山西建筑职业技术学院 数学教研室

1. 山西建筑职业技术学院 数学教研室 应用数学基础

2. 第一章 函数与极限 • 第一节 函数 • 第二节 反函数与初等函数 • 第三节 极限的定义 • 第四节 无穷小量与无穷大量 • 第五节 极限的运算 • 第六节 函数的连续性与间断点 • 第七节 初等函数的连续性 闭区间上连续函数性质

3. 第一节 函数 • 区间、邻域 • 函数概念 • 函数的几种特性 • 单调性 • 奇偶性 • 周期性 • 有界性

4. 一、区间与邻域 • 区间 定义：区间是用得较多的一类数集，它是介于某两个实数之间的全体实数。这两个实数又称为区间的端点，例如：设a、b都是实数，且a<b,数集{x｜a<x<b}称为开区间，记作（a、b），同理有闭区间，半开区间，有限区间和无限区间。 　 分类：

5. a • 邻域

6. f 的真实含义(对应法则——对x的一种作用） 例2 例3 二、函数概念 • 确定函数的两个主要因素：D和 f • 两个函数相同的条件 例1 判断下列函数是否相同 • 分段函数：（D和f ）

7. 三、函数的特性 注：（１）函数单调性是一条与区间有关的性质． 　　（２）单调增加函数图形特点是曲线自左向右逐渐上升， 　　　　　单调减少函数图形特点是曲线自左向右逐渐下降．

8. 例5 证明 为奇函数。 注：（1）函数具有奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称。 （2）奇函数图形关于原点对称，偶函数图形关于y轴对称。

9. 注：（1）周期函数定义域为（－∞，＋∞） （2）周期函数图形每间隔周期T将重复出现，根据这一特点作图时只需作出函数在一个周期上的图形之后向左向右平移即可作出全部。

10. 注：（1）函数是否有界除与函数本身有关外，还与讨论区间有关。注：（1）函数是否有界除与函数本身有关外，还与讨论区间有关。 （2）有界函数图形总能被平行于y轴的两条直线所夹。

11. 第二节 反函数与初等函数 一、 反函数 二、 基本初等函数 三、 复合函数 四、 初等函数 五、 建立函数关系式举例

12. 一、 反函数 • 定义：设函数y=f(x)，如果把y当作自变量，x当作函数，那么由关系式y=f(x)所确定的函数x=g(y)称为y=f(x)的反函数。函数y=f(x)称为直接函数。 • 反函数存在的条件：函数y=f(x)的反对应关系是单值的。 例1：y=x2(x>0)；y=x2(x任意） • 互为反函数特点： • （1）函数y=f(x)与其反函数x=g(y)的定义域与值域正好调换。 • （2）按照习惯x是自变量，y是函数。因而通常将x=g(y)中x与y互换，得到反函数为y=g(x)，这个函数与y=f(x)的图形关于直线y=x对称。

13. 例2 求下列函数的反函数 （1） (2) 例3 求函数 的反函数 • 确定反函数的步骤： • （1）从函数y=f(x)中解出x，得到x=g(y) • （2）互换变量x与y，得到反函数为y=g(x) 二、 基本初等函数（略）

14. 三、复合函数 • 引例 某汽车每公里耗油量为0.2公升/公里，速度为60公里/小时，求耗油量与时间的关系。 • 定义 设y是u的函数y=f(u)，u是x的函数u=g(x)，且g(x)的函数值的全体或部分在f(u)的定义域内，那么y也是x的函数，记作y=f[g(x)]。称这个函数为由y=f(u)， u=g(x)复合而成的函数。其中u是中间变量。 • 注意：（1）u=g(x)的值域与y=f(u)的定义域的交集要非空，这是两个函数能够复合的前提条件。称为外函数，u=g(x)为内函数。（2）复合函数的定义域有时与内函数定义域相同，有时是其一部分。

15. 复合函数的分解 • 原则：由整体到局部，由外层到内层，逐层分解。 四、初等函数 • 定义：由基本初等函数及常数经过有限次四则运算及有限次复合步骤构成，并且可以用一个式子表示的函数，称为初等函数。 例10 y=cos2x+ln5x 例11 y=ln(arctan(5+x))-3x2

16. 五、建立函数关系式举例 例12 有一个底半径为，高为的圆锥形量杯，为了在它的侧面刻上表示容积的刻度，需要找出溶液的容积与其对应高度之间的函数关系，试写出表达式，并指明定义域。 例13 已知水渠的横断面为等腰梯形，倾斜角φ=40°，如图ABCD叫做过水断面（即垂直于水流的断面），L=AB+BC+CD 叫做水渠的温周，当过水断面的面积为定值时S0时，求湿周L与水渠深h之间的函数关系式，并指明定义域。 例14 建筑一个容积为8000m3，深为6m的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为15元，池底每平方米的造价为30元，把总造价y（元）表示为水池的长x(m)的函数，并求出函数的定义域。 • 建立函数关系式一般步骤：（1）区分问题中的变量与常量，并给出变量的表示字母（2）画出简图或根据具体问题涉及到的学科知识建立变量之间关系式。（3）尽可能确定函数定义域。

17. 第三节 极限定义 一、数列极限的定义 二、函数极限的定义

18. 一 数列极限定义 （一）问题引入 • 例1 1，1，1，…，1，… • 例2 1，-1，1，-1，1，-1，…1，-1… • 例3 战国时期《庄子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” • 例4 1，2，3，…n，… • 例5 （二）数列极限的描述定义 • 定义1：当n无限增大时，一个数列无限接近于某一个常数a，则称此数列以a为极限，或称此数列收敛于a。记作：

19. （三）数列极限的严格定义 • xn与a的距离用绝对值来刻划 • n无限增大用N以后的所有项来描述 如果数列没有极限,则称该数列是发散的.

21. (技巧:不等式的放大) (四)数列极限的几何意义

22. 二 函数的极限 （一） 问题的引入

23. 几何解释： 的意义是对任意给定正数ε>0，总存在正数X，当|x|>X时，函数f(x)的图形位于直线y=A－ε和y=A+ε所夹的横条区域内。 • 类似可定义： • 三者关系： （二） 函数极限的定义 函数的极限是研究在自变量的某一变化过程中函数的变化趋势。根据自变量的变化过程，可分以下两种情形： 1）当x→∞时，函数的极限 • 描述定义：如果|x|无限增大时，函数f(x)总能与某常数A无限接近，则称常数A是x趋于无穷时，函数f(x)的极限. • 精确定义：设函数y=f(x)，若对任意给定正数ε>0，总存在正数X，当|x|>X时，恒有|f(x)-A|<ε，则称常数A是x趋于无穷时函数f(x)的极限。

24. 定义1：设函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε恒成立，则称常数A为函数y=f(x)在x→x0时的极限，记为 或 • 定义2： ，只需把 0<|x-x0|<δ改为 • 定义3： ，只需把 0<|x-x0|<δ改为 2）x→x0时，函数f(x)的极限 (左极限） (右极限） • 三者关系：函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是f(x)在x0点的左极限，右极限分别存在且相等。

25. 例2：讨论函数 当x→1，x→2时的极限是否存在 例1：求 当x→0时左、右极限，并说明当x→0时的极限是否存在

26. 第四节 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小的性质 四、无穷小与无穷大的关系 五、无穷小的比较

27. 定义：如果函数f(x)当x→x0（或x→∞)时极限为零，则称函数f(x)为x→x0（或x→∞)时的无穷小量，简称为无穷小。即 第四节 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 • 注：（1）无穷小量是一个变量，并非常数。常函数中只有y=0可以看作无穷小量。 • （2）说一个变量是无穷小，必须指明自变量的变化趋势。

28. 定义：如果当x→x0（或x→∞)时函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)为x→x0（或x→∞)时的无穷大量，简称为无穷大。可记为 或 • 注：（1）无穷大量是一个变量，不能把绝对值很大的数与无穷大混为一谈。 • （2）说一个变量是无穷大，必须指明自变量的变化趋势。 • （3）在自变量的某种变化趋势下，如果f(x)取值无限增大，绝对值无限增大，则可称函数为正无穷大；若f(x)取值无限减小，绝对值无限增大，则可称函数为负无穷大。分别记为 二、无穷大量

29. 三、无穷小的性质 • 在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质 • （1）有限个无穷小的代数和为无穷小 • （2）有限个无穷小的乘积是无穷小。 • （3）有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 注：如果将性质中的有限个无穷小换为无限个无穷小，则结论不一定成立。如 关于性质（３）的应用 • 函数极限与无穷小的关系 • 定理：在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞) 中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可以表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个函数的极限。

30. 如若f(x)－5是x→3时的无穷小，则 ；反 之， ，则f(x)－5一定是x→3时的无穷小 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则 为无穷小。反之f(x)如果为无穷小，且不为零则 为无穷大。 四、无穷大与无穷小的关系

31. 五、无穷小阶的比较 三、渐近线 • 等价无穷小可替换定理

32. 第五节 极限的运算 一、四则运算法则 二、两个重要极限

33. 设limf(x)=A，limg(x)=B，则 (1) lim[f(x)±g(x)]= limf(x) ± limg(x)=A ±B (2) lim[f(x)·g(x)]= limf(x) · limg(x)=A·B (3) 一、四则运算法则

34. 例１ 解： 例 2 解： 例 3 解： 例 4 解： 求下列极限：

35. 例 5 解： 例 6 解： 例 7 例 8 解： ，即 所以 例 9已知 ，求a的值

36. 小结：求极限常用方法 • 四则运算法则 • 无穷小量的性质 • 分子分母同除以最高次幂 • 分解因式，约去奇异因子 • 有理化 一个公式：

37. 二、两个重要极限

38. 第六节 函数的连续性与间断点 一、函数的改变量二、函数的连续性三、函数的间断点

39. 一、函数的改变量 变量的改变量：变量t从它的初值t1变到它的终值t2，终值与初值之差t2-t1称为变量t的改变量，记作△t=t2-t1, △t可正可负。 函数的改变量：对于函数y=f(x)，当自变量x从x0变到x0+ △x(自变量的改变量为△x),必然引起y有相应的增量，我们把它记作 △y ,△y=f(x0+x)-f(x0)。 例1：当正方形的边长x产生一个改变量 △x时，问面积y改变多少？

40. A 二、函数的连续性 函数在一点连续需满足三个条件：（1）函数在x0处有定义（2）函数在x0处有极限（3）极限值等于该点函数值。 1、函数在一点 的连续性 定义1： 定义2：

41. 例2：设函数 解： f(x)在x= -1处不连续 f(x)在x=2处连续

42. 2、函数在区间上的连续性 三、间断点的分类 定义：如果函数在区间上每一点都连续，则称函数在该区间上连续。它的图形是一条连续不间断的曲线。 • 第一类：左右极限都存在的间断点 • 可去间断点：极限存在，但不等于函数值。 • 跳跃间断点：左右极限不相等。 • 第二类：不是第一类间断点 • 无穷间断点 • 振荡间断点

43. 例 题 选 讲

44. 第七节 初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 一、初等函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质

45. 一、初等函数的连续性 • 由连续函数的和、差、积、商（不为零）构成的函数仍连续 • 由复合函数构成的函数仍连续 • 一个函数在某区间上单值、单调且连续，则它的反函数在对应区间上也单值、单调且连续 结论：初等函数在其定义区间内均连续。

46. 应用之一：求极限 例1： 应用之二：确定函数的连续性及间断点 例2：求函数 间断点、连续区间，并指明间断点的类型。

47. 二、闭区间上连续函数的性质 • 闭区间上的连续函数在该区间内一定存在最大值与最小值。 • （若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在该区间上有界） • 若y=f(x)在闭区间上连续，则它在区间[a,b]内能取得介于最大值与最小值之间的任何数。 • （若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点c,使f(c)=0 例3：证明方程x3-3x2-9x+1-0在区间(0,1)内有唯一实根。

48. 小结与思考 • 极限是数学中的一个重要概念，其它的重要概念，比如连续、导数、定积分都是用极限定义的，可以说没有极限就没有高等数学的严格结构。 • 极限思想是一种解决问题的有效方法，在这一方法的使用过程中，充分体现了从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变的辩证关系，是从变化的观点出发研究问题，从变化中认识解决问题的典范。 • 连续是函数的一种重要性态，连续函数具有许多优良的性质，比如闭区间上连续函数一定有界，一定存在最大值与最小值，连续函数一定可积等，它是反映现实问题的一种最常见，最简单的函数。