7.1 数学物理方程的导出

1. 7.1 数学物理方程的导出

2. 要研究的物理量是什么？ • 弦沿垂直方向的位移 波动方程的建立 1. 弦的微小横振动 考察一根长为 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确： 确定弦的运动方程 （2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）

3. 注意： 物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化． 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点．

4. 根据牛顿第二定律 方向运动的方程可以描述为 （7.1.1） (7.1.2) 仅考虑微小的横振动， 夹角 为很小的量，忽略 及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有 作用于小段 的纵向合力应该为零：

5. 注意到: 故由图9.11得 这样，(7.1.1)和(7.1.2)简化为

6. 因此在微小横振动条件下，可得出 ，弦中张力不随 而变， 可记为 (7.1.5) 变化量 可以取得很小，根据微分知识有下式成立 (7.1.6) 故有 这样， 段的运动方程(7.1.5)就成为

7. （7.1.7） （7.1.8） 即为 上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程． 其中 讨论： （1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(7.1.7)右端的重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程： 称式（7.1.8）为弦的自由振动方程

8. (2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 (7.1.9) ，为 式中 时刻作用于 称为力密度 处单位质量上的横向外力 作用，则式(7.1.8)应该改写为 式（7.1.9）称为弦的受迫振动方程.

9. （7.1.10） （7.1.11） 2、 均匀杆的纵振动 段的运动方程为 可得 这就是杆的纵振动方程．

10. （7.1.12） 完全一样， 只是其中 应是杆的单位长度上单位 讨论 (1) 对于均匀杆， 和 是常数，(7.1.11）可以改写成 其中 这与弦振动方程（7.1.8）具有完全相同的形式． （2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（7.1.9） 横截面积所受纵向外力

11. （7.1.13） (7.1.14) 3. 传输线方程（电报方程） 同理可得： 式（7.1.13）及（7.1.14）即为一般的传输线方程（或电报方程）．

12. (7.1.15) 其中 （7.1.16） (7.1.17) (1)无失真线 (2)无损耗线 具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同

13. （7.1.18） (7.1.19) (3)无漏导，无电感线 它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式， 尽管它们的物理本质根本不同．

14. 流入小体积元的热量 时间内，通过面积元 （7.2.1） 与沿面积元外法线方向的温度变化率 成正比 也与 和 成正比，即： 式中 是导热系数 热传导方程类型的建立 1.热传导方程 推导固体的热传导方程时， 需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律： 热传导的傅里叶定律：

15. 表示t时刻物体内任一点（x,y,z）处的温度 图7.8 取直角坐标系Oxyz, 如图7.8 在dt 时间内通过ABCD面流入的热量为 同样，在 时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为

16. 时间内，小体积元的温度变化是 在t到 和 分别表示物体的密度和比热， 如果用 则根据能量守恒定律得热平衡方程 或写成

17. (7.2.3) (7.2.4) 2. 扩散方程 其中 将一维推广到三维，即得到 上述方程与一维热传导方程具有完全类似的形式

18. （7.2.5） 若外界有扩散源，且扩散源的强度为 这时，扩散方程应为 从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象， 但可以用同一类方程来描述.

19. (7.3.2) 稳定分布的方程 1 静电场的电势方程 直角坐标系中泊松方程为 (7.3.1) 若空间 ，上式成为 中无电荷，即电荷密度 称这个方程为拉普拉斯方程.

20. (7.3.3) (7.3.4) 2. 稳定温度分布 导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 （7.2.1)，(7.2.2) 即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.

21. 7.2定解条件

22. （7.2.6） （7.1.22） 1.初始条件 波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点 的加速度．要确定振动状态，需知道开始时刻每点的位移和速度． 热传导方程的初始条件一般为

23. 的弦，两端固定于 和 例7.1.1 一根长为 ,在距离坐标原点为 的位置将弦沿着横向拉开距离 ，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 u h x l o b 9 .5 图 【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有 初始位移如图所示

24. 的弦，两端固定于 和 例7.1.1 一根长为 ,在距离坐标原点为 的位置将弦沿着横向拉开距离 ，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 u h x l o b 9 .5 图 【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间， 按题意初始速度为零，即有 初始位移如图所示

25. （7.1.23） （7.1.24） 2.边界条件 常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值 第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值

26. 　（7.1.25） 其中 的已知函数， 是时间 为常系数． 第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值

27. (7.3.5) 表示物理量 其中 是边界上的变点； 沿边界外法线方向的方向导数； 为常数，它们不同时为零． 第一、二、三类边界条件可以统一地写成