0-Introduccion_al_calculo_vectorial_adaptado

1. 0. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL. 1 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

2. 0. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL. • 0.1 Magnitudes y unidades. • 0.2 Coordenadas en el plano. • Coordenadas Cartesianas, Cilíndricas y Esféricas. • Coordenadas Rectangulares. • Coordenadas Polares. • Coordenadas Geográficas. • 0.3 Vectores en el plano. CONTENIDOS. 2 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

3. 0. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL. • 0.4 Operaciones con Vectores. • Suma de Vectores • Diferencia de Vectores • Producto de un escalar por un vector. • Producto Escalar. • Producto Vectorial. CONTENIDOS. 3 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

4. 0. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL. • 0.5 Diferenciación Vectorial. • Derivación Vectorial. • Movimiento Relativo. • Derivada Direccional y Gradiente de un Escalar. • Divergencia de una Función Vectorial. • Rotacional de una Función Vectorial. • Integral de un Vector. • Circulación Vectorial y Flujo de un Campo Vectorial CONTENIDOS. 4 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

5. 0. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL. • 0.6 Teoremas de Interés. • Teorema de la Divergencia (o del Flujo) y de Stokes. • Operadores de segundo orden. Laplaciano. • Campos en coordenadas esféricas y cilíndricas. CONTENIDOS. 5 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

6. 0.1 MAGNITUDES Y UNIDADES. MAGNITUD: SE TRATA DE UNA CANTIDAD MEDIBLE DE UN SISTEMA FÍSICO REPRESENTADA NUMÉRICAMENTE POR UNA UNIDAD MÚLTIPLO DE UNA UNIDAD DE REFERENCIA PATRÓN (kg, mol, km, m/s, cd…). MAGNITUD ESCALAR: QUEDAN COMPLETAMENTE DEFINIDAS POR UN NÚMERO Y LAS UNIDADES UTILIZADAS PARA ELLO.  MÓDULO MAGNITUD VECTORIAL: A DIFERENCIA DE LAS ESCALARES, ESTAS, QUEDAN DEFINIDAS POR UN MÓDULO, UNA DIRECCIÓN Y UN SENTIDO. MEDIDA: COMPARACIÓN DE UNA MAGNITUD CON OTRA DE LA MISMA ESPECIE, QUE ARBITRARIAMENTE SE TOMA COMO UNIDAD DE REFERENCIA. LA MAGNITUD DE UNA CANTIDAD FÍSICA SE EXPRESA MEDIANTE UN NÚMERO DE VECES LA UNIDAD DE MEDIDA. 6 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

7. 0.1 MAGNITUDES Y UNIDADES. MAGNITUD TENSORIAL: MAGNITUDES FORMADAS POR ENTIDADES ALGEBRAICAS DE VARIOS COMPONENTES QUE GENERALIZAN EL CONCEPTO DE ESCALAR, VECTOR Y MATRIZ DE MANERA QUE SEA INDEPENDIENTE DEL SISTEMA DE COORDENADAS ELEGIDO.  EJ: TENSOR DE TENSIÓN, TENSOR DE ELASTICIDAD… SIN EMBARGO, ESTE CONJUNTO DE COMPONENTES ALGEBRAICOS QUE COMPONEN EL TENSOR, VARÍAN, AL VARIAR EL SISTEMA DE REFERENCIA ELEGIDO ASOCIADO A UN OBSERVADOR CON DIFERENTE ESTADO DE MOVIMIENTO. MAGNITUD FUNDAMENTAL: NO SE DEFINEN EN TÉRMINOS DE OTRAS MAGNITUDES Y DEPENDEN DEL SISTEMA DE UNIDADES. MAGNITUD DERIVADAS: SE FORMAN MEDIANTE LA COMBINACIÓN DE LAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES. 7 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

8. 0.1 MAGNITUDES Y UNIDADES. 8 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

9. 0.1 MAGNITUDES Y UNIDADES. MAGNITUD SUPLEMENTARIA: SON AQUELLAS QUE NO HAN SIDO CLASIFICADAS COMO FUNDAMENTALES O DERIVADAS. CAMPO ESCALAR: es una función escalar de las coordenadas y del tiempo, que determina el valor de una magnitud escalar en cada punto del espacio, para cada instante de tiempo  T (x(t), y(t), z(t)). Se representan mediante el valor de la función o mediante las SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES, que son el lugar geométrico de los puntos que cumplen que la función es cte. Se construyen uniendo los puntos en donde la función tiene el mismo valor. 9 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

10. 0.1 MAGNITUDES Y UNIDADES. CAMPO ESCALAR DE TEMPERATURAS (ESPAÑA) 10 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

11. 0.1 MAGNITUDES Y UNIDADES. CAMPO VECTORIAL: es una función vectorial de las coordenadas y del tiempo, que determina el valor de una magnitud vectorial en cada punto del espacio, para cada instante de tiempo . Se representan mediante el valor de la función o mediante las LÍNEAS DE CAMPO, que son aquellas curvas cuya tangente en cada punto es paralela al campo en dicho punto. EJEMPLO: CAMPO DE VELOCIDADES DE UN FLUJO. 11 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

12. 0.2 COORDENADAS EN EL PLANO. COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS. UNITARIOS EN ESFÉRICAS UNITARIOS EN CILÍNDRICAS 12 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

13. 0.2 COORDENADAS EN EL PLANO. COORDENADAS RECTANGULARES. COORDENADAS RECTANGULARES: Están formadas por 2 ejes numéricos perpendiculares entre sí. El punto de intersección se considera como el origen de cada uno de los ejes numéricos x e y. Este punto se llama origen de coordenadas y se designa por O. El eje horizontal se denomina abscisa o eje de las x. Es positiva a la derecha del origen, y negativa a la izquierda. El eje vertical se denomina ordenada o eje de las y. Es positiva hacia arriba del origen, y negativa hacia abajo. Estos ejes numéricos dividen el plano el plano en 4 cuadrantes ordenados. Así, la posición de un punto en el plano, queda determinada por un par de números ordenados (x,y) llamados coordenadas rectangulares, que corresponden a la intersección de una abscisa x y una ordenada y. 13 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

14. 0.2 COORDENADAS EN EL PLANO. COORDENADAS RECTANGULARES. 14 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

15. 0.2 COORDENADAS EN EL PLANO. COORDENADAS POLARES. COORDENADAS POLARES: Están formadas por 1 eje numérico de referencia x, que es el Eje Polar. En un punto de este, se halla el origen de coordenadas O, que es el origen o polo. Así, la posición de un punto en el plano queda determinada por un par ordenado (r,∅), donde r es el Radio-Vector y representa la distancia positiva del origen al punto; y ∅ es el ángulo polar y representa la medida del ángulo desde el eje polar hasta el Radio-Vector, en sentido antihorario. 15 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

16. 0.2 COORDENADAS EN EL PLANO. COORDENADAS POLARES. 16 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

17. 0.2 COORDENADAS EN EL PLANO. COORDENADAS GEOGRÁFICAS. COORDENADAS GEOGRÁFICAS: Están formadas por 2 ejes perpendiculares entre sí. El punto de intersección de los ejes se considera como el origen de cada uno de ellos. Estos ejes perpendicularmente dividen al plano en los 4 puntos cardinales: N, S, E, O. La posición de un punto en el plano queda determinada por un par ordenado (r, rumbo), donde r representa la distancia positiva del Origen hasta el punto , y rumbo representa la dirección medida a partir de N y S. Para representar el rumbo, primero se menciona la palabra N o S, luego el ángulo agudo y finalmente la posición E u O. 17 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

18. 0.2 COORDENADAS EN EL PLANO. COORDENADAS GEOGRÁFICAS. 18 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

19. 0.3 VECTORES EN EL PLANO. CLASES DE VECTORES. 19 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

20. 0.3 VECTORES EN EL PLANO. 20 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

21. 0.4 OPERACIONES CON VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES. SUMA DE VECTORES RESTA DE VECTORES PRODUCTO DE ESCALAR POR VECTOR 21 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

22. 0.3 VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES CON VECTORES. 22 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

23. 0.3 VECTORES EN EL PLANO. EXPRESIÓN VECTORIAL MÓDULO DEL VECTOR COSENOS DIRECTORES 23 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

24. 0.3 VECTORES EN EL PLANO. VECTORES BASE O NORMALIZADOS. Los vectores unitarios rectangulares del sistema coordenado rectangular son: Los tres perpendiculares entre sí, y de módulo la unidad. 24 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

25. 0.3 VECTORES EN EL PLANO. PRODUCTO ESCALAR. Se trata de un escalar igual al producto de módulos de los vectores dados, por el coseno de menor ángulo que forman entre sí. El producto escalar de 2 vectores en función de sus vectores base es: 25 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

26. 0.4 OPERACIONES CON VECTORES. Propiedades: EJEMPLO: Calcular el producto escalar de los vectores y  De igual modo, al producto se le llama Proyección , que puede ser representada de forma modular o de forma vectorial. 26 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

27. 0.4 OPERACIONES CON VECTORES. cos = Proyección 27 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

28. 0.4 OPERACIONES CON VECTORES. PRODUCTO VECTORIAL. El sentido del vector resultando viene dado por la regla del sacacorchos o regla de la mano derecha.  El 1º avanza hacia el 2º por el camino más corto. = = El sentido del vector resultando viene dado por la regla del sacacorchos o regla de la mano derecha.  El 1º avanza hacia el 2º por el camino más corto. 28 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

29. 0.4 OPERACIONES CON VECTORES. PRODUCTO VECTORIAL. Propiedades: EJEMPLO: Calcular el producto vectorial de los vectores y 29 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

30. 0.4 OPERACIONES CON VECTORES. PRODUCTO VECTORIAL. EJEMPLO: Calcular el producto vectorial de los vectores y 30 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

31. 0.4 OPERACIONES CON VECTORES. DINÁMICA DE ROTACIÓN. El Momento de una fuerza , se define como el producto vectorial del vector de posición por la fuerza Esta magnitud nos permite conocer la eficacia de una fuerza para producir rotación alrededor de un eje que pasa por un punto O. Sus unidades en el S.I. son el N·m. 31 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

32. 0.4 OPERACIONES CON VECTORES. DINÁMICA DE ROTACIÓN. La relación entre el momento de la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración angular producida se expresa mediante la ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN. I se trata de una constante de proporcionalidad, denominada MOMENTO DE INERCIA, calculada respecto al mismo eje que el momento de la fuerza. El momento de inercia de una partícula es el producto de su masa m por el cuadrado de la distancia al eje de giro r. Momento de Inercia Ecuación Fundamental de la Dinámica de Rotación 32 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

33. 0.4 OPERACIONES CON VECTORES. DINÁMICA DE ROTACIÓN. 33 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

34. 0.4 OPERACIONES CON VECTORES. DINÁMICA DE ROTACIÓN. El momento angular, , de una partícula respecto a un punto O es el producto vectorial de su posición, , respecto a dicho punto por su cantidad de movimiento . Su unidad en el S.I. es el kg·m2·s-1 Para un sólido rígido discreto o continuo, con eje de simetría fijo 34 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

35. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. • La derivada de un vector de módulo constante es un vector de dirección • perpendicular. DERIVACIÓN VECTORIAL. Es decir, ⊥ 35 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

36. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. • ) • ) MOVIMIENTO RELATIVO. Aceleración de arrastre Aceleración relativa Aceleración tangencial Aceleración de Coriolis 36 Aceleración normal ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

37. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. DERIVADA DIRECCIONAL. En cada punto, un campo escalar tiene en general infinitas derivadas distintas dependiendo de la dirección del desplazamiento. La derivada direccional en cada punto y en la dirección especificada por el vector unitario se define por: En particular, las 3 derivadas direccionales según los ejes cartesianos se llaman derivadas parciales. 37 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

38. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. GRADIENTE DE UN ESCALAR. du = ∇ ∇ Gradiente de un escalar ∇ ∇ 38 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

39. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. Por otro lado, la derivada direccional según en la que el desplazamiento es , se puede expresar como la proyección del gradiente sobre . El gradiente es un vector cuya dirección, indica la dirección de máxima variación del escalar y su sentido es hacia los valores crecientes del escalar. Es perpendicular en cada punto a la superficie equiescalar en dicho punto. 39 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

40. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. DIVERGENCIA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL. Divergencia de una función vectorial. ∇· ∇· De alguna manera, la divergencia de una función vectorial, mide, la diferencia entre el flujo vectorial saliente, y el entrante en un volumen de control. En el caso, en el que la ∇·hablaremos de puntos fuente, si la ∇· hablaremos de puntos sumideros, y en el caso de que ∇·hablaremos de puntos solenoidalesdel campo 40 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

41. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. ROTACIONAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL. Rotacional de una función vectorial. ∇^ De alguna manera, el rotacional de una función vectorial, mide, la tendencia de a rotar entorno a 1 punto considerado. 41 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

42. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. EJERCICIO Calcular el gradiente de la función f (x,y,z)= grad f(x,y,z) EJERCICIO Calcular la divergencia de la función f (x,y,z)= div (x,y,z) 42 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

43. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. EJERCICIO Calcular el rotacional de la función f (x,y,z)= rot f(x,y,z) Si, el rotacional de una función vectorial, es 0,se dice, que el campo es irrotacional. 43 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

44. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. Si INTEGRACIÓN VECTORIAL Ejemplo: Desde el interior de un tren que se desplaza a 30 m/s, un niño lanza un objeto por una ventana con una velocidad de 10 m/s, horizontalmente y perpendicular a la marcha del tren cuando pasa frente a un poste indicador. ¿A qué distancia del poste contada a lo largo de la vía, y a qué distancia de esta chocará el objeto con el suelo? La altura inicial sobre el suelo es de 2,45 m. Tomar g=10 m/s. 44 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

45. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. CIRCULACIÓN La circulación o integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva entre dos puntos A y B, se define en su forma integral como: 45 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

46. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. EJERCICIO Determinar la circulación del campo a lo largo de la trayectoria L de ecuación entre los puntos A (0,1) y B (1,0). Como y 46 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

47. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. Un campo vectorial es CONSERVATIVO cuando la circulación del campo entre 2 puntos no depende de la trayectoria seguida, sino exclusivamente de las posiciones de los puntos inicial y final. Las condiciones para que un campo sea conservativo son las siguientes: El campo es conservativo o irrotacional. = . 47 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

48. 0.5 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL. 48 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

49. 0.6 OTRAS RELACIONES DE INTERÉS. 49 ©©Luis Arrufat Horcajuelo 2023

50. 0.6 TEOREMAS DE INTERÉS. CAMPOS EN COORDENADAS POLARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS. • Algunas relaciones de interés de los operadores gradiente, divergencia y rotacional, expresados en coordenadas polares, esféricas y cilíndricas, son las siguientes: COORDENADAS ESFÉRICAS. 50 ©Luis Arrufat Horcajuelo 2023