1 / 34

5-Movimiento_Armónico_Simple

Movimiento Armu00f3nico Simple

luisarrufat97
Download Presentation

5-Movimiento_Armónico_Simple

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 5. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  2. 5. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) CONTENIDOS. 5.1 Introducción: Movimientos vibratorios u oscilatorios 5.2 Características de un Movimiento Armónico Simple. 5.3 Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple 5.4 Relación MAS con MCU. 5.5 Gráficas de elongación, velocidad y aceleración del MAS. ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  3. 5. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) CONTENIDOS. 5.6 Condiciones iniciales. 5.7 Dinámica del Movimiento Armónico Simple. Muelle Vertical. Péndulo Simple. 5.8 Energía del Movimiento Armónico Simple. 5.9 Otros movimientos vibratorios. ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  4. 5.1 Introducción: Movimientos vibratorios u oscilatorios. • Un cuerpo, o una partícula de éste, describe un movimiento periódico cuando las variables posición , velocidad , y aceleración de su movimiento toman los mismos valores después de cada intervalo de tiempo constante denominado período. • Se puede suponer un móvil siguiendo una trayectoria circular describiendo un MCU, con una velocidad angular ω. Para un momento dado, el móvil se encuentra en un punto P con unos valores de posición , velocidad y aceleración concretos. Transcurrido un período de tiempo, habrá descrito una circunferencia completa, volviendo a estar en la misma posición y con los mismos valores de velocidad y aceleración. • Un ejemplo de este tipo de movimiento periódico puede ser el de la Luna alrededor de la Tierra, o el movimiento de las agujas de un reloj. • Otro tipo de movimiento son las oscilaciones o vibraciones, que es cuando una partícula o cuerpo se desplaza sucesivamente de un lado a otro de una posición central (posición de equilibrio) repitiendo periódicamente sus variables cinemáticas. • Cada vez que el cuerpo vuelve a la posición inicial moviéndose en el mismo sentido, decimos que ha efectuado una oscilación invirtiendo un período de tiempo. • Ejemplos de vibraciones u oscilaciones mecánicas son el movimiento de un muelle al colgarle de él una pesa y hacerlo oscilar, las de un péndulo, las de una cuerda en un instrumento musical, las mareas, el latido del corazón, el movimiento de un pistón... ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  5. 5.1 Introducción: Movimientos vibratorios u oscilatorios. ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  6. 5.1 Introducción: Movimientos vibratorios u oscilatorios. El muelle inicialmente se encuentra en la posición de equilibrio, ninguna fuerza actúa sobre la masa ni sobre el muelle (b). El muelle es alargado una posición x aplicándole una fuerza externa Fext. En consecuencia por la tercera ley de Newton, aparece una fuerza de reacción que es la fuerza elástica del muelle, de igual dirección que la anterior pero de sentido contrario. (a) Al soltar la masa, Fext deja de actuar, y debido a F, la masa se contrae hasta la posición –x. En ese momento la fuerza recuperadora del muelle invierte su sentido haciendo que se vuelva a expandir pasando de nuevo por la posición de equilibrio (c). Si existiera amortiguamiento, esta expansión-compresión sería cada vez menor hasta que la masa se parara finalmente en la posición de equilibrio. Muelle Horizontal Fext Fext ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  7. 5.1 Introducción: Movimientos vibratorios u oscilatorios. El movimiento oscilatorio de un cuerpo sobre una trayectoria recta es armónico simple cuando está sometido a la acción de una fuerza de atracción proporcional al vector posición, con origen en su punto de equilibrio o centro de oscilación, y de sentido contrario.  FUERZA ELÁSTICA O RECUPERADORA LEY DE HOOKE k: Cte recuperadora del muelle. : vector de posición : vector unitario según la dirección positiva del eje X ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  8. 5.2 Características del Movimiento Armónico Simple. CARACTERÍSTICAS • Vibración/Oscilación/ Ciclo: distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo partiendo de una posición inicial y finalizando en la misma posición y con el mismo sentido de movimiento. • Posición de Equilibrio o Centro de Oscilación (O): punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas en el movimiento oscilatorio por la partícula. • Elongación (x): distancia instantánea de la partícula con respecto la posición de equilibrio (O). Viene dada por las coordenadas de la partícula en un momento dado, tomando como positivas los valores de x a la derecha de O, y negativas los valores de x a la izquierda de O. • Amplitud (A): valor máximo de la elongación, es decir, las posiciones extremas (+A y –A) de la partícula en su movimiento oscilatorio con respecto a la posición de equilibrio. • Período (T): tiempo empleado por la partícula en realizar una oscilación completa. • Frecuencia (f): es el número de oscilaciones realizadas en un segundo. La frecuencia es la inversa del período  . Su unidad en el S.I. es el hercio, Hz. . • Velocidad angular/ frecuencia angular/ pulsación (): número de períodos comprendidos en unidades de tiempo. . Su unidad en el S.I. es el rad/s. ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

  9. 5.3 Ecuación del movimiento armónico simple (MAS). • La ecuación fundamental de un MAS es la que relaciona la 2ª Ley de Newton con la fuerza recuperadora de un resorte: • Igualando: • Siendo ω2, la pulsación, el cociente Ecuación fundamental del MAS ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

  10. 5.3 Ecuación del movimiento armónico simple (MAS). • La ecuación de posición de un MAS, relaciona la elongación x en un instante determinado con el tiempo t. • Se trata de una función sinusoidal periódica de período T (s), cada radianes. • La FASE del movimiento está dada por • La FASE INICIAL del movimiento es y depende de la posición inicial y del sentido del movimiento. Ecuación de posición del MAS • También se puede expresar en función del coseno, teniendo en cuenta que la relación entre la función seno y coseno es: ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  11. 5.3 Ecuación del movimiento armónico simple (MAS). • Para demostrar esta ecuación, podemos partir de términos energéticos. Teniendo en cuenta que el trabajo que actúa es debido a fuerzas conservativas (fuerza recuperadora de un resorte), se ha de cumplir por el teorema de las fuerzas vivas y por el principio de las fuerzas conservativas: • Tomando como referencia una partícula que describe un MAS y se coloca en uno de sus extremos donde su velocidad y su elongación máxima : • Para cualquier punto genérico del movimiento: 0 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  12. 5.3 Ecuación del movimiento armónico simple (MAS). • Obtenemos una ecuación diferencial de variables separadas: • Resolviendo la ecuación, queda: • Derivando con respecto a x obtenemos la velocidad: ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  13. 5.3 Ecuación del movimiento armónico simple (MAS). • Y derivando dos veces con respecto a la posición, obtenemos la aceleración: • La velocidad es máxima en la posición de equilibrio (x=0), y nula en los extremos (x=A). • La aceleración es nula en la posición de equilibrio (x=0) y máxima en los extremos (x=A). ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  14. 5.3 Ecuación del movimiento armónico simple (MAS). Algunas posiciones del MAS ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  15. 5.3 Ecuación del movimiento armónico simple (MAS). Algunas posiciones del MAS ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  16. 5.4 Relación MAS con MCU. • Considerando un MCU de una partícula que se mueve con velocidad angular constante ω, se tiene: • Un vector que va desde el centro del movimiento O hasta el punto posición inicial P en . El ángulo de dicho vector con respecto el eje de abscisas es la fase inicial La proyección del vector , es el vector • Pasado un tiempo t, la partícula se encuentra en el punto P’ y el vector de posición ha girado un ángulo ωt, siendo el vector ’ la nueva proyección del vector ’. • De forma análoga se procede con el vector velocidad y el vector aceleración. • Una revolución en el MCU es el equivalente a una oscilación completa en el MAS. • La proyección del vector ’ es el valor de la coordenada X(t) de un Movimiento Armónico Simple (MAS) que se desplaza desde un lado al otro de la trayectoria circular de radio A del MCU. ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  17. 5.4 Relación MAS con MCU. P’ P ωt -A +A x(t) Q’ Q ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  18. 5.5 Gráficas de elongación, velocidad y aceleración. 1-ELONGACIÓN ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  19. 5.5 Gráficas de elongación, velocidad y aceleración. 2-VELOCIDAD ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  20. 5.5 Gráficas de elongación, velocidad y aceleración. 3-ACELERACIÓN ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  21. 5.6 Condiciones Iniciales. • Conociendo la posición y la velocidad iniciales y del cuerpo oscilante, se puede determinar la amplitud A y el ángulo de fase inicial como sigue: • 1º) Ecuación de la posición para t=0: • 2º) Ecuación de la velocidad para t=0: • 3º) Elevamos al cuadrado cada una de ellas y sumamos: • + • __________________________________________________________ 0 0 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  22. 5.6 Condiciones Iniciales. • Para la fase inicial, se procede de forma similar, dividiendo x(0) entre v(0). ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  23. 5.6 Condiciones Iniciales. • Por otro lado, se puede relacionar la velocidad y la aceleración con la posición de la siguiente manera: • ) ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  24. 5.7 Dinámica del Movimiento Armónico Simple. Muelle vertical. Péndulo Simple. • En un movimiento armónico simple (MAS), se cumple que: • Dado que, m y ω no varían, la fuerza queda en función de una constante denominada constante elástica del resorte: • Esta expresión indica que la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesta a él. Es decir, se dirige siempre hacia el punto de equilibrio O, punto en el que es nula. • Cuanto mayor es la constante elástica K, mayor será la fuerza que atrae al móvil hacia la posición de equilibrio. ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  25. 5.7 Dinámica del Movimiento Armónico Simple. Muelle vertical. Péndulo Simple. Muelle Vertical ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  26. 5.7 Dinámica del Movimiento Armónico Simple. Muelle vertical. Péndulo Simple. Muelle Vertical 1º) En la posición de equilibrio SIN PESO, tenemos para : {aceleración del sistema es 0} 2º) En la posición de equilibrio CON PESO, tenemos para : 3º) Realizando una fuerza externa hacia abajo y soltando, tenemos para : ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  27. 5.7 Dinámica del Movimiento Armónico Simple. Muelle vertical. Péndulo Simple. Péndulo Simple Si suspendemos una pequeña partícula material de masa m de un hilo de longitud L, inextensible y de masa despreciable, y la separamos un pequeño ángulo α de su posición vertical de reposo, la partícula se comporta como un oscilador armónico.  PÉNDULO SIMPLE h B C A ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  28. 5.7 Dinámica del Movimiento Armónico Simple. Muelle vertical. Péndulo Simple. Péndulo Simple • La trayectoria del péndulo es un arco de circunferencia, pero puede suponerse recta para valores muy pequeños del ángulo α. • En un punto B de la trayectoria, el péndulo posee Ep, de valor mgh, e igual al trabajo realizado para llevar el péndulo desde la posición de equilibrio A hasta B. • Al dejarlo en libertad, desciende hacia A, disminuye su Ep y aumenta su Ec en la misma cantidad, debido a la conservación de la Energía Mecánica. • En A su Ec es máxima y su Ep es nula, continuando su movimiento hasta C donde su Ec es nula y su Ep es máxima. • Así, en la dinámica de un péndulo simple, el peso se puede descomponer en 2 componentes: ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  29. 5.7 Dinámica del Movimiento Armónico Simple. Muelle vertical. Péndulo Simple. Péndulo Simple • El valor de la fuerza resultante para ángulos pequeños ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023 ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  30. 5.8 Energía del Movimiento Armónico Simple (MAS) Energía Potencial Elástica Energía Cinética Energía Mecánica ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  31. 5.8 Energía del Movimiento Armónico Simple (MAS) ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  32. 5.9 Otros movimientos vibratorios Movimiento Oscilatorio Amortiguado Un movimiento oscilatorio es amortiguado si la energía mecánica de su movimiento disminuye gradualmente; como consecuencia, aunque se mantienen las oscilaciones, éstas disminuyen su amplitud con el tiempo. Fuerza de amortiguamiento • Si b=0, la amplitud de las oscilaciones se mantiene constante ya que no hay amortiguación. • Si b crece, a medida que crece, disminuye la amplitud A, debido a que el amortiguamiento es mayor. • Si b es muy grande, no hay oscilaciones, ya que el cuerpo, desplazado de su posición de equilibrio vuelve a ella y ya no oscila. La fuerza amortiguadora se iguala a la fuerza recuperadora.  Sistema Totalmente Amortiguado. • Ejemplos: Columpio, cuerda de guitarra, sistema de suspensión de automóviles. ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  33. 5.9 Otros movimientos vibratorios ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

  34. 5.9 Otros movimientos vibratorios Movimiento Oscilatorio Forzado Un movimiento oscilatorio forzado es el producido en un sistema oscilante debido a la energía suministrada desde el exterior. • Si la acción de las fuerzas externas compensa exactamente la de las fuerzas disipativasque reducen la amplitud, esta última se puede mantener constante en el sistema oscilador. • Ejemplos: Reloj de péndulo, persona en un columpio que se impulsa constantemente… Resonancia Si la frecuencia con que actúa una fuerza externa coincide con la frecuencia natural del oscilador, la energía absorbida por éste es máxima.  Frecuencia Resonante/ Resonancia. La resonancia se produce debido a un acoplamiento de la frecuencia natural del sistema y la de la fuerza externa del movimiento oscilatorio forzado. ©Luis Arrufat Horcajuelo2024

More Related