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Sommatorie. Proprietà Serie aritmetica Serie geometrica Serie armonica Serie telescopica. Sommatorie.

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Presentation Transcript
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Sommatorie

  • Proprietà
  • Serie aritmetica
  • Serie geometrica
  • Serie armonica
  • Serie telescopica
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Sommatorie

Quando un algoritmo contiene un costrutto di controllo iterativo come un ciclo while o for, il suo tempo di esecuzione può essere espresso come la somma dei tempi impiegati per ogni esecuzione del corpo del ciclo.

Data una sequenza di numeri a1, a2, …… la somma finita a1+ a2+ …. + an può essere scritta nel seguete modo:

Se n=0, il valore della sommatoria è 0 per definizione.

Se n non è un intero si assume per definizione che il limite superiore sia n

Se la somma comincia con k=x, dove x non è un intero, si assume che il valore iniziale si x

I termini della sommatoria possono essere sommati in qualsiasi ordine

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Sommatorie

Data una sequenza di numeri a1, a2, …… la somma infinita a1+ a2+ …. può essere scritta nel seguete modo:

Se il limite non esiste la serie diverge, altrimenti converge.

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Proprietà di Linearità

Dato un qualunque numero reale c e due qualunque sequenze finite a1, a2, …an, e b1, b2, …, bnallora

La proprietà di linearità si applica anche a serie convergenti infinite e può inoltre essere impiegata per manipolare sommatorie contenenti termini di notazioni asintotiche.

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Analisi dell’InsertionSort

  • InsertionSort(A,n)
    • for j  1 to n do
    • key  A[i]
    • i=j-1
    • while i>0 and A[i]>key do
    • A[i+1]  A[i]
    • i  i-1
    • A[i+1]  key

Due cicli annidati. Quante volte si ripetono i cicli nel caso peggiore?

Se i=1  1 ripetizione

Se i=2  2 ripetizioni

Se i=3  3 ripetizioni

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Serie aritmetica

La sommatoria che viene fuori dall’analisi dell’insertion sort è un aserie aritmetica:

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Somma esponeziale

  • Algo2(n)
    • key  1
    • while key ≤ n do
    • for i=1 to key do
    • A[i] ++
    • key  key  2

Due cicli annidati. Tempo di esecuzione costante all’interno del ciclo.

Quante volte vengono eseguiti i cicli?

Passo 0 : key = 20  1 volta

Passo 1 : key = 21  2 volte

Passo 2 : key = 22 4 volte

Passo j : key = 2j  2j volte

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Serie geometrica

Dato un reale x1, la sommatoria

è una serie geometrica o esponenziale ed ha come valore

Se la serie è infinita e |x|<1, si ha la serie geometrica decrescente infinita

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Somma esponeziale

  • Algo2(n)
    • key  1
    • while key ≤ n do
    • for i=1 to key do
    • A[i] ++
    • key  key  2
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Serie armonica

Dato l’intero positivo n, l’n-esimo numero armonico è

con valore

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Applicazione di Integrali e Differenziali

Le formule risultato delle sommatorie possono essere ottenute integrando e differenziando le formule appena viste.

Per esempio applicando il differenziale ad entrambi i lati della serie geometrica infinita, e moltiplicando per x, si ha

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Serie telescopiche

Data una qualunque sequenza a0, a1, a2, …, an, vale che

Poiché ognuno dei termini della sequenza sequenza a1, a2, …, an-1, è sia sommato che sottratto esattamente una volta.

Analogamente

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Serie telescopiche

Come esempio di serie telescopica si consideri la sommatoria

Poiché ogni termine può essere scritto come

si ha

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Produttorie

Il prodotto finito di una sequenza di elementi a1, a2, …, an, può essere scritto come

Se n=0, il valore del prodotto è 1 per definizione.

Si può convertire una formula contenente un prodotto in una formula contenente una sommatoria usando la seguente identità

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Limitazioni sulle sommatorie

  • Vi sono molte tecniche disponibili per definire limiti sulle sommatorie che descrivono i tempi di esecuzione degli algoritmi.
  • Di seguito saranno presentati alcuni metodi usati più di frequente.
  • Induzione matematica
  • Limitazione dei termini
  • Spezzare le sommatorie
  • Approssimazione con integrali
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Induzione matematica

  • Il metodo base per calcolare il valore di una serie e di usare l’induzione matematica.
  • Si dimostra il passo base (per n=0, oppure n=1)
  • Si fa l’ipotesi induttiva che esso valga per n
  • Si dimostra che vale per n+1
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Induzione matematica

  • Esempio: dimostriamo che
  • Passo base (n=1):
  • Supponiamo vero per n.
  • Dimostriamolo per n+1:
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Induzione matematica

  • L’induzione può essere usata per tentare un limite superiore
  • Esempio: dimostriamo che
  • o più precisamente dimostreremo che
  • Passo base (n=0):
  • Supponiamo vero per n.
  • Dimostriamolo per n+1:
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Limitazioni dei termini

Talvolta un buon limite superiore su una serie può essere ottenuto maggiorando ogni termine della serie, e spesso è sufficiente usare il termine più grande per limitare gli altri.

In generale:

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Limitazioni dei termini

Data la serie con

Per ogni k0 dove r<1 è una costante

Dato che ak≤a0rk la somma può essere limitata da una serie geometrica decrescente infinita

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Limitazioni dei termini

Esempio : si può applicare il metodo per dare un limite alla sommatoria

Il rapporto tra due termini consecutivi è:

Quindi ogni termine è limitato seperiormente da (1/3)(2/3)k

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Spezzare le sommatorie

Per ottenere dei limiti su una sommatoria difficile si può esprimere la serie come la somma di due o più serie ottenute spezzando l’intervallo dell’indice e quindi limitando ognuna delle serie risultanti.

Per esempio abbiamo visto che

Per ottenere un limite inferiore si potrebbe limitare ogni termine con il termine più piccolo, ma poiché quel limite è 1 si avrebbe un limite di sommatoria inferiore a n

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Spezzare le sommatorie

Si può ottenere un risultato migliore spezzando la sommatoria. Si assuma per comodità che n sia pari. Si ha:

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Spezzare le sommatorie

Spesso si può spezzare la sommatoria ottenuta dall’analisi di un algoritmo, ignorando un numero costante di termini iniziali. In generale si adotta questa tecnica quando ogni termine ak della sommatoria è indipendente da n.

Per esempio, per qualunque k0>0 si può scrivere

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Spezzare le sommatorie

Esempio : troviamo un limite asintotico superiore per la sommatoria

Si osservi che il rapporto tra due termini consecutivi è

Se k3. Quindi la somma può essere spezzata così

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Approssimazione con integrali

Quando una sommatoria può essere espressa come

Dove f(k) è una funzione monotona crescente, si può approssimarla con i seguenti integrali

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Approssimazione con integrali

Analogamente quando una sommatoria può essere espressa come

Dove f(k) è una funzione monotona decrescente, si può approssimarla con i seguenti integrali

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Approssimazione con integrali

Esempio : forniamo un limite stretto per l’n-esimo numero armonico