第十章 數學形態學

1. 第十章 數學形態學 10.1 導論 10.2 基礎概念 10.3 膨脹與侵蝕 10.4 開啟與關閉 10.5 型態與交離轉換 10.6 其他型態演算 10.7 MATLAB的bwmorph函數 10.8 灰階形態學 10.9 灰階形態學的應用

2. 10.1 導論 • 數學形態學，簡稱形態學，專門用來處理、分析影像中的形狀。本章會介紹基礎形態學工具，並探討二元數位影像之範例，並延伸使至灰階影像的應用。

3. 10.2 基礎概念 • 10.2.1 平移 • 設A為二元數位影像中一個像素集合，W＝（x，y）為某個向量座標。 Aω為集合A平移向量（x，y）結果。 • 定義:Aω＝{(a,b) + (x,y) : (a,b) ∈A}.

4. 圖10.1平移向量 W＝（2 , 2）。A集合在x軸方向與y軸方向產生位移，位移量由w決定，x軸往下延伸，y軸往右延伸。 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 （圖10.1 平移）

5. 10.2.1 平移反射標記為Â，以原點為中心反射：定義:Â ＝ {(-x,-y) : (x,y) ∈ A)}.如圖10.2空心圓和實心圓像素組互為反射 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 （圖10.2 反射）

6. 10.3 膨脹與侵蝕

7. 10.3.1膨脹 像素集合A與B，使用B來”膨脹”A，記為A♁B 定義為：A♁B ＝∪AX. X∈ B 代表每個點x ∈ B ，都使用這些座標對A平移。 膨脹也符合交換律 定義為 ：A♁B ＝B♁A 範例中 B(位移向量)＝{(0,0),(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1)}用來平移A之座標

8. 如圖10.3，膨脹有放大效果。根據B座標不同，A ♁B會出現於不同位置。 1 2 3 4 5 1 2 3 4 -1 0 1 5 -1 6 0 7 1 A (0,0) B

9. 下列為經過 B＝{(0,0),(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1)}平移A座標藍色部份為A（0，0）A本身。 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 A（1，1） A（-1，1）

10. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 A（1，-1） A（-1，-1）

11. A ♁B可以將A的所有像素點(x,y)用一個B的複製替換，將B的(0,0)點置於(x,y)的位置。同樣也可以複製A。 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 (圖為A ♁ B)

12. 根據B座標不同，A ♁B可能出現離A很遠的地方，如下圖A位置相同但B位置不同，B座標為B={(7,3),(6,2),(6,4),(8,2)(8,4)}A ♁B=A(7,3) ∪A(6,2) ∪A(6,4) ∪A(8,2) ∪A(8,4). 123412345678 11 22 33 44 55 66 77 88 9 10 11 12 13 14

13. 使用Matlab進行膨脹 • 膨脹範例 • 影像變得粗厚，正是膨脹作用。 • (3*3矩陣進行膨脹) • >> t=imread(‘text.tif’); • >>sq=ones(3,3); • >>td=imdilate(t,sq); • >>subplot(1,2,1),imshow(t) • >>subplot(1,2,2),imshow(td) • 圖10.5(原圖)(膨脹後)

14. 10.3.2侵蝕 • 定義:A Ө B • 由像素點w=(x,y)構成，將B置於A之內，找到相對應的B原點(0,0)所在位置之像素。這些像素點變形成侵蝕。 • 侵蝕A ӨB是A的子集合。要看B原點的位置而 123456 1 2 3-101 4-1 50 61 圖10.6(A) (B)

15. 下列圖10.6為侵蝕範例，左圖為原圖A，藍色部分為B，右圖為侵蝕結果，視B圓點位置決定。下列圖10.6為侵蝕範例，左圖為原圖A，藍色部分為B，右圖為侵蝕結果，視B圓點位置決定。 • 123456123456 • 11 • 22 • 33 • 44 • 55 • 66

16. 下列為不同的侵蝕點，侵蝕結果會包含在原始圖中。下列為不同的侵蝕點，侵蝕結果會包含在原始圖中。 • 123456123456 • 11 • 22 • 33 • 44 • 55 • 66

17. 123456123456 • 11 • 22 • 33 • 44 • 55 • 66

18. 下圖10.7是B不包含原點座標的侵蝕結果。空心圓為侵蝕結果。侵蝕形狀與圖10.6相同但位置不同下圖10.7是B不包含原點座標的侵蝕結果。空心圓為侵蝕結果。侵蝕形狀與圖10.6相同但位置不同 • 012340123456 • 0-2 • 1-1 • 20 • 31 • 42 • 53 • 64 • B5 • 6 • A ӨB

19. 使用Matlab進行侵蝕 • 侵蝕範例 • 如圖10.8影像變細，正是侵蝕預期的作用 • (3*3十字矩陣進行侵蝕) • sq=ones(3,3); • c=imread(‘circbw.tif’); • ce=imerode(c,sq); • subplot(1,2,1),imshow(c) 圖10.8(原圖) • subplot(1,2,2),imshow(ce) (侵蝕後)

20. 10.3.3應用:邊界偵測 • 若A為一影像，B為以原點為中心對稱分佈的小型結構元素，A邊界可以由下列幾種方法定義 • (1) 內被邊界 A-(A ӨB) • (2) 外部邊界(A ♁B)–A • (3)形態梯度 (A ♁B)-(A ӨB) • 負號代表集合相減

21. 下列範例圖10.9為(A), (B), (A♁B), (AӨB) • 0 1 2 3 4 5-10123456 • 0(A)-1 • 10 • 21 • 32 • 43 • 54 • 0123455 • 0(A Ө B) 6 • 1 • 2-101 (A ♁B) • 3-1 (B) • 40 • 51

22. 下列為內部邊界,外部邊界與形態梯度。 『內部邊界』由A邊緣的像素組成。 『外部邊界』由A相鄰但位於A之外的像素組成。 『形態梯度』由內部邊界與外部邊界的總合。 • -1 0 1 2 3 4 5 6-1 0 1 2 3 4 5 6 -1-1 • 00 • 11 • 22 • 33 • 44 • 55 • 66 (實點為內部邊界白點為外部邊界)(形態梯度)

23. 以下函數程式為稻穀影像與內部邊界 • 以圖10.10稻穀影像為例，設定閥值，求得二元 • 數位影像。 • rice=imread(‘rice.tif’); • r=rice>110; • 再用下列指令可顯示原圖與內部邊界。 • sq=ones(3,3); • re=imerode(r,sq);(稻穀原圖) • r_int=r&~re; • subplot(1,2,1),imshow(r) • subplot(1,2,2),imshow(r_int) (內部邊界)

24. 以下指令為外部邊界與形態梯度 • 外部邊界與形態梯度也可以用類似方式求得。 • re=imerode(r,sq); • rice=imread(‘rice.tif’); • r=rice>110; • sq=ones(3,3); • rd=imdilate(r,sq); 圖10.11(外部邊界) • r_ext=rd&~r; • r_grad=rd&~re; • subplot(1,2,1),imshow(r_ext) • subplot(1,2,2),imshow(r_grad) (形態梯度)

25. 10.4 開啟與關閉

26. 10.4.1.開啟 • A與結構元素B，用B來開啟A，符號為A○B。 -101 • 定義: A○B= (A ӨB)♁B-1 • 就是先侵蝕後膨脹。如下圖10.12解釋(B)0 • 1 • 012345012345012345 000 • 111 • 222 • 333 • 444 • 555 • (A)(A ӨB)(A ○B)

27. 10.4.2關閉 • 相對於開啟，關閉則是先膨脹再侵蝕，符號為A ●B • 定義: A ●B=(A ♁B) Θ B. 如下圖10.13解釋 • 012345601234560123456 • 000 • 111 • 222 • 333 • 444 • 555 • 666 • (A) (A ♁B ) A ●B

28. 開啟跟關閉可分別使用imopen與imclose執行。下面可以看到使用方形與十字結構元素的效果。開啟跟關閉可分別使用imopen與imclose執行。下面可以看到使用方形與十字結構元素的效果。

29. 為imclose。

30. 使用關閉，影像會完全黏合。使用斜角線結構元素黏合影像。使用關閉，影像會完全黏合。使用斜角線結構元素黏合影像。 • 如圖10.14為關閉範例 • t=imread('text.tif'); • diag=[0 0 1;0 1 0;1 0 0] • (斜角結構元素) • Diag = • 0 0 1 • 0 1 0 1 0 0 • tc=imclose(t,diag); • imshow(tc)(關閉範例) (關閉範例)

31. 應用:去除雜訊 • A ӨB會去除單一黑色像素，但會使空洞變大，連續膨脹兩次便可填充空洞((A ӨB) ♁B) ♁B. • 第一次膨脹:恢復原始大小。 • 第二次膨脹:去除空洞。(但會放大影像中的物體) • 恢復原始尺寸>>執行一次侵蝕(((A Ө B) ♁ B) ♁ B) Ө B. • 內層兩個運算為開啟，外層為關閉。 • 所以去除雜訊方法為:先執行開啟後執行關閉((A ○ B) ● B). • 這樣運算稱為:『型態濾波』。

32. 加入10％散粒雜訊 • 如圖10.15(a)受到脈衝雜訊 • 干擾的二元雜訊影像。 • c=imread(‘circles.tif’) • ; x=rand(size(c)); • d1=find(x<=0.05); • d2=find(x>=0.95); • c(d1)=0; c(d2)=1; • imshow(c) (a)(二元雜訊影像)

33. 濾波過程如下 • 如下圖10.15(b),(c) • cf1=imclose(imopen(c,sq),sq);(使用方型結構元素) • figure,imshow(cf1) • cf2=imclose(imopen(c,cr),cr); (使用十字結構元素) • figure,imshow(cf2) • 結果方形結構元素有些鋸齒狀，若使用十字型結構元素則較平滑。 (b)(使用方形結構元素)(c)(使用十字結構元素)

34. 10.5 型態交離轉換

35. 型態交離轉換功能:影像中尋找特定形狀。 • 假設要尋找3×3的方形，如下圖10.16(A)中央部分。 • （1）影像A與B執行侵蝕A Ө B (A) (B)

36. (2) 得結果如圖10.17，剩下兩個像素，因為影像A只有這兩個地方與B符合。 (侵蝕A Ө B)

37. (3) 如下圖10.18使用結構C侵蝕A的補數(C為3×3外部邊界圖) (Ā) (C) 如下圖10.19經過(ĀӨC))

38. 使用如上一章節文字影像中”Corss-Correlation”中的連字部分符號。使用如上一章節文字影像中”Corss-Correlation”中的連字部分符號。 • 產生結構元素程式如下: • b1=ones(1,6); • b2=[1 1 1 1 1 1 1 1;1 0 0 0 0 0 0 1;1 1 1 1 1 1 1 1]; • tb1=erode(t,b1); • tb2=erode(~t,b2); • hit_or_miss=tb1&tb2; • [x,y]=find(hit_or_miss==1)

39. 10.6 其他形態演算法

40. 10.6.1 區域填充 • 設一個區域為連通邊界畫分出來，如下圖10.21像素p為區域內的一個像素點。 • ※要填充整個區域從p開始: • (1) 使用十字結構元素B連續執行膨脹。 • (2)執行下一次膨脹前與Ā做交集。 • 最後得到數列 • {p} = X0,X1,X2….,Xk = Xk+1, • 其中 • Xn = (Xn-1♁ B) ∩Ā.

41. 下圖10.22填充區域之過程 • Xk∪A為填充區域，下圖顯示整個流程。 • X0 = {p}, X1 = {p,1}, X2 = {p,1,2}… (Ā)

42. 10.6.2連通部分 • 如右圖10.23填充連通部分 • 連通部分也可以使用類似演算法。 • 4-連通部分使用十字結構元素。 • 8-連通部分使用方形結構元素。 • 像素p開始，產生一個集合的數列來填充。 • X0 = {p},X1,X2,……, • 其中 • Xn = (Xn-1♁ B) ∩ A. • 直到Xk=Xk-1，範例如右圖 • 十字結構元素無法穿越邊界。 • (使用十字形)(使用方形)

43. 進行MATLAB函數進行填充區域時，持續記錄兩個影像:(current與last)，last影像從區域的單一像素點p開始，current影像從膨脹開始。進行MATLAB函數進行填充區域時，持續記錄兩個影像:(current與last)，last影像從區域的單一像素點p開始，current影像從膨脹開始。 • Last  current, • Current (current ♁B) ∩Ā • 給定B，執行: • Imsilate(current,B)&~A. • 可以用下列函數填充由邊界劃分的區域: • sq=ones(3,3); • n=imread('nicework.tif'); imshow(n),pixval on nb=n&~imerode(n,sq); figure,imshow(nb) nf=regfill(nb,[74,52],sq); figure,imshow(nf) 原圖(a) (b) 區域填充另一種表示法

44. 以下函數可以來填充某個由邊界畫分的區域 • (c)是區域填充結果 • (d)是另一種表示方法 • function out=regfill(im,pos,kernel); • n=imread('nicework.tif'); • current=zeros (size(im)); • last=zeros(size(im)); • last(pos(1),pos(2))=1; • current=imdilate(last,kernel)&~im; • while any(current(:)~=last(:)), • last=current; • current=imdilate(last,kernel)&~im; • end; • out=current; (c) (d)

45. 連通部分可用影像“nice work”來測試此函數，使用方形結構元素及一個較大的11*11結構元素。 (a) 為使用3*3方形 (b) 為使用11*11方形。 • sq=ones(3,3); • n=imread('nicework.tif'); • sq2=ones(11,11); • nc=components(n,[57,97],sq); • imshow(nc) • nc2=components(n,[57,97],sq2); • figure,imshow(nc2) (a) 。 (b)

46. 連通部份的函數和區域填充幾乎一模一樣，只要更改一行指令即可。連通部份的函數和區域填充幾乎一模一樣，只要更改一行指令即可。 • function out = components(im,pos,kernel) • current=zeros (size(im)); • last=zeros(size(im)); • last(pos(1),pos(2))=1; • current=imdilate(last,kernel)&im; • while any(current(:)~=last(:)), • last=current; • current=imdilate(last,kernel)&im; • end; • out=current;

47. 10.6.3 骨架化 二元物體的骨架式壓縮了物體大小與形狀後，所得到的直線與曲線的集合。 ※表10.1 建構骨架的運算

48. 範例如下圖10.28，骨架化，使用十字形結構元素。範例如下圖10.28，骨架化，使用十字形結構元素。 • (A) 原圖 ( A○B) 開啟 (A－(A○B))差值

49. (AӨB)侵蝕 ((AӨB) ○ B)開啟 ((AӨB) －((AӨB) ○ B))差值

50. (AӨ2B)侵蝕 ((AӨ2B) ○ B)開啟 ((AӨ2B) －((AӨ2B) ○ B))差值