slide1 n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Εισαγωγή στους Γράφους PowerPoint Presentation
Download Presentation
Εισαγωγή στους Γράφους

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 37

Εισαγωγή στους Γράφους - PowerPoint PPT Presentation

  • Uploaded on

Εισαγωγή στους Γράφους. Graph Theory. Ιστορικά. Οι γέφυρες του Koenigsberg. Μία σχηματική αναπαράσταση. Μπορούμε να διασχίσουμε όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά? (Euler). Αναπαράσταση σε γράφο. Μπορούμε να διασχίσουμε όλες τις γραμμές ακριβώς μία φορά?

I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Εισαγωγή στους Γράφους' - lotta

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Οι γέφυρες του Koenigsberg

Μία σχηματική αναπαράσταση

Μπορούμε να διασχίσουμε όλες τις γέφυρες ακριβώς μία φορά? (Euler)

Αναπαράσταση σε γράφο.

Μπορούμε να διασχίσουμε όλες τις γραμμές ακριβώς μία φορά?

(eulerian path: 0 or 2 odd degree vertices)

(eulerial circuit: 0 odd degree vertices)

  • G=(N, L), γράφος που αποτελείται από τα σύνολα
    • N={n1, n2,}, το σύνολο των g κορυφών ή κόμβων
    • L={l1, l2, ...lL}, το σύνολο των L ακμών ή συνδέσμων
  • lk=(ni, nj), (ni, nj)=(nj, ni), δεν υπάρχουν (ni, ni) (loops)
  • Αν (ni, nj)<>(nj, ni) τότε ο γράφος είναι κατευθυνόμενος (directed)
  • Εάν υπάρχει lk=(ni, nj) τότε τα ni και nj είναι γειτονικά (adjacent)
  • Εάν υπάρχει lk=(ni, nj) η lkείναι προσπίπτουσα (incident) με τα niκαι nj
  • Εάν g=1 τότε ο γράφος είναι τετριμμένος(trivial)
  • Εάν L=0 τότε ο γράφος είναι άδειος (empty)
  • Ένας γράφος μπορεί να σχεδιαστεί με πολλούς τρόπους, η θέση είναι άσχετη (isomorphic graphs)
2ο Παράδειγμα

Κατευθυνόμενος Γράφος


Περισσότερη πληροφορία???

Ισόμορφοι γράφοι

ƒ(a) = 1

ƒ(b) = 6

ƒ(c) = 8

ƒ(d) = 3

ƒ(g) = 5

ƒ(h) = 2

ƒ(i) = 4

ƒ(j) = 7

Δυάδες, τριάδες (μη κατευθυνόμενα)

Δυάδα: Ανάμεσα σε δύο κόμβους, είτε θα υπάρχει σύνδεσμος είτε όχι.

Πιθανές τριάδες (η 3η είναι «απαγορευμένη» σε πραγματικά δεδομένα (Granovetter)

Πιθανές τριάδες (η 3η είναι «απαγορευμένη» σε πραγματικά δεδομένα (Granovetter)

Επιπλέον Ορισμοί
  • Βαθμός κορυφής (degree), d(ni),
    • Το πλήθος των γραμμών που προσπίπτουν στον ni
    • Όμοια, το πλήθος των γειτονικών κορυφών της ni (σε απλούς γράφους)
  • Παράδειγμα: Γάμοι στη Φλωρεντία (15ος αιώνας)
  • Μέσος βαθμός:
  • Variance:
walks trails paths cycles
Walks, trails, paths, cycles

Reachability – connected graphs - components

geodesics distance eccentricity diameter
Geodesics, distance, eccentricity, diameter

Eccentricity: maxjd(i, j)

Πχ. Η εκκεντρότητα του n2 είναι 2

affiliation network bipartite graph
Affiliation network (bipartite graph)

Actors = {n1, n2}, Affiliations = {n3, n4, n5}

Παράγωγα γραφήματα (δύο για κάθε διμερές γράφημα) !

shortest paths
Shortest paths
  • Αλγόριθμος Dijkstra
  • Let the node at which we are starting be called the initial node. Let the distance of node Y be the distance from the initial node to Y. Dijkstra's algorithm will assign some initial distance values and will try to improve them step-by-step.
  • Assign to every node a distance value. Set it to zero for our initial node and to infinity for all other nodes.
  • Mark all nodes as unvisited. Set initial node as current.
  • For current node, consider all its unvisited neighbors and calculate their distance (from the initial node). For example, if current node (A) has distance of 6, and an edge connecting it with another node (B) is 2, the distance to B through A will be 6+2=8. If this distance is less than the previously recorded distance (infinity in the beginning, zero for the initial node), overwrite the distance.
  • When we are done considering all neighbors of the current node, mark it as visited. A visited node will not be checked ever again; its distance recorded now is final and minimal.
  • If all nodes have been visited, finish. Otherwise, set the unvisited node with the smallest distance (from the initial node) as the next "current node" and continue from step 3
  • Στο link.
  • The algorithm continuously increases the size of a tree, one edge at a time, starting with a tree consisting of a single vertex, until it spans all vertices.
  • Input: A non-empty connected weighted graph with vertices V and edges E in which the weights are non-negative.
  • Initialize: Vnew = {x}, where x is an arbitrary node (starting point) from V, Enew = {}
  • Repeat until Vnew = V:
    • Choose an edge (u, v) with minimal weight such that u is in Vnew and v is not (if there are multiple edges with the same weight, any of them may be picked)
    • Add v to Vnew, and (u, v) to Enew
  • Output: Vnew and Enew describe a minimal spanning tree
  • Τοπική (local): Ο βαθμός κάθε κορυφής
    • Το άθροισμα των γραμμών του πίνακα γειτονικότητας
  • Τοπική με απόσταση Δ: (Το πλήθος των κορυφών που βρίσκονται σε απόσταση Δ από μια κορυφή).
  • Σχετικοποιημένη τοπική: Ο βαθμός κάθε κορυφής προς το μέγιστο πιθανό βαθμό
    • di/(n-1)
global centrality
Ολική (global centrality)
  • Για κάθε κορυφή v: Το άθροισμα των αποστάσεων από την v προς όλες τις υπόλοιπες κορυφές
    • Απαραίτητος υπολογισμός: ο πίνακας απόστασης όλων των κορυφών
    • Όσο μικρότερη τόσο καλύτερη
betweenness centrality
Betweenness centrality
  • Κατά πόσο μία κορυφή είναι «ανάμεσα» στις υπόλοιπες κορυφές, δηλαδή βρίσκεται πάνω στα περισσότερα συντομότερα μονοπάτια. (gatekeeper)
  • Structural holes: Υπάρχουν όταν λείπουν γραμμές εκεί όπου θα μπορούσαν να υπάρχουν.
six degrees of separation
Six degrees of separation
  • Small worlds
    • Small average shortest path
    • Large clustering coefficients
    • Power law
    • the diameter of the network is growing with the logarithm of the number of nodes
  • Bacon number
  • Real Life !! (random graphs <> watts)
bacon number
Bacon number !

Total number of linkable actors: 1185224Average Kevin Bacon number: 2.977