§4-3 用状态反馈进行解耦控制

1. §4-3 用状态反馈进行解耦控制 (4-32) 一、解耦问题的提法 1.解耦系统的定义 系统动态方程为 这里A、B、C分别为n×n、n×p、p×n的矩阵。由于p=q，这是一个方阵解耦问题。 系统的传递函数矩阵为

2. 定义 若(A,B,C) 的传函阵G(s)p=q是对角形非奇异矩阵，则称系统(4-32)是解耦的。

3. 例：考虑如下系统： 系统被完全解耦了。由于此时只需要解决单变量系统的控制问题，简化了控制律的设计。

4. 多变量控制系统的解耦问题是多变量系统控制律设计中的主要问题之一。考虑如下简单的2×2系统：多变量控制系统的解耦问题是多变量系统控制律设计中的主要问题之一。考虑如下简单的2×2系统： 由于控制间的耦合作用，要使每一个通道都能够稳定并有满意的动态性能，控制律的设计显然要比单变量系统时来得困难。

5. 2.状态反馈控制律： • p=q，即方解耦问题； • 状态反馈控制律为 • u=Kx+Hv (H为非奇异阵) (4-34)

6. 包括输入变换的状态反馈系统

7. 因此，对上述状态反馈控制律 u=Kx+Hv (H为非奇异阵) (4-34)

8. 3. 解耦问题的提法： 找出矩阵K、H，使 为对角、非奇异阵：

9. 本节的基本内容： • 预备引理； • 可解耦的充要条件: 定理4-10，积分器解耦系统； • 一种解耦控制律: 定理4-11。

10. 二、 预备引理 1. 引理 1. 开、闭环传递函数矩阵的关系 : 证明：经冗长的代数运算即可证明(习题课讲），略。

11. 2. 非负整数di 及非零向量 Ei 记C的第i行为ci；G(s)的第i 行为Gi (s)，即 可将Gi (s)表示成

12. 则我们得到了一个非负整数 di 0 di事实上是上式中由左向右s负幂次系数是零的项的个数，它等价于使

13. (4-39) 以上分析表明，对两种表达方式：G(s)和(A,B,C)，我们均可以求得di 和 Ei。

14. 例题1给定如下的G(s)，试计算 di 和 Ei 解 d1 =min{1,2}1=0 , d2 =min{2,2}1=1

16. 例题4-5a系统方程为 @p33 试计算di 和 Ei 解c1B=[1 0], d1 =0; E1=[1 0] c2B=[0 1], d2=0; E2=[0 1]

17. 3. 开、闭环传递函数阵 引入非负整数 di 及非零行向量Ei后， 记 开环传递函数阵的第i 行可以表示为下式：

19. 开环传递函数阵可以表示为: @p21

20. 再利用 (4-37)式:

21. (S-2)@p19 (S-1) 或 可将闭环传递函数阵表为：

22. 按照非负整数di及非零向量Ei的定义，我们可以得到闭环传函阵所对应的 , 。注意到

23. 我们有

24. 由k=0、1,…..,依次证明即可。

25. 这里，

26. 三、系统可解耦的充要条件 (4-32) 定理4-9系统 可用反馈u=Kx+Hv 进行解耦的充分必要条件是(4-42) 式定义的E为非奇异阵，即 非奇异。

27. 证明：必要性 。只要证明E非奇异就可以了。 若系统可用状态反馈u=Kx+Hv解耦，于是Gf(s) 对角且非奇异：

28. 故有 是对角的； 又因为 是非零向量， 因此有 非奇异。但 ，故知E非奇异。

29. 充分性:将 K=E1F , H=E1 代入(S-2)可得 K=E1F H=E1

30. (4-49)

31. 注：定理的充分性证明实际上给出了使系统的解耦的反馈信号u=Kx+Hv，其中：注：定理的充分性证明实际上给出了使系统的解耦的反馈信号u=Kx+Hv，其中： K=E1F , H=E1 由上式可知，闭环传函阵的McMillan阶为 如果 且原系统可控、可观测，因采用状态反馈不改变可控性，这时闭环动态方程是不可观的。说明这一解耦的状态反馈改变了系统的可观测性。

32. 本节介绍的解耦方式，由于其对角元都是积分器，故被称为积分器解耦系统。它不满足稳定性要求。故在实际中不能使用。但是在理论上，它提供了可解耦系统的一种中间形式，可供进一步研究解耦问题时使用。

33. 于是，根据定理4-9，只需要计算： K= E1F , H=E1 , 其中， 例题4-5将例题4-5a中的系统化为积分器解耦系统。 我们已经计算出 di 和 Ei如下@p16： c1B=[1 0], d1 =0; E1=[1 0] c2B=[0 1], d2=0; E2=[0 1]

34. K= E1F , H=E1 , 其中， 根据例题4-5a的计算可知E是单位阵，故系统可解耦。现采用定理4-9充分性证明中提供的(4-47)式将其化为积分器解耦系统。 计算F阵, F1=c1A=[0 0 1], F2=c2A=[–1 –2 –3], 故得 由此求得

35. 故反馈控制律 闭环系统动态方程为 闭环系统的传递函数矩阵 反馈前系统可控可观，而闭环系统不可观测。这一解耦的状态反馈改变了系统的可观测性。

36. 如前所述，积分器解耦系统是不稳定的，未能解决解耦后的极点配置问题，需在此基础上进一步改善控制律。这一问题由于比较复杂，相关讨论在此省略了，可参考何关钰《线性控制系统理论》中的相关内容或国内外文献。如前所述，积分器解耦系统是不稳定的，未能解决解耦后的极点配置问题，需在此基础上进一步改善控制律。这一问题由于比较复杂，相关讨论在此省略了，可参考何关钰《线性控制系统理论》中的相关内容或国内外文献。 下面介绍一种简单的解耦控制律设计方法。

37. 四. 一种解耦控制律 定理4-10:若系统可用状态反馈解耦，且 则采用状态反馈

38. 可以将闭环传函矩阵化为 其中kij是可调参数，可用来对闭环传递函数矩阵的对角元进行极点配置。由上式可知Gf(s)的McMillan阶为n，说明这时解耦状态反馈律未改变系统的可观测性。

39. 证明：可用状态反馈解耦，故E非奇异。考虑关系式：证明：可用状态反馈解耦，故E非奇异。考虑关系式： 将H=E1和K= E1 D 代入上式，有 于是只要证明 即可。进而，只要证明

41. 分以下步骤证明：

42. 5）结合式(A.1)(A.4)，有 证完。

43. 例题系统动态方程为 问可否用状态反馈律 u=Kx+Hv, 将闭环传递函数阵变为 如有可能，求出K和H。

44. 解 c1B=[0 1], d1=0; c2B=[0 0], c2AB=[2 1], d2=1, d1+d2 +p=0+1+2=3=n 于是，状态反馈律中的矩阵可选为

45. 系统可用 u=Kx+Hv解耦； 需要探索采用别的手段解耦； 且 则可用定理4-10实现解耦,并且对角元传递函数的极点可任意设置； 个模态不可观，这些模态的属性(稳定与否)就需进一步研究。若系统解耦的同时一定导致某一被消去的模态不在严格左半平面，则称闭环解耦与稳定相矛盾。 五、方解耦问题 ( p=q)小结 3. 若系统可用 u=Kx+Hv解耦,

46. 解耦问题研究的是输入输出间的关系，是多变量系统独有的问题。在多变量系统的设计中，解耦是控制律设计最常用的选择。当然也存在其它多变量系统的非解耦控制方式。解耦问题研究的是输入输出间的关系，是多变量系统独有的问题。在多变量系统的设计中，解耦是控制律设计最常用的选择。当然也存在其它多变量系统的非解耦控制方式。 总的说来，一个系统是否可通过状态反馈解耦取决于系统的结构及模型与实际对象之间的吻合程度。若数学模型的参数具有不确定性，不采用参数辨识，要完全解耦似乎不太可能。 30年代就已开展解耦问题研究，例如按干扰补偿的法则。 1964年, Morgan 给出了状态空间语言描述后, 获得了重大发展。因此解耦问题又称为Morgan 问题，是线性（非线性）系统设计中最具挑战性的问题之一。

47. B.S. Morgon, The synthesis of linear multivariable systems by state variable feedback, IEEE Trans. Automat.Contr., 1964, Vol.9, 405-411 • P.L. Falb, and W.A.Wolovinch, Decoupling in the design and synthesis of multivariable control systems, IEEE Trans. Automat. Contr., 1970.12, 651-659 • 多变量自适应解耦控制及应用 柴天佑，科学出版社，2001 • T.Y. Chai, A self-tuning decoupling controller for a class of multivariable systems, and global convergence analysis, IEEE Trans. Automat contr., 1988,Vol.33.No.8, 767-771