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第二章 含消费者最优的经济增长模型

第二章 含消费者最优的经济增长模型. 上篇 拉姆齐 — 卡斯 — 库普曼斯的无限期界模型. 2.1 有关假定 2.1.1 关于厂商的假定 2.1.2 关于家户的假定 家庭的目标函数为 假定即期效用函数为相对风险规避系数不变型. θ 是相对风险规避系数，它是边际效用的消费弹性 ，是消费的跨期替代弹性的倒数。

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第二章 含消费者最优的经济增长模型

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  1. 第二章 含消费者最优的经济增长模型

  2. 上篇 拉姆齐—卡斯—库普曼斯的无限期界模型 • 2.1 有关假定 • 2.1.1 关于厂商的假定 • 2.1.2 关于家户的假定 家庭的目标函数为 假定即期效用函数为相对风险规避系数不变型

  3. θ是相对风险规避系数，它是边际效用的消费弹性 ，是消费的跨期替代弹性的倒数。 • θ越小，随C的增加，MU下降越慢，家庭越愿意让其消费随时间变动。当θ=0时，效用成C的线性函数，家庭愿意让消费发生大的波动。如θ<1， 随C递增，如θ>1， 随C递减，MU将成负数，用 去除 保证了边际效用为正。当 时，即期效用函数成 lnC。

  4. 2.2 家庭和厂商行为 • 2.2.1 厂商行为 • 厂商雇佣资本和劳动，支付劳动和资本的边际产品，市场完全竞争，无利润。由于不考虑折旧，资本收益率 等于实际利率 ，即 • t时的实际工资W（t）为 • 式中，W为单位劳动工资，用A去除（2.4）两边，得单位有效劳动工资

  5. 2.2.2 家庭预算限制 • 在r和w给定条件下，家庭预算限制为：其一生消费现值不能超过初始财富加一生劳动收入现值，即 • 将（2.6）所有项移至右边，并将积分合并，得 • 再将（2.7）写成极限形式

  6. 家庭在时期S拥有的资本(财富)为 • 用 去除（2.9）两边，得（2.8）式中括号中各项 • 2.2.3 家庭极大化问题 • 将人均消费C改写成密集形式，（2.2）式成为

  7. 将（2.11）式代入目标函数（2.1）和（2.2），并利用 ，可得

  8. 2.2.4 家庭行为 • 家庭在（2.14）的预算约束下先择c(t)以使（2.12）的目标函数极大。该问题的拉格朗日函数为： • 就该函数对c(t)求一阶条件并令其为零。得

  9. 为了了解（2.17）式的含义，对两边求对数得：为了了解（2.17）式的含义，对两边求对数得： • （2.18）两边对（t）求导必然相等：

  10. （2.20）中的 为单位有效劳动消费增长率，而人均消费 C(t)=c(t)A(t) ，即人均消费增长率等于 加A的增长率(g)，即 ，人均消费按 增长。 • （2.20）表示，当实际收益率（r）大于贴现率ρ时，人均消费增加，反之则减少。

  11. 2.3 经济的动态 • 2.3.1 c的动态 • 当 。令 k*为 时k 的水平。当 k>k* 时，f '(k)小于ρ+θg，因 而 为负；当 k<k* 时， 为正。 图2.1反映了这一点。 • 2.3.2 k的动态

  12. 当 c=f(k)-(n+g)k 时， ，但 或 k=k*不一定意味该 k 是黄金律资本存量。 • 2.3.3 相位图 • 在E点， 和 均为零，没有偏离此点的运动。还有2处 c 和k 是不变的。一个是原点，经济开始时如没有资本，没有消费，经济将保持在那里。另一个是=0 与横轴的交点。这里，C=0 ，产量全被用来维持高水平资本存量，即f(k)=(n+g)k。 • 图2.3中的 小于黄金律 k 值。 • 2.3.4 c 的初始值 • 图2.3描述了给定的初始的c和k，二者满足最

  13. 优化条件的动态。但并非所有c和k的初始值都能向稳定点和均衡点运行。假定k（0）小于k*。图2.4给出了c(0)处于不同位置时c和k的轨迹。优化条件的动态。但并非所有c和k的初始值都能向稳定点和均衡点运行。假定k（0）小于k*。图2.4给出了c(0)处于不同位置时c和k的轨迹。 • 由于 和 为 的连续函数，因此总能找到一个临界点，使 c(0)在该点时，经济向稳定点E 收敛。 • 2.3.5 鞍点路径 • 对任一给定的k，都存在一个唯一的c的初始值，该值满足家庭跨期最优、资本存量动态学、家庭预算约束和横载性条件。将这一c表示为k的函数得鞍点路径。对任一k 的初始值，c必是位于鞍点路径上的初始值，经济沿鞍点路径向E点运行。

  14. 2.4 平衡增长路径 • 2.4.1 平衡增长路径特性 • 经济一旦收敛于E点，其运行就与平衡增长路径上的索洛经济相同。因此，索洛模型关于技术进步是经济增长主要驱动力的结论不依赖于储蓄率是外生常数的假定。 • 2.4.2 平衡增长路径与黄金律资本存量 • 索洛模型与R-C-K模型的一个主要区别是，对于后者，资本存量高于黄金律资本存量的平衡增长路径是不可能的。 • R-C-K模型中的k*低于黄金律资本存量表明，经济并不收敛于最大 c 水平的平衡增长路径。这一k称为“经修正的黄金律资本存量”。

  15. 2.5 贴现率下降的影响 • 2.5.1 质的影响 • 预期外的贴现率下降最初使消费下降，此后沿新的鞍径向稳态收敛。新的稳态的消费高于原来（图2.6）。 • 该效应类似于索洛模型中资本存量低于黄金率时储蓄率提高的影响。 • 2.5.2 调整速度和鞍径斜率 • 对（2.23）和（2.24）线性化有助于了解调整速度和鞍径斜率。

  16. （2.23）和（2.24）的一阶泰勒级数近似为： • （2.25）和（2.26）也可写作： • 利用（2.23）可将（2.27）写作：

  17. 利用（2.24）可将（2.28）写作： • （2.29）和（2.30）也可写作 • （2.31）和（2.32）意味着 的增长率取决于二者的比率。如二者以相同速度下降，则比率不变，它们的增长率因此也不变。

  18. 令 ，由（2.31）得： • 由（2.32）可得： • μ的解为

  19. μ有一正一负2个根。令μ1<0，μ2>0。根为正，对稳态的偏离将加大，为负则向稳态收敛，μ1表示收敛速度。当μ为负时，由于 ，在（k，c）座标中（2.33）的斜率为正，是一条向上倾斜的直线（AA，图2.7） ，反之是一条向下倾斜的直线（BB）。经济不可能处于BB上，无论资本趋于负数或无穷都违反最优原则。 • 因此在时点0， c必须满足（2.33），即在 路径上，然后c 和k按μ1速度向稳态值收敛，即

  20. 2.5.3 收敛速度 • 对于科-道生产函数，收敛速度为： • 或

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