Úplné kvadratické rovnice

1. TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR Úplné kvadratické rovnice Mgr. Martina Fainová POZNÁMKY ve formátu PDF

2. KVADRATICKÁ ROVNICE Kvadratická rovnice o jedné neznámé x se nazývá každá rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar ax2 + bx + c = 0, kde a R-{0}; b,c R. Poznámka: ax2 – kvadratický člen, a - koeficient kvadratického členu bx – lineární člen, b - koeficient lineárního členu c – absolutní člen ax2 + bx + c – kvadratický trojčlen

3. Řešení kvadratické rovnice Každou kvadratickou rovnici převedeme na anulovaný tvar a dále použijeme některou z možností řešení: • Řešení pomocí diskriminantu • Vztah mezi kořeny a koeficienty kvadr. rovnice • Řešení doplněním na čtverec ??? Neúplné kvadratické rovnice a tyto metody Lze je použít, ale postup je zbytečně zdlouhavý.

4. Řešení pomocí diskriminantu Diskriminantkvadratické rovnice ax2+bx+c = 0 je výraz b2 – 4ac a značíme jej D. , D rozhoduje o kořenech rovnice: D  0 rce nemá v R řešení D = 0 rce má jeden dvojnás. kořen D  0 rce má dva reálné kořeny

5. Příklad: V R řešte pomocí D dané rovnice: a) 2x2 - x - 6 = 0 a = 2, b = -1, c = -6 Řešení: D = b2 – 4ac = (-1)2 - 42(-6) = 1 + 48 = 49 > 0 2 řešení

6. Příklad: V R řešte pomocí D dané rovnice: b) 2x2 - x + 6 = 0 c) x2 - 2x + 1 = 0 Řešení: Řešení: a = 2, b = -1, c = 6 a = 1, b = -2, c = 1 D = (-1)2 - 426 = D = (-2)2 - 411 = 4 - 4 = 0 = 1 - 48 = -47 < 0 K = Ø K = {1}

7. (4x - 3)2 = (3x + 2)2 • 7x(x - 3) = -2(x2 + 5) • (2x + 1)(x + 2) = 2(5 + 2x) • (x + 3)(x - 2) = (3x + 2)(4x - 3) • . • . Cvičení: V oboru reálných čísel řešte pomocí D dané rovnice: • 16x2 - 8x + 1 = 0 • 3x + x2 + 4 = 0 • 3z2 - 4 - z = 0 • x2 + 1,5x - 4,5 = 0 • 4x = 4x2 - 1 • 19x = 7x2

8. Jsou-li x1, x2 kořeny kvadratické rovnice ax2+bx+c = 0, pak pro ně platí: Řešení pomocí VKK Příklad: Řešte kvadratickou rovnici 3x2 + x – 10= 0. Řešení: a = 3 b = 1 c = -10 ,

9. Řešení pomocí VKK Je-li kvadr. rovnice normovaná (x2+px+q = 0), platí pro její kořeny Vietovy vzorce: Příklad: Pomocí Vietových vzorců řešte rci x2-7x+12=0 Řešení: 3+4 = 7 26, (-2)(-6), 34, (-3)(-4), 112 ?? Platí uvedené věty i obráceně K = {3; 4}

10. Řešení pomocí VKK Nechť a, b, c R  a  0. Pak čísla x1, x2, pro která platí , , jsou kořeny kvadr. rovniceax2+bx+c = 0. Příklad: Určete b, c tak, aby čísla 3 a -0,5 byla kořeny kvadratické rovnice 2x2+bx+c = 0 Řešení: x1 = 3, x2 = -0,5 b = -5 2x2- 5x- 3 = 0 c = -3

11. Řešení doplněním na čtverec Rovnici ax2 + bx + c = 0 převedeme na tvar a(x2 + b´x + c´) = 0, závorku dále upravujeme: (x + b´/2)2 - (b´/2)2 + c´= 0 p q2 , (x + p)2 – q2 = (x + p - q)  (x + p + q) = = (x – x1)  (x – x2) x1a x2 jsou hledanými kořeny rovnice

12. Příklad: Doplněním na čtverec řešte rovnici x2+ 3x + 2 = 0. Řešení: = 0 x + 1 = 0 x + 2 = 0 x = -2 x = -1

13. Rozklad kvadr. trojčlenu Nechť je dána kvadr. rovnice ax2 + bx + c = 0 s kořeny x1, x2. Pak lze kvadr. trojčlen zapsat ve tvaru: ax2 + bx + c =a(x–x1)(x–x2) Příklad: Rozložte na součin lin. členů: 2x2– 5x – 3 D = b2 – 4ac = (-5)2 - 42(-3) = 49 Řešení: 2x2– 5x – 3 = 2(x – 3)(x – (–0,5))= 2(x – 3)(x + 0,5)

14. Cvičení: Příklad 1: Dané rovnice řešte doplněním na čtverec: • x2 – 3x + 2 = 0 • x2 + 11x + 24 = 0 • 10 = x2 +3x • 7x = x2 + 10 • x2- 8x + 15 = 0 • x2- 0,5 = 0,5x Příklad 2: Řešte pomocí VKK a kvadr. trojčleny zapište jako součin lineárních členů: • x2 – 3x + 2 = 0 • x + x2– 6 = 0 • 2x2 + 22x + 48 = 0 • 5 = 0,5x2 + 1,5x • x2 + 16 = -10x • x2 + 8 = 9x

15. Rovnici převedeme na tvar x2 = -px - q f1: y = x2(grafem parabola) f2: y = -px - q(grafem přímka) Grafické řešení kvadr. rovnic , přímka je sečnou2 spol. body rce má 2 řešení přímka je tečnou1 spol. bod  rce má 1 řešení žádný spol. bod rce nemá žádné řešení ??? Jaká souřadnice spol. bodu je řešením původní rce první souřadnice (x) společného bodu

16. Příklad: Graficky řešte rovnici x2 + x - 2 = 0 Řešení: x2 = -x + 2 f1:y = x2 f2:y = -x + 2 K = {-2; 1}