《数学实验》课程

《数学实验》课程 • 什么是数学实验？简单讲就是利用计算机和数学软件平台，一方面，对学习知识过程中的某些问题进行实验探究、发现规律；另一方面，结合已掌握的数学（微积分、代数与几何等）知识，去探究、解决一些简单实际问题，从而熟悉从数学建模、解法研究到实验分析的科学研究的方法。

《数学实验》课程 • 课程的性质、目的数学实验是最近几年出现的新课程，其目的是锻炼动手能力，培养应用数学知识解决实际问题的意识和能力。本课程通过介绍数学软件(MATLAB)，运用数学课程所学习的一些知识与方法，对一些简单的实际问题进行数学建模、解题方法的设计与上机实践。课程包括讲课、讨论和使用计算机进行实验等环节。

先看两个例子 例1 数列极限（第23页例11-2）:动态显示数列极限 • MATLAB程序： hold on % 图形迭加 axis([0,100,2,3]); % 设置坐标轴 grid % 加坐标网格 for n=1:90 % 循环操作 an=(1+1/n)^n; % 计算数列值 plot(n,an,'r*'); % 画出坐标点 pause(0.05); % 暂停0.05秒 fprintf('n=%d an=%.4f\n',n,an); % 显示坐标位置 end

例2 导弹打击过程仿真（第24页例12-2） 设A(0,0)为一导弹发射点，发现位于B(0,100)处一架敌机沿水平方向逃离，随即发射一枚导弹予以打击，现已知导弹时刻对准敌机，且速率为飞机速率的两倍（设飞机速度为1）。试编程模拟导弹打击敌机的动态过程，并实时给出飞机和导弹的位置坐标。若要在敌机飞行距离不超过60时（我方空域）将其击落，导弹的速率应提高到多少？

MATLAB程序： hold on % 图形迭加 axis([0,100,0,120]); % 设置坐标轴 k=0; A=[0,0]; %导弹初始位置 B=[0,100]; %飞机初始位置 v=1; dt=1; %离散时间改变量 d=100; %相距距离 while d>0.5 plot(A(1),A(2),‘r.’); %画导弹位置 plot(B(1),B(2),‘b*’); %画飞机位置 pause(0.2); k=k+1; B=B+[v*dt,0]; %飞机移动位置 e=B-A; %导弹指向飞机向量 d=norm(e); e0=e/d; %取向量方向（单位化） A=A+2.0*v*dt*e0; %导弹追击位置 fprintf('k=%.0f A(%.2f,%.2f) B(%.2f,100) d=%.2f\n',k ，A(1),A(2),B(1), d); end

《数学实验》课程 • 学习课程的要求 1.熟悉计算机操作与有关数学软件的使用; 2.掌握好高等数学的知识体系和数学方法； 3.具有刻苦钻研、积极探究的学习精神； 4.培养勤于思考、乐于动手的实践能力； 5.具有不怕困难，善于总结，相互协作，开拓创新的意志。

《数学实验》课程 • 课程的教学： 1）通过介绍数学软件-MATLAB，学会数学软件的基本操作与使用； 2）利用数学软件对数学课程中的一些数值计算数值方法进行上机实验； 3）通过简单的应用问题，运用有关的数学知识建立数学模型、分析求解方法并上机实现。

《数学实验》课程 • 教学的要求：每次实验按2人为一实验小组，实验完成后共同填写一份实验报告上交，教师批改后给出成绩，最后综合评定出最终成绩（10分制）。实验成绩将纳入到所学的高等数学课程的期末成绩之中，占一定的比例（一般10%）。

MATLAB软件简单介绍 • MATLAB是建立在向量、数组和矩阵基础上的一种分析和仿真工具软件包，包含各种能够进行常规运算的“工具箱” ； • 同时还提供了编程计算的功能，通过编程可以解决一些复杂的工程问题； • 也可绘制二维、三维图形，输出结果可视化。目前，已成为工程领域中较常用的软件之一。

运行MATLAB创建一个或多个窗口 a)命令区(Command Window)是用户使用的主要场所，此时，可以输入变量、数组及运算命令，进行一些简单的运算；用↑↓←→键搜索、修改以前使用过的命令操作, 用clc清除窗口; 用help sqrt ( help input …)寻求有关帮助; b)编辑区(Editor\Debugger Window)编制各种M-文件，存盘(Save)、运行（Run）等.

MATLAB中帮助功能 在命令区(Command Window)键入help命令查看工具箱 elmat - Elementary matrices and matrix manipulation. elfun - Elementary math functions. specfun - Specialized math functions. 键入 help elfun help abs help sqrt help linspace

MATLAB中基本代数运算符 运算符号举例加法: a+b + 5+3 减法: a-b - 5-3 乘法: a×b * 5*3 除法: a÷b / 48/4 乘幂: ^ 5^2=25

MATLAB中数组、矩阵基本运算符 运算符号举例加法: a+b + [1 2]+[3 4] [1,2]+3 减法: a-b - [1 2]-[3 4] [1,2]-3 乘法: a*b * [1,2]*3 [1,2]' *[3,4] a.*b .* [1,2].*[3,4]=[3,8] 除法：a./b ./ [1,2]./[3,4]=[0.3,0.5] 逆乘: 左乘 \ ax=b  x=a\b=inv(a)*b 右乘 / xa=q  x=q /a=q *inv(p) 乘幂: 方阵的幂 ^ a^2=a*a 元素的幂 .^ a.^2 x.^3

变量及数组输入 • 1：向量方式输入 x=[1,2,3,4,5] %以向量（数组）方式给x赋值 x(3)=3 x(5)=5 x1=[1 12 –3 4 sqrt(5)]; z=sqrt(x) %每个元素开方

变量及数组输入 • 2：矩阵方式输入 a=[1,2,3;4,5,6;7,8,0] %矩阵输入（a为3阶方阵） b=[366;804;351] %列矩阵输入 det(a) %方阵行列式 inv(a) %方阵的逆 x=a\b %ax=b方程组的解 y=inv(a)*b %与x相同 disp([a,b,x]) %显示矩阵

变量及数组输入 • 3：数组的分点输入 x=linspace(0,2*pi,30); %按分点赋值 y=sin(x); plot(x,y)；%画正弦曲线

变量及数组输入 • 4：数组的步长输入 t=0:0.5:7 z=t.^2; hold on %图形保持 plot(t,z, 'bo')；%画y=x^2曲线 plot(t,z, 'r--')； hold off

MATLAB中符号函数的表示 符号函数 MATLAB表示 '1/(2*x^n)' '1/sqrt(2*x)' 'sin(x^2)-cos(2*x)' M=sym('[a,b;c,d]') f=int('x^2', 'a', 'b')

MATLAB中符号运算 • fx='2*x^n' %建立函数 diff(fx) %对变量x求一阶导数 diff(fx, ‘n’,2) %对变量n求二阶导数 • fx='x/(1+x^2)' int(fx) %对fx求不定积分 int(fx,0, 't') %对fx在[0,t]上求定积

MATLAB中符号运算 • fx='a*x^2+b*x+c' solve(fx) %求方程fx=0的符号解 solve(fx, 'b' ) %求方程fx=0关于变量b的符号解 • syms x fx= '1/(1+exp(-1/x))' limit(fx,x,0, 'right') %求fx:x->0右极限 limit(fx,x,0, 'left') %求fx:x->0左极限 limit(fx,x,inf, 'left') %求fx:x->+∞极限

MATLAB中的数值函数运算 • 建立数值函数（inline命令） f=inline(‘x.^2-3’); 建立一元函数，默认x为自变量; u=inline('x.^y-3', 'x','y'); %建立二元函数，x为第一自变量，y为第二自变量; • 求函数值：f(2)、u(2,3) • 画曲线：fplot(f,[0,2]); %画一元函数在[0,2]上的图象 • 求函数零点 c=fzero(f,1);%求一元函数在x=1附近的零点c. c=fzero(u,1,[ ],2) %求二元函数y=2时在x=1附近的零点c.

MATLAB二维、三维图形 • 例6-4 在矩形域[-1,1]X[-1,1]上绘制旋转抛物面：。 x=linspace(-1,1,100); %按100等分分割[-1,1]生成x数组 y=x; %与x相同，按100等分分割[-1,1]生成y数组 [X,Y]=meshgrid(x,y); %生成矩形域上网格节点矩阵 Z=X.^2+Y.^2; %生成函数值矩阵 plot3(X,Y,Z) ; %画网格曲面 mesh(X,Y,Z) ; %画网格曲面并赋以颜色 surf(X,Y,Z) ; %画光滑曲面 shading flat ; %对曲面平滑并除去网格

本次实验上机要求 • 熟悉讲义中第一章——第六章中相关命令、例题；实验讲义中第一章——第六章中练习题 • 实验课（上机）安排：每个人按所在小班（自然班），按登记时间上机； • 平时也可到图书馆上机，Matlab(5.3版)软件可从网上搜索下载使用.

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