1 / 20

Probabilitat

Probabilitat. Esdeveniments. Un experiment és un procés mitjançant el qual s’obté una observació. L’espai mostral ( Ω ) és el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori

luce
Download Presentation

Probabilitat

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Probabilitat Curs 2013-14 URV

  2. Esdeveniments • Un experiment és un procés mitjançant el qual s’obté una observació. • L’espai mostral (Ω) és el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori • Un esdeveniment A és qualsevol de tots els resultats possibles d’un experiment que compleix una determinada característica A Un esdeveniment A és un subconjunt de l’espai mostral • Operacions amb esdeveniments: • Esdeveniment contrari (Ᾱ) • Unió d’esdeveniments (A U B) • Intersecció d’esdeveniments (A ∩B) Curs 2013-14 URV

  3. Definició de probabilitat La probabilitat d’un esdeveniment A és el valor límit, quan repetim indefinidament un experiment, del quocient entre el nombre de vegades que es presenta l’esdeveniment A i el nombre de vegades que repetim l’experiment Curs 2013-14 URV

  4. Definició de probabilitat • Si repetim infinitament un experiment, la probabilitat de un esdeveniment A es la freqüència relativa de dit esdeveniment Curs 2013-14 URV

  5. Definició de probabilitat Curs 2013-14 URV

  6. Exemple • En una classe tenim 10 alumnes: • Una dona de 18 anys • Dos dones de 19 anys • Una dona de 20 anys • Una dona de 21 anys • Una dona de 24 anys • Un home de 18 anys • Un home de 19 anys • Un home de 20 anys • Un home de 27 anys Curs 2013-14 URV

  7. Exemple • Experiment: Triar a l’atzar un alumne de la classe • Espai Mostral: • Ω = { D18, D19, D20, D21, D24, H18, H19, H20, H27 } • Esdeveniment H: SerHome • A = {H18, H19, H20, H27 } • ATENCIO! No tots els resultats tenen la mateixa probabilitat de sortir. El resultat “D19” te el doble de probabilitat de que la resta de resultats. Curs 2013-14 URV

  8. Exemple • Quina es la probabilitat de ser home? • Esdeveniment H: Ser home. Nombre de casos que compleixen la característica H ---------------------------------------------------------------- Nombre de casos • P(H)= • P(H) = 4 / 10 = 0.4 Curs 2013-14 URV

  9. Exemple • Quina es la probabilitat de tindre entre 18 i 20 anys? • Esdeveniment B: Tindre entre 18 i 20 anys. Nombre de casos que compleixen la característica B ---------------------------------------------------------------- Nombre de casos • P(B)= • P(B) = 7 / 10 = 0.7 Curs 2013-14 URV

  10. Propietats de la probabilitat • P(Ω) = 1 • P(Ø) = 0 • 0 ≤ P(A) ≤ 1 • P(A) + P(Ᾱ) = 1 P(Ᾱ) = 1 – P(A) • P(A U B) = p(A) +P(B) - P(A ∩ B) Curs 2013-14 URV

  11. Si elegim un individu de la població, quina probabilitat hi ha que sigui dona? P(dona)=0’76 Quina és la probabilitat que escollit un individu a l’atzar d’aquesta població sigui home? P(home)= 1-0,76 = 0,24 Exemple: En una mostra de 1000 individus elegits a l’atzar entre una població de malalts d’osteoporosi,760 són dones Propietats de la probabilitat Curs 2013-14 URV

  12. Probabilitat condicionada S’anomena probabilitat deAcondicionada aB,al valor de la probabilitatdeAsabent quel’esdevenimentBja ha succeït: Curs 2013-14 URV

  13. Exemple: De la mostra anterior de 1000 malalts d’osteoporosi, tenim 270 fumadors dels quals 190 son dones. Probabilitat condicionada • Quina es la probabilitat de que un malalt sigui fumador si sabem que es dona? • P(fumar|dona) = P(dona ∩ fumar) / P(dona) = 0.19/0.76 = 0,25 • Quina es la probabilitat de que un malat fumador sigui dona? • P(dona|fumar) = P(dona ∩ fumar) / P(fumar) = 0.19/0.27 = 0,704 Curs 2013-14 URV

  14. Probabilitat condicionada • Dos esdeveniments A i B son independents si el fet de que es presenti un d’ells, no afecta a la probabilitat de que es presenti l’altre: • P(A|B) = P(A) • P(B|A) = P(B) • P(A ∩ B) = P(A) P(B) • Dos esdeveniments A i B son equiprobables si: • P(A) = P(B) • Dos esdeveniments A I B son incompatibles si: • P(A ∩ B) = 0 Curs 2013-14 URV

  15. A A B B Probabilitat condicionada P(A) = 0’25 P(B) = 0’10 P(A∩B) = 0’08 P(A) = 0’25 P(B) = 0’10 P(A∩B) = 0’10 Probabilitat de A sabent que ha succeït B? P(A|B)=1 P(A|B)=0’8 Curs 2013-14 URV

  16. A A B B Probabilitat condicionada P(A) = 0’25 P(B) = 0’10 P(A∩B) = 0’005 P(A) = 0’25 P(B) = 0’10 P(A∩B) = 0 Probabilitat de A sabent que ha succeït B? P(A|B)=0’05 P(A|B)=0 Curs 2013-14 URV

  17. Teorema de la probabilitat total Sigui A1, A2, A3, …, Ak, una partició del espai mostral Ω Ω B A1 A2 Ak Curs 2013-14 URV

  18. Teorema de Bayes El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment Ω B A1 A2 Ak Curs 2013-14 URV

  19. Exemple: Si en aquesta aula el 70% dels alumnes són dones, entre les dones el 10% són fumadores i entre els homes són fumadors el 20%. Teorema de Bayes P(D)=0’7 P(F|D)=0’1 P(F|H)=0’2 • Quin percentatge de fumadors hi ha en total? • P(F) = P(D) P(F|D) + P(H) P(F|H) = 0’1 x 0’7 + 0’2 x 0’3 = 0’13 = 13% • Si escollim un individu a l’atzar i resulta que és fumador. Quina és la probabilitat de que sigui un home? • P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0’2 x 0’3 / 0’13 = 0’46 = 46% Curs 2013-14 URV

  20. Expressió del problema en forma d‘arbre Fuma 0’1 Dona 0’7 0’9 No fuma P(F) = 0’7 x 0’1 + 0’3 x 0’2 = 0’13 Estudiant Fuma 0’2 0’3 P(H|F) = 0’3 x 0’2 / P(F) = 0’06 / 0’13 Home No fuma 0’8 Curs 2013-14 URV

More Related