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VALIDAÇÃO CRUZADA EM ANÁLISE BASEADA EM MODELO DE EFEITOS PRINCIPAIS ADITIVOS E INTERAÇÃO MULTIPLICATIVA (AMMI)

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VALIDAÇÃO CRUZADA EM ANÁLISE BASEADA EM MODELO DE EFEITOS PRINCIPAIS ADITIVOS E INTERAÇÃO MULTIPLICATIVA (AMMI). Carlos Tadeu dos Santos Dias. Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” / ESALQ / USP . Departamento de Ciências Exatas. Introdução. Interação Genótipo/Ambiente (GxE).

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VALIDAÇÃO CRUZADA EM ANÁLISE BASEADA EM MODELO DE EFEITOS PRINCIPAIS ADITIVOS E INTERAÇÃO MULTIPLICATIVA (AMMI)

Carlos Tadeu dos Santos Dias

Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” / ESALQ / USP

Departamento de Ciências Exatas

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Introdução

Interação Genótipo/Ambiente (GxE)

Adaptação específica de genótipos em ambientes

Métodos estatísticos tradicionais

  • -Análise conjunta de ensaios multiambientes
  • -Regressão linear simples e múltipla (Eberhart & Russel, 1966) – Não é informativa se a linearidade falha

Métodosmultivariados

  • -PCA (Análise de Componentes Principais)
  • -Análise de Agrupamento
  • -AMMI
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Procedimento AMMI

AMMI  ANOVA e PCA

Modela efeitos principais e interação de uma forma

sequencial

  • Efeitos principais
  •  são estimados usando mínimos quadrados
  • É conduzida via decomposição em valores singulares

(DVS) aplicado á matriz residual de interação.

  • PCA

Incorpora componentesaditivosemultiplicativosem uma

análise de mínimos quadrados integrada e poderosa

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Procedimento AMMI

Problema Geral

Número de componentes multiplicativos a ser retido no

modelo (com o objetivo de adequadamente explicar o

padrão na interação)

Propostas: Mandel (1961, 1969, 1971), Gollob (1968), Gauch &

Zobel (1988), Cornelius (1993), Piepho (1994 and 1995). Fisher e

Mackenzie (1923).Todas consideram a proporção de variância

acumulada pelos componentes.

Validação-Cruzada – como uma metodologiapreditiva.

Problema Específico

Otimizar o processo de validação cruzada

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Objetivo

Sumário do modelo AMMI

Sumário da metodologia disponível para selecionar

o número de componentes multiplicativos no modelo

Descrever dois métodos baseados no procedimento

leave-one-outque otimiza o processo de validação cruzada

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O modelo AMMI

Supor n genótipos em p ambientes com r repetições.

A média de cada combinação

modelada por

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O modelo AMMI

Estimativas:

 De uma ANOVA da matriz nYp

Os resíduos dessa matriz constituem a matriz de interação:

termos da interação multiplicativa

 DVS da matriz nGEp

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O modelo AMMI

os resíduos dessa matriz constituem a matriz do vetor

…singular

através do j-ésimo elemento do vetor singular associado

com k=1,2,…,s = min{n-1, p-1}, s é o posto de

GE. Se k varia até s o modelo produz um ajuste

exato aos dados. Consequentemente k varia até m

(m<s), e as estimativas são obtidas dos primeiros m

termos da DVS da matriz GE.

através do k-ésimo valor singular de GE

é um resíduo adicional.

slide10

O modelo AMMI

:é o i-ésimo elemento do autovetor de (GE)(GE)’ associado

com

:é o j-ésimo elemento do autovetor de (GE)’(GE) associado

com

(DVS)

Partição ortogonal

Correspondência entre DVS e PCA

:raiz quadrada do k-ésimo maior autovalor da matriz (GE) (GE)’

ou (GE)’(GE)

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O modelo AMMI

e

e

por quê?

Assim a interação do genótipo i com o ambiente j é descrito por

descartando o ruído dado por

fornece a proporção da variância devido a interação GxE no k-

ésimo componente.

representampesospara o genótipoie ambientej

naquele componente da interação, respectivamente.

devido GE ser por construção uma matriz de desvios centrada

na média e com média nula.

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Avaliação Preditiva Usando Validação Cruzada

Em geral, ao melhorista de plantas interessa predizer o

comportamento de um genótipo.

Critérios de avaliação:

POS-DICTIVO x Modelo PREDITIVO

(Ajustado-via teste F)

(Predições)

Para fazer Predições: Métodos que são essencialmente

data-based e livres de distribuições teóricas terão maior

generalidades

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Avaliação Preditiva Usando Validação Cruzada

Tais métodos envolvem reamostragem de um determinado conjunto

de dados, usando técnicas tais como jacknife, bootstrap e validação

cruzada (Avaliação preditiva)

y111

y112

y11r

y121

y12r etc.

(i) Dados para o ajustedo AMMI

Aleatoriamente

dividida em

dois subgrupos

(ii) Dados para

validação

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Avaliação Preditiva Usando Validação Cruzada

Root Mean Square

Predictive Difference

As respostas são preditas para uma família de modelos AMMI (’s m)

e esses são comparados com os respectivos dados de validação,

calculando as diferenças entre esses valores.

Assumimos que

dados = padrão + ruído

dados1 = padrão + ruído1

dados2 = padrão + ruído2

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Métodos “Leave-one-out”

no qual predizemos o valor de xij (i=1,…,n;j=1,…,p)

para cada possível escolha de m, e medir a discrepância

entre o valor atual e predito.

Para o que segue, queremos predizer o elemento xij da

matriz X por meio do modelo

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Métodos “Leave-one-out”

Entretanto, para evitar viés, o valor xij não deve ser usados nos

cálculos de . Assim, apelo a alguma forma de validação cruzada é

indicada.

Krzanowski (1982)

- O algoritmo para validação cruzada

Agora considere o preditor

Note: é feito o máximo uso dos outros elementos de X.

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Métodos “Leave-one-out”

Gabriel (2002)

- Toma uma mistura de regressão e aproximação de uma

matriz de posto-inferior como base para predição.

- O algoritmo para validação cruzada

  • Para uma matriz X (n x p), use a partição

e aproxime a submatriz

obtenha o resíduo da validação cruzada,

Então prediga x11 por

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Métodos “Leave-one-out”

(2)Similarmente, obtêm-se os valores ajustados

e os resíduos para todos outros

elementos, xij, i=1,…n;j=1,…,m;(i,j)(1,1). Cada

um irá requerer uma diferente partição de X.

(3) Esses resíduos e valores ajustados podem ser resumidos por PRESS(m)/np e

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Métodos “Leave-one-out”

Com cada método, a escolha de m pode ser baseada em

uma apropriada função de PRESS(m)/np.

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Métodos “Leave-one-out”

Krzanowski sugere o uso da estatística

Dm: número de GL required para ajustar o m-ésimo componente. Dm=n+p-2m

Dr: número de GL restante após ajustar o m-ésimo componente. D1=(n-1)p,

Dr=Dr-1-(n+p-(m-1)2), r=2,3,…,(n-1).

Wm: representa o incremento na informação preditiva fornecida pelo m-ésimo componente, dividido pela informação preditiva média em cada um dos componentes restantes.

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Exemplo ilustrativo

Tabela 1- Dados de vinte amostras solo e cinco variáveis

(Kendall, 1980, p.20, baseado em Krzanowski, 1988).

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Exemplo ilustrativo

Tabela 2 - Dados de quarenta afídeos e dezenove

variáveis (Jeffers, 1967, baseado em Krzanowski, 1987).

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Exemplo ilustrativo

Tabela 3 - Análise de efeitos principais aditivos e interação multiplicativa dos

dados de Hernández e Crossa (2000), para a análise dos cinco primeiros

componentes principal de interação (IPCA).

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Exemplo ilustrativo

Tabela 4- Dados (produção média de grãos) de um ensaio

de variedades de trigo oito genótipos testados durante seis

anos (1990-1995).

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Exemplo ilustrativo

Tabela 5- Análise de validação cruzada e métodos “leave-

one-out” para os dados Hernandéz e Crossa (2000).

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Discussão

Teste F distribucional indicou:dois componentes

Validação cruzada por aleatorização: três componentes

Leave-one-out:um componente

Como avaliar estas diferenças?

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Discussão

Métodos baseados no teste F dependem pesadamente das

suposições distribucional (normalidade dos dados e

validade das distribuições F para os quadrados médio) o

que pode não ser apropriado em muitos casos.

O teste F pode apresentar recomendações conflitantes

para um particular conjunto de dados.

O teste F seleciona muitos componentes de interação.

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Discussão

  • Parece que um método de validação cruzada baseado

em dados deve ser mais apropriado.

Validação cruzada por aleatorização tem uma grande

parte dos dados que fica fora do conjunto de validação.

 Métodos “Leave-one-out” faz o mais eficiente uso dos

dados e resulta em modelos mais parsimoniosos (AMMI 1)

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Referências bibliográficas

CORNELIUS, P.L. 1993. Statistical tests and retention of terms in the additive main effects and multiplicative interaction model for cultivar trials. Crop Sci. 33:1186–1193

EBERHART, S.A.; RUSSELL, W.A. Stability parameters for comparing varieties. Crop Science,v.6, n.1, p.36-40, 1966

FISHER, R.A. and MACKENZIE,W.A. (1923). The manurial response of different potato varieties. Journal of Agricultural Science, xiii. 311-320

GAUCH J´UNIOR, H.G.; ZOBEL, R.W. Predictive ans postdictive sucess of statistical analysis of yield trials. Theoretical and Applied Genetics, New York, v.76, p.1-10, 1988

MANDEL, J. Non-additivity in two-way analysis of variance. Journal of the American Statistical Association, v.56, p.878-888, 1961

MANDEL, J. The partitioning of interactions in analysis of variance. Journal of Research of the National Bureau of Standards , Series B, Washington, v.73, p.309-328, 1969

MANDEL, J. A new analysis of variance model for non-adittive data. Technometrics, Alexandria,

v.13, n.1, p.1-18, 1971

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PIEPHO, H.P. 1994. Best linear unbiased prediction (BLUP) for regional yield trials: a comparison to additive main effects and multiplicative interaction (AMMI) analysis. Theor. Appl. Genet. 89:647–654

PIEPHO, H.P. 1995. Robustness of statistical test for multiplicativeterms in additive main effects and multiplicativeinteraction model for cultivar trial. Theor. Appl. Genet. 90:438–443