运 筹 学 —— 目录

1. 运 筹 学 ——目录 1、绪 论 2、线 性 规 划 3、运 输 问 题 4、动 态 规 划 5、图与网络分析 6、排 队 论 7、教学日历

2. 绪 论 运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究” 运筹学是运用科学的方法（如分析、试验、量化等）来决定如何最佳地运营和设计各种系统的一门学科。运筹学对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 • 运筹学有广泛应用（可以自己找一些参考书看） • 运筹学的产生和发展（可以自己找一些参考书看）

3. 运筹学解决问题的过程 1）提出问题：认清问题 2）寻求可行方案：建模、求解 3）确定评估目标及方案的标准或方法、途径 4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等 5）选择最优方案：决策 6）方案实施：回到实践中 7）后评估：考察问题是否得到完满解决 1）2）3）：形成问题；4）5）分析问题：定性分析与定量分析。构成决策。

4. 线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 随机规划 模糊规划等 图与网络理论 存储论 排队论 决策论 对策论 排序与统筹方法 可靠性理论等 运筹学的分支

5. 运筹学在工商管理中的应用 • 生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下 料、配料问题、物料管理等 • 库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存 量等 • 运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、 运输工具的调度以及建厂地址的选择等 • 人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编 制、人员合理分配，建立人才评价体系等 • 市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与 销售计划制定等 • 财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管 理、现金管理等 *** 设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等

6. 运筹学方法使用情况(美1983)（%）

7. 运筹学方法在中国使用情况(随机抽样)（%）

8. 运筹学的推广应用前景 • 据美劳工局1992年统计预测:运筹学应用分析人员需求从1990年到2005年的增长百分比预测为73%,增长速度排到各项职业的前三位. 结论: • 运筹学在国内或国外的推广前景是非常广阔的 • 工商企业对运筹学应用和需求是很大的 • 在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做

9. 如何学习运筹学课程 • 学习运筹学要把重点放在分析、理解有关的概念、思路上。在自学过程中，应该多向自己提问，如一个方法的实质是什么，为什么这样做，怎么做等。 • 自学时要掌握三个重要环节： 1、认真阅读教材和参考资料，以指定教材为主，同时参考其他有关书籍。一般每一本运筹学教材都有自己的特点，但是基本原理、概念都是一致的。注意主从，参考资料会帮助你开阔思路，使学习深入。但是，把时间过多放在参考资料上，会导致思路分散，不利于学好。 2、要在理解了基本概念和理论的基础上研究例题，注意例题是为了帮助你理解概念、理论的。作业练习的主要作用也是这样，它同时还有让你自己检查自己学习的作用。因此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出错。因为，整个课程是一个整体，各节内容有内在联系，只要学到一定程度，知识融会贯通起来，你做题的正确性自己就有判断。 3、要学会做学习小结。每一节或一章学完后，必须学会用精炼的语言来该书所学内容。这样，你才能够从较高的角度来看问题，更深刻的理解有关知识和内容。这就称作“把书读薄”，若能够结合自己参考大量文献后的深入理解，把相关知识从更深入、广泛的角度进行论述，则称之为“把书读厚” • 在建数学模型时要结合实际应用，要学会用计算机软件解决问题。 返回目录

10. 各章节的重点、难点及注意事项

11. 1、 线 性 规 划 例1. 某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制，如下表： 问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使工厂获利最多？ 线性规划模型： 目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0

12. 1、 线 性 规 划 （续1.1） 1. 1 线性规划的概念 • 线性规划的组成：目标函数 Max f 或 Min f 约束条件 s.t. (subject to) 满足于 决策变量 用符号来表示可控制的因素 • 一般形式 ( p10-- p 11) • 目标函数： Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn • 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn≤ （ =, ≥ ）b1 • a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn≤ （ =, ≥ ）b2 • …… …… • am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn≤ （ =, ≥ ）bm • x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 • 标准形式 ( p11-- p 15 ，例1-3) • 目标函数： Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn • 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 • a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 • …… …… • am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn= bm • x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 • **练习：p 68--70 习题1 1-1，1-2

13. 1、 线 性 规 划 （续1.2） 1. 2 线性规划问题解的概念及性质 • 熟悉下列一些解的概念（p15--16） 可行解、可行解集（可行域），最优解、最优值，基、基变量、非基变量，基本解、基本可行解，可行基、最优基。 • 图解方法及各有关概念的意义（p16--20） • 看：图解法步骤，例1-4，1-5，1-6，1-7，1-8，1-9 • 下一页是一个图解法解题的一个例子，右图中的阴影部分为可行域。 • 单纯形法的理论基础（p20--30） • 1.2.3段要求看懂，了解如何直接通过对约束矩阵的分析求出基本可行解 • 1.2.4, 1.2.5两段应注重结论的了解，如单纯形法思想和关于线性规划解的四个 • 定理，而对证明过程则可根据自己的数学基础来掌握： • 基础很好，可要求掌握；否则，也可略去不看。 • **习题：p70 习题1 1-3，1-4

14. 1、 线 性 规 划 （续1.2） 例1. 目标函数： Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件： s.t. x1 + x2 ≤ 300 (A) 2 x1 + x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E) 得到最优解： x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500

15. 1、 线 性 规 划 （续1.3） 1. 3 单纯形法 利用单纯形表的方法求解线性规划——重点 此项内容是本章的重点，学习中应注意掌握表格单纯形法求解线性规划问题的基本过程。要通过读懂教材内容以及大量练习来掌握。

16. 1、 线 性 规 划 （续1.3） • 表格单纯形法 • 考虑： bi > 0 i = 1 , … , m Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn≤ b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn≤ bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 • 加入松弛变量： Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + xn+1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn + xn+2 = b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn+ xn+m = bm x1 ，x2 ，… ，xn ，xn+1 ，… ，xn+m ≥ 0

17. 1、 线 性 规 划 （续1.3） 显然，xj = 0 j = 1, … , n ; xn+i = bi i = 1 , … , m 是基本可行解 对应的基是单位矩阵。 以下是初始单纯形表： m m 其中：f = -∑ cn+i bij = cj -∑ cn+i aij 为检验数 cn+i= 0 i= 1,…,m i = 1 i = 1 an+i,i = 1 , an+i,j = 0 ( j≠i ) i , j = 1, … , m

18. 1、 线 性 规 划 （续1.3单纯形法解题例） 例1。化标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 + x3 = 300 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50（松弛标量，表示原料A有50个单位的剩余）

19. 1、 线 性 规 划 （续1.3） • 注意：单纯形法中， 1、每一步运算只能用矩阵初等行变换； 2、表中第3列的数总应保持非负（≥ 0）； 3、当所有检验数均非正（≤ 0）时，得到最优单纯形表。

20. 1、 线 性 规 划 （续1.3） • 一般情况的处理及注意事项的强调（p45--55） 1.3.4段主要是讨论初始基本可行解不明显时，常用的方法。要弄清它的原理，并通过例1-14 ~ 例1-17掌握这些方法，同时进一步熟悉用单纯形法解题。 考虑一般问题：bi > 0 i = 1 , … , m Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn= b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn= b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn= bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0

21. 1、 线 性 规 划 （续1.3） • 大M法： 引入人工变量 xn+i ≥ 0 i = 1 , … , m ; 充分大正数 M 。 得到， Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn + M xn+1 + … + M xn+m s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + xn+1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn + xn+2 = b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn + xn+m = bm x1 ，x2 ，… ，xn，xn+1 ，… ，xn+m ≥ 0 显然，xj = 0 j=1, … , n ; xn+i = bi i =1 , … , m 是基本可行解 对应的基是单位矩阵。 • 结论：若得到的最优解满足 xn+i = 0i = 1 , … , m 则是原问题的最优解；否则，原问题无可行解。

22. 1、 线 性 规 划 （续1.3） • 两阶段法：引入人工变量 xn+i ≥ 0，i = 1 , … , m；构造， Max z = - xn+1 - xn+2 - … - xn+m s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn + xn+1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn + xn+2 = b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn + xn+m = bm x1 ，x2 ，… ，xn，xn+1 ，… ，xn+m ≥ 0 • 第一阶段求解上述问题： 显然，xj = 0 j=1, … , n ; xn+i = bi i =1 , … , m 是基本可行解 对应的基是单位矩阵。 • 结论：若得到的最优解满足 xn+i = 0i = 1 , … , m 则是原问题的基本可行解；否则，原问题无可行解。 • 得到原问题的基本可行解后，第二阶段求解原问题。

23. 1、 线 性 规 划 （续1.3）例题 例：（LP） Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15 2 x1 + x2 + 5 x3 = 20 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 • 大M法问题（LP - M） Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4 - M x5 - M x6 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15 2 x1 + x2 + 5 x3 + x6 = 20 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0 • 两阶段法 ：第一阶段问题（LP - 1） Max z = - x5 - x6 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15 2 x1 + x2 + 5 x3 + x6 = 20 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0

24. 1、 线 性 规 划 （续1.3）大M法例 • 大M法 （LP - M） • 得到最优解：(25/3，10/3，0，11)T 最优目标值：112/3

25. 1、 线 性 规 划 （续1.3）两阶段法例 • 第一阶段 （LP - 1） • 得到原问题的基本可行解：(0，15/7，25/7，52/7)T

26. 1、 线 性 规 划 （续1.3）两阶段法例 • 第二阶段 把基本可行解填入表中 • 得到原问题的最优解：(25/3，10/3，0，11)T • 最优目标值：112/3

27. 1、 线 性 规 划 （续1.3） 1.3.5 矩阵描述——此段为选读，有困难者可不看。 1.3.6 段单纯形迭代过程中的几点注意事项是对有关内容的强调和补充，要认真学习、理解。

28. 1、 线 性 规 划 （续1.4） 1. 4 线性规划应用—— 建模 本节介绍了些线性规划应用的例子，这些例子从多个方面介绍建模对未来是很有用的，应认真对待。 除了教材上的例子之外，还有许多其它应用： * 合理利用线材问题：如何下料使用材最少 * 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 * 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 * 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 * 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 * 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小 返回目录

29. 例：人力资源分配的问题 例．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?

30. 例：人力资源分配的问题（续） 解：设 xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0

31. 例：生产计划的问题 例、 明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？

32. 例：生产计划的问题（续） 解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数， x4,x5分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和 可得到 xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。 这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： s.t. 5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0

33. 例：生产计划的问题（续） 例、 永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B 两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？

34. 例：生产计划的问题（续） 解：设 xijk表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。 利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 - （每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。 这样我们建立如下的数学模型: Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123 s.t. 5x111 + 10x211 ≤ 6000 （ 设备 A1） 7x112 + 9x212 + 12x312 ≤ 10000 （ 设备 A2） 6x121 + 8x221 ≤ 4000 （ 设备 B1） 4x122 + 11x322 ≤ 7000 （ 设备 B2） 7x123 ≤ 4000 （ 设备 B3） x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 = 0 （Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等） x312 - x322 = 0 （Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等） xijk ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3

35. 例：套裁下料问题 例、某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？ 解： 设计下列 5 种下料方案 假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 ≥ 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 ≥ 100 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0

36. 例：配料问题 例6．某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？

37. 例：配料问题（续） 解： 设 xij表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。

38. 例：配料问题（续） Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%） x11+ x21 + x31 ≤ 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 ≤ 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 ≤ 60 (供应量限制） xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3

39. 例：投资问题 例8．某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项 目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第 一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额 不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规 定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本 利155%，但规定最大投资额不能超过100万元； 据测定每万元每次投资的风险指数如右表： 问： a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？ 解： 1）确定决策变量：连续投资问题 设 xij ( i = 1 - 5，j = 1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量： A x11 x21 x31x41x51 B x12 x22 x32x42 C x33 D x24

40. 例：投资问题（续） 2）约束条件： 第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200； 第二年：B次当年末才可收回投资故第二年年初的资金为 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第三年：年初的资金为 x21+x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； 第四年：年初的资金为 x31+x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； 第五年：年初的资金为 x41+x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投资限制： xi2 ≤ 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100 3）目标函数及模型： a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 ≤ 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4） b) Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 ≤ 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 ≤ 80，x24 ≤ 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 ≥ 330 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）

41. 2、线性规划问题的进一步研究（2.1） 2. 1 对偶原理 1、对偶问题：考虑前文例 1 若设备和原料都用于外协加工，工厂收取加工费。试问：设备工时和原料A、B 各如何收费才最有竞争力？ 设 y1 ，y2 ，y3 分别为每设备工时、 原料 A、B每单位的收取费用 Max z = 50 x1 + 100 x2 Min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3 s.t. x1 + x2 ≤ 300 s.t. y1 + 2 y2 + ≥ 50 2 x1 + x2 ≤ 400 （不少于甲产品的利润） x2 ≤ 250 y1 + y2 + y3 ≥ 100 x1 , x2 ≥ 0 y1, y2 , y3 ≥ 0

42. 2、线性规划问题的进一步研究（2.1） 2、对偶定义 • 对称形式： 互为对偶 (LP) Max z = cT x  (DP) Min f = bT y s.t. Ax ≤ b s.t. AT y ≥ c x ≥ 0 y ≥ 0 “Max -- ≤ ” “Min-- ≥” • 一般形式： 若一个问题的某约束为等式，那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制；反之， 若一个问题的某变量无非负限制，那么对应的对偶问题的相应约束为等式。

43. 2、线性规划问题的进一步研究（2.1） 3、对偶定理 （原问题与对偶问题解的关系） 考虑（LP）和（DP） 定理2-1 （弱对偶定理）若 x, y 分别为（LP）和（DP）的可行解，那么 cT x ≤ bT y 。 推论 若（LP）可行，那么（LP）无有限最优解的充分必要条件是（LD）无可行解。 定理2-2 （最优性准则定理）若 x, y 分别为（LP）和（DP）的可行解，且 cT x = bT y ，那么 x, y分别为（LP）和（DP）的最优解。 定理2-3 （主对偶定理）若（LP）和（DP）均可行，那么（LP）和（DP）均有最优解，且最优值相等。 以上定理、推论对任意形式的相应线性规划的对偶均有效

44. 2、线性规划问题的进一步研究（2.1） 4、影子价格—— 是一个向量，它的分量表示最优目标值随相应资源数量变化的变化率。 若 x*, y*分别为（LP）和（DP）的最优解， 那么， cT x* = bT y*。 根据 f = bT y* = b1y1* + b2y2* +  + bmym* 可知 f / bi =yi* yi*表示 bi 变化1个单位对目标 f 产生的影响，称 yi*为 bi的影子价格。 注意：若 B 是最优基， y* = (BT)-1 cB 为影子价格向量。

45. 2、线性规划问题的进一步研究（2.1） 5、由最优单纯形表求对偶问题最优解 第1章例1。化标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 + x3 = 300 ， 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 ， x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 I O B=(p1 , p4 , p2 ) (BT)-1 cB B-1 最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50（松弛标量，表示原料A有50个单位的剩余）影子价格 y1 = 50 y2 = 0 y3 = 50 , B-1对应的检验数 (BT)-1 cB。

46. 2、线性规划问题的进一步研究（2.2） 2. 2 对偶单纯形法 • 对偶单纯形法在什么情况下使用 ： 应用前提：有一个基，其对应的基本解满足 ① 单纯形表的检验数行全部非正（对偶可行）； ② 变量取值可有负数（非可行解）。 **注：通过矩阵行变换运算，使所有相应变量取值均为非负数即得到最优单纯性表。

47. 2、线性规划问题的进一步研究（2.2） • 对偶单纯形法求解线性规划问题过程： 1、建立初始对偶单纯形表，对应一个基本解，所有检验数均非正，转2； 2、若 b’≥ 0 ，则得到最优解，停止；否则，若有 bk < 0 则选 k 行的基变量为出基变量，转3； 3、若所有 akj’≥ 0 ( j = 1,2,…,n )，则原问题无可行解，停止；否则，若有 akj’< 0 则选  = min {j’/ akj’┃akj’< 0 } = r’/ akr’那么 r 为进基变量，转4； 4、以 akr’为转轴元，作矩阵行变换使其变为 1，该列其他元变为 0，转2。

48. 2、线性规划问题的进一步研究（2.2） 例：求解线性规划问题： Min f = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 S.t. x1 + 2x2 + x3 ≥ 3 2x1 - x2 + x3 ≥ 4 x1 , x2 , x3 ≥ 0 标准化： Max Z = - 2x1 - 3x2 - 4x3 S.t.- x1 - 2x2 - x3 + x4 = - 3 - 2x1 + x2 - 3x3 + x5 = - 4 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0

49. 2、线性规划问题的进一步研究（2.2） • 表格对偶单纯形法

50. 2、线性规划问题的进一步研究（2.3） 2.3 灵敏度分析 • 进一步理解最优单纯形表中各元素的含义 考虑问题Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn≤ b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn≤ b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn≤ bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 引入 m 个松弛变量后，通过计算得到最优单纯形表。应 -1 -1 能够找到最优基 B的逆矩阵 B ，以及 B N，检验数等。