a pesquisa sobre o tema sim, e no campo das equações algébricas: racionais e irracionais como raizes de equações algébricas com coeficientes inteiros.

# racional do tipo a/b é raiz de uma equação na forma

ax – b = 0;

# o irracional (2)1/2 +(3)1/2 é raiz de uma equação algébrica de coeficientes inteiros de quarto grau;

# mostra-se que irracionais como (3)1/3+ (2)1/2 são raizes de uma euqação algébrica de coeficientes inteiros de sexto grau.

slide76

Ideia dos reais em duas categorias: são ou não raizes de equações polinomiais de coeficientes inteiros.

Algébricos X Transcendentes (Joseph Liouville – 1844)‏

Charles Hermite (1873) prova transcendência do e, e algo mais. Porém, desiste do π perto do sucesso, pois Ferdinand von Lindemann (1852-1939) prova a transcendência do π com base em seus trabalhos sobre o e.

Consequência: impossibilidade da Retificação da Circunferência e da Quadratura do círculo, apenas com régua e compasso.

slide77

Questão natural: comparação entre abundância de algébricos e transcendentes

Dificuldade devido ao infinito

Georg Ferdinand Ludwing Philip Cantor (1845-1918): números transfinitos

Naturais como uma espécie de unidade

Cardinalidade → enumerabilidade

Racionais e algébricos como enumeráveis

Reais não enumeráveis

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Consequência: existência dos transcendentes, e em maior abundância

Cantor foi além! (intervalo real, pontos num segmento)‏

Richard Dedekind contribuiu na teoria dos números reais

slide80

“O universo é um grande livro que não pode ser compreendido a menos que antes se aprenda a entender a linguagem e a ler as letras nas quais ele está escrito. Ele está escrito na linguagem da Matemática.”

(Galileu Galilei)‏

“O fato mais incompreensível do mundo é que ele pode ser compreendido.”

(Albert Einstein)‏

Matemática: meio de comunicação com o mundo

slide81

Detestada pelas pessoas?

Valorização da Matemática (natureza / pensamento)‏

10 Maravilhas do Pensamento

Tales mede a grande pirâmide: proporcionalidade das sombras

Euclides e os números primos: provou a existência de infinitos números primos

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Eratóstenes calcula a circunferência da Terra: sol a prumo em Siena, ao meio dia do solstício de verão. Ideia da forma da Terra.

Estimativa: aproximadamente 7˚, ou 1/50 de 360˚

Arquimedes calcula o número π: via noção de limite, aproxima a circunferência por polígonos

Arquimedes conquista a esfera: via física, calcula a área e o volume

Pascal, com genialidade, descobre outro método para medir a esfera

slide83

Roberval calcula a área da ciclóide com o auxílio da companheira e ideias de cálculo

Leibniz inventa o sistema binário de numeração: apesar da genialidade, à epoca pareceu mera curiosidade sem qualquer aplicação prática

Newton e as séries infinitas

Há muito se conheciam sequências: pitagóricos e P.A. / dedução de Gauss

Soma finita de séries infinitas: resposta ao paradoxo de Zenão

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Newton desenvolvendo funções em séries infinitas, impulsiona o ramo

sen(x) = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + x9/9! - ...

cos(x) = 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! + x8/8! - …

ex = 1 + 1 + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ...

Supondo x imaginário puro x = iθ, Euler chega a eiθ = cosθ + isenθ (fórmula conhecida que deu origem a eiπ + 1 = 0)‏

slide85

Euler decifra um mistério

Séries infinitas e Convergência

Nicole Oresme e a divergência da série harmônica. Mais tarde, Jean Bernoulli.

Jack Bernoulli e a série dos inversos dos quadrados dos naturais

Euler em meio a briga dos irmãos, demonstra a convergência para π2/6, Jean também o faz, por outro caminho. Apesar da grandiosidade dos pensamentos, fogem dos padrões modernos do rigor matemático, o que não tira o mérito de ambos.