第七章现代证券组合理论

第七章现代证券组合理论 一、现代证券组合理论的产生与内容 1、现代证券组合理论的产生该理论产生于1952年，以马柯威茨在金融学杂志上的一篇题为《证券组合选择》的论文为标志。它主要是解决不确定型环境下的投资决策问题。 2、内容（1）马柯威茨的均值方差模型。在一系列严格假设的基础上，以证券或证券组合的期望收益率表示其收益，期望收益率的方差来衡量其风险，通过建立一个二次规划模型求解有效证券组合，并根据投资者的无差异曲线确定投资者最满意证券组合的方法。（2）资本资产定价模型(CAPM)。是研究期望收益与风险之间关系的模型，其主要包括：资本市场线、证券市场线、特征线模型以及分散化投资等。（3）套利定价理论(APT) 主要内容有：单因素模型、多因素模型、无风险套利、套利组合以及套利定价方程等。

二、马柯威茨的证券组合理论 （一）、马柯威茨的均值方差模型 1、马柯威茨问题若你有100万元，可购买股票、债券、外汇、商品期货或储蓄等进行投资，设投资期限为一年。问：在投资期初，你应购买哪些股票、债券（证券），每种证券购买量应为多少（各种证券的投资比例是多少），才能使一年投资的总收益？这个问题称为马柯威茨问题。确定型决策和不确定型决策。在不确定型决策的环境中，投资者不但希望投资收益最大化，还要求投资风险最小化，其决策应该实现两个相互制约的目标之间的某种平衡。不确定型环境下的投资决策一般是多目标决策。马柯威茨问题的核心：是确定最佳的投资比例以实现投资目标。基本思想：将鸡旦放在不同的篮子里。

2、模型构造的基本原则与基本假设 （1）基本原则： “期望收益”最大化和投资风险最小化。要同时实现这两个目标的最优化是不现实的（往往是同方向变化的），此时，最好的决策应该是使这两个相互制约的目标达到某种最佳的平衡。 • 在保证一定期望收益的前提下，使得证券组合的投资风险最小； • 在保证一定投资风险的前提下，使得证券组合的期望收益最大；（2）基本假设 • 证券市场是有效的，每个投资者都掌握充分的信息，了解每种证券的期望收益率及其方差； • 每种证券的收益率都服从正态分布，风险可以用收益率的方差表示，收益用期望收益率表示； • 投资者是风险避免型的，其投资目的是在既定风险水平上使收益最大或在既定收益上使风险最小。

3、证券投资的收益 （1）证券投资的实现收益证券投资收益可以分为两类，一类为已实现的收益，是指在过去的投资期间实现的收益；一类为预期收益，是指未来投资期间可能实现的收益。（2）证券投资收益的一般计算公式（3）资产组合的收益率

（4）、证券投资的预期收益 • 单一证券投资的预期（期望）收益计算公式：期望收益率的估计公式例：青鸟华光（SH600076），2004.12.7－2005.12.7， 12个月的收益率分别为（%）：1.3，-3.8，-3.2，-2.1，6.9，-3.7，-11，2.3，9.5，-5.5，-5.8，-12.7，则期望收益率的估计值为： -2.31667 G 永鼎（SH600105），2004.12.7－2005.12.7， 12个月的收益率分别为（%）：2.5，-1.8，5.9，6，-0.5，-0.1，-7.1，3.6，-0.1，-0.5，4.4，-3.1 则期望收益率的估计值为： 0.766667

证券组合投资的预期收益 证券组合投资的预期收益证券资产组合预期收益率的估计公式：例：假定证券组合由证券A、B、C组成，证券A、B、C的期望收益率分别为：25%，20%，30%，A、B、C的投资比例分别为：30%，30%，40%，则证券组合的期望收益率为：如上例，青鸟华光与G 永鼎的组合，设投资比例分别40%和60%，则组合的期望收益率为：

4、证券投资的风险 （1）证券投资风险的基本含义风险是与损失的不确定性联系在一起的。经济学、决策学、统计学、金融保险学中尚无统一的定义。一般认为，证券投资风险是指由于证券价格的波动，造成投资收益率的不确定性或易变性，这种易变性可用收益率的方差或标准差度量。（2）风险的特征风险的客观性、时限性、多面性、可测定性、潜在性、相对性以及损失和收益的对立统一性。（3）证券投资风险的分类 • 按证券投资风险的来源分类：主观风险和客观风险、市场风险与经营风险、购买力风险、流通风险、违约风险、利率和汇率风险等。 • 按证券投资风险的性质分类：系统风险（可分散的风险）和非系统风险（不可分散的风险）

（4）、单一证券投资风险的度量 • 单一证券投资风险的计算风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映。在数学上，这种偏离程度由收益率的方差或标准差度量。计算公式：

例假定证券A的收益率的概率分布如下：该证券的期望收益率为：该证券的方差为：标准差为：

单一证券投资风险的估计 与期望收益的估计相同，在实际中我们可使用历史数据来估计方差。方差的无偏估计公式为：当n较大时，可使用下述公式估计方差如上例中，青鸟华光与G 永鼎的标准差分别为6.532413、和3.88595。青鸟华光的计算为：

（5）、证券组合投资风险的度量 一个证券组合由一定数量的单一证券构成，每一只证券占有一定的比例，我们也可将证券组合视为一只证券，这样，证券组合的风险也可用方差来计量。不过，证券组合的方差可以通过由其构成的单一证券的方差来表达。 • 两种证券组合的风险设有两种证券A和B，某投资者将一笔资金以Xa的比例投资于证券A，以Xb的比例投资于证券B，则该投资者拥有一个由证券A和B组成的证券组合P。则证券组合P的收益率为: 证券组合中的权数可以为负，比如Xa ＜0，则表示该组合卖空了证券A，并将所得的资金连同自有资金买入证券B. 也为投资组合P的收益率随机变量。

投资组合P的收益率方差为: • 相关系数大(小)于0，称两个证券为正（负）相关关系。相关系数衡量了两个证券收益率的相互影响，符号表示影响的方向，大小计量了影响的程度。 • 由相关系数的定义得： • ① ，表明证券A、B收益率完全相关，之间存在确定的线形关系。（完全正相关、完全负相关） • ② ，表明证券A、B收益率不完全相关，之间存在一种线形回归关系（正相关与负相关）。 • ③ ，表明证券A、B收益率不相关，即之间不存在相关关系。

例如：青鸟华光与G 永鼎组合的标准差计算 • 相关系数：0.354092（在excel上面直接计算） • 设青鸟华光与G 永鼎组合的投资比例为40%和60%，则组合的标准差为：4.07

多种证券组合的收益和风险 根据上述思路，可以将两个证券的组合拓展到任意多个证券的情形。证券组合P的收益率为：证券组合P的方差为：证券组合的风险与各证券的风险关系比较复杂，除了与各证券的风险、各证券的加权系数有关以外，还与证券之间的相关性有很大的关系，相关系数的大小和正负，直接影响着组合证券的风险。因此，证券之间的相关性是进行组合时要考虑的、十分重要的因素。当参与组合的证券超过两个时，就必须考虑证券两两之间的相关性。

5、马柯威茨的均值方差模型 （1）马柯威茨均值方差模型 • 第一类均值方差模型根据构造模型的原则1, 即在保证一定期望收益的前提下，使得证券组合的投资风险最小，可构造如下的均值方差模型，称为第一类均值方差模型（二次规划模型）。

第二类均值方差模型 根据构造模型的原则2，即在承担一定投资风险的前提下，使得证券组合的期望收益最大的，可构造如下的均值方差模型，称为第二类均值方差模型。

例例：设有三只股票A(青鸟华光)、B（G 永鼎）、C（绵阳高新），其期望收益率分别为：EA=-2.32%, EB=0.77%, EC=0.88%,收益率之间的协方差矩阵如下：对角线证券A、B、C的方差，这样有：设A、B、C的权重分别为X1,X2,X3则有： St.

（2）求解思路 马柯威茨均值方差模型的求解主要有两种方法，一种是图解方法，一种是解析方法。解析方法是应用数学规划的方法通过求解二次规划模型求出最优证券组合，是实际操作中应用的主要方法，但该方法过于公式化，不能告诉我们投资组合的一些本质特征，对我们深入理解证券组合的实质帮助不大；图解方法尽管求解烦琐，但可以告诉我们投资组合的一些本质特征，对我们深入理解证券组合的实质具有重要的帮助。本书主要讨论图解方法，对解析方法，也作适当介绍。马柯威茨均值方差模型求解的思路是：（1）根据约束条件，找出所有可行的证券组合，即求出证券组合的可行域；（2）根据目标函数，在证券组合的可行域中找出最优的证券组合。

（二）证券投资组合的可行域 1、证券组合的图示方法假设证券投资的收益率服从正态分布，这样，一个证券可以用正态分布的两个特征值：期望收益率和方差(或标准差)来描述。构造一个以方差(或标准差)为横坐标、期望收益率为纵坐标的坐标系，则一个证券就可用坐标系上的一点A表示。证券组合相当于一种新的证券，同样可用坐标系上的一点P表示。

证券组合的图示方法 P A

2、两种证券投资组合的可行域—结合线 如果一个证券组合是由证券A和B组成，其轨迹将是经过A和B的一条连续曲线，这条曲线称为证券A和证券B的组合线，也称为两种证券投资组合的可行域。（1）两种证券组合的期望收益与方差期望收益率：方差（风险）确定两种证券组合P的结合线的基本方程：

2、两种证券组合的结合线 给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A与证券B的关联系数决定A、B的不同形状的组合线。（1）完全正相关下的组合线在完全正相关下，两种证券组合P的结合线的基本方程，变为: 分段线性的关系。①若假定不允许卖空，即：解上述方程组，得：因此，由证券A与证券B构成的组合线是连接A、B两点间的直线。

A B F 两证券的结合线 E(r) 组合方程当时

令风险 ，可得到最小风险点，此时将得到一个无风险收益率。在证券A、B完全正相关下，我们总可以选择得到一个无风险，且收益率恒定的组合。从权重系数看，一个为正，一个为负，这说明，当证券A、B完全正相关时，可通过卖空一种证券，使得它们成为完全反向的证券，从而通过组合完全抵消风险，而且总是卖空方差大的证券。这是利用期货合约进行套期保值的理论基础，因为，期货价格与标的物现货价格几乎可以认为是完全正相关。

（2）完全负相关情况下的组合线 在完全负相关情况下，也是分段线性的。按适当比例买入证券A和证券B可以形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。这个适当比例通过令sP＝0得到：因为，所以按上述比例同时买入证券A和B。这一点很容易理解，因为证券A和B完全负相关，二者完全反向变化，因而同时买入两种证券可抵消风险。所能得到的无风险收益率为

两证券的结合线

（3）不相关情形下的组合线 当证券A与B的收益率不相关时，是一条经过A、B两点的双曲线。我们不可能通过证券A、B的适当组合构成一个无风险的证券组合。为了得到方差最小的证券组合，令最小风险为：可以通过按适当比例买入两种证券，获得比两种证券中任何一种风险都小的证券组合。

两证券的结合线p=0

（4）不完全相关情况下的组合线(一般情况)

（5）一类特殊情况——无风险证券与风险证券的组合线（5）一类特殊情况——无风险证券与风险证券的组合线组合方程 A F

实例以四川长虹（600839）和青岛海尔（600690）的组合为例。时间段为1994年3月至2004年6月，共124个数据。四川长虹和青岛海尔年期望收益率分别为13.03%和8.69%，年收益率的样本标准差分别为：1.2895和0.8937。四川长虹和青岛海尔的样本协方差矩阵为：两者之间的相关系数为：0.7315，即两种证券正相关。 • SCCH的组合比例：x=[0%，5%，10%，…，100%] • QDHE的组合比例：1-x=[100%，95%，90%，…，0%] 组合的预期收益率：组合的标准差

组合 [x，1-x]的预期收益率： [0.0869 0.0891 0.0913 0.0934 0.0956 0.0978 0.0999 0.1021 0.1043 0.1064 0.1086 0.1108 0.1129 0.1151 0.1173 0.1194 0.1216 0.1238 0.1259 0.1281 0.1303] 组合 [x，1-x]的标准差： [0.8937 0.8972 0.9029 0.9107 0.9205 0.9323 0.9461 0.9616 0.9789 0.9978 1.0183 1.0402 1.0635 1.0881 1.1139 1.1408 1.1687 1.1977 1.2275 1.2581 1.2895]

return(%) 100%foreign 13 11 50%U.S.+50%foreign 10 70%U.S.+30%foreign 100%U.S. risk(%) 8 13 8 9 Risk-return trade-off（1976—1999）

3、多种证券组合的可行域 （1）三种证券组合的可行域 • 不允许卖空时三种证券组合的可行域 • 允许卖空时三种证券组合的可行域

（2）多种证券组合的可行域 从理论上讲，可行域可用如下方程组求出： • 可行组合可行组合指满足上述方程组的所有组合，它对应于上图可行区域上的一点； • 证券组合的可行域可行域指所有可行组合的集合，它填满了坐标系中的一个区域，此区域则由上述方程组确定，其基本形状为蛋壳形。可行域的形状依赖于可供选择的单个证券的特征及收益率之间的相关性，同时也依赖于投资组合中权数以及权数的约束。

多种证券组合的可行域

（3）可行域的类型

4、可行域的特点 所有的可行域均有一个共同的特点：左边缘必然向外凸或呈线性，即不会出现凹陷。

三、有效组合与有效边界 （一）投资者的共同偏好大多数投资者普遍喜好期望收益而厌恶风险的，因而人们在投资决策时希望期望收益越大越好，风险越小越好。这种态度反映在证券组合的选择上可由下述规则来描述：1、如果两种证券组合具有相同的收益率标准差，和不同的期望收益率，那么投资者选择期望收益率高的一种组合；2、如果两种证券组合具有相同的期望收益率和不同的收益率标准差，那么他就选择标准差较小的那种组合；3、如果一种证券组合比另一种证券组合具有较小的标准差和较高的期望收益率，则他选择前一种组合。

投资者的共同偏好规则 图

二、有效证券组合与有效边界 1、有效证券组合按照共同偏好规则，排除那些被所有投资者都认为“坏”的组合，余下的便是共同偏好不能区分好坏的组合，这些组合称为有效证券组合，那些被排除的“坏”的组合称为无效组合。 2、有效边界有效组合不止一个，描述在可行域的图形中，它是可行域的上边缘部分，称之为有效边界。对于可行域内部及下边缘上的任意可行组合，均可以在有效边缘上找到一个有效组合比它好。但有效边缘上的不同组合，按共同偏好规则则不能区分好坏。因而有效组合相当于有可能被某位投资者选作最佳组合的候选组合，不同投资者可以在有效边缘上获得任何位置。A点是一个特殊的位置，它是上边缘和下边缘的交汇点，这一点所代表的组合在所有可行组合中方差最小，因而被称作最小方差组合。

有效边界示意图

3、有效边界的类型 下图是几种典型的有效边界。由于有效边界是可行域的一部分，因而，它一定是向外凸的(不会有凹陷)，并允许有线性部分，

4、有效边界的性质 有效边界具有很多好的性质，这些性质的证明较为复杂，这里仅给出相应的结论。（1）两个有效组合的再组合还是有效组合。（2）所有有效组合可视为最小方差组合与任意一个有效组合的组合，因而有效边界可视为两个有效组合的结合线。这个性质告诉我们，在允许卖空的情况下，如果我们能够确定最小方差组合MVP及任意一个有效组合，即可以得到所有的有效组合。（3）有效边缘是一条抛物线。

三、有效证券组合与有效边界的求解—马柯威茨均值方差模型的求解三、有效证券组合与有效边界的求解—马柯威茨均值方差模型的求解确定有效边缘的方法有很多，但可以归纳为两类方法，一类方法为图解法，一类为解析法，它们最终都可以归结为一个优化问题。用图解法求解有效边界是基于这样一种思路，确定左边缘，左边缘的顶部即为有效边缘。左边缘上任何一点均对应于某个给定期望收益下的最小方差组合，因而也称左边缘为最小方差集合。图形方法只能在三种证券组合的情况下进行，对于一般的情况，解法上与之完全一样，只不过无法在图形上表示出来。再者，这种方法主要依赖数值计算，不能提供解的解析式，不利于对有效边缘的性质进行揭示。这里主要介绍在不允许卖空时有效边界确定的一般方法是二次规划法。

有效边界确定的一般方法—二次规划法。 在不允许卖空情况下的马柯威茨均值方差模型为：这是一个约束条件为线性，且含有不等式的二次规划模型。求解二次规划模型的基本思路是：首先应用塔克—库恩条件将该模型转化为线性规划，然后线性规划方法求出最优解。二次规划模型的求解在运筹学中已有成熟的方法，而且有现成的程序，只要将有关数据代入，即可很快求出最优解。

例（有现成的程序） 有12只股票，取期望收益率从-1.82%开始，每次递增0.0011, 到3.71%为止，共51个点，用于计算有效边界。每取一个，应用马柯威茨均值方差模型可计算一个最小标准差，得到坐标系上的一点，当取遍51个点，可得到一条坐标系上的一条曲线，进而得到有效边界。股票名称：青鸟华光、国能集团、清华同方、G 永鼎、中国卫星、宏图高科、绵阳高新、大唐电信、方正科技、上海科技、G 金陵、飞乐股份时间：2004.4.7－2005.12.7，共20个月收益率数据

四、最满意证券组合的选择与马柯威茨模型的应用四、最满意证券组合的选择与马柯威茨模型的应用（一）投资者的个人偏好与期望效用函数无差异曲线投资组合的可行域列出了所有可行的证券组合，它给出了所有可供选择的方案。投资者如何选取自己最满意的投资方案呢？这涉及到投资者的个人偏好，偏好不同，方案的选择也不同，因为，对同一个证券组合，有的投资者认为是最满意的，而对另一个投资者则认为不是最满意的。所以我们首先介绍投资者的个人偏好—效用分析与无差异曲线。 1、效用与效用函数（1）效用：是用于反映人们对财富的满意程度或精神感受，如你购买一件商品后的满意程度；一般用效用值表示。（2）证券组合效用：指投资者对一定证券组合的收益所产生的心理效应（或满意程度），

（3）效用函数 效用函数指效用值随后果值变化的函数关系。证券组合的效用函数指证券组合的效用与证券收益率之间的对应关系。效用函数有线性、二次型、指数型等多种形式（4）期望效用函数由于证券收益率的不确定性，证券组合的效用值也是不确定的；这时可用效用的期望值度量效用的平均水平。其计算公式为：

第七章 现代证券组合理论