第三 章 導數的應用 §3.1 切線與法線方程式 倘若點 P( ) 為曲線 上的一點，則我們有 ：

1. 第三 章 導數的應用 §3.1 切線與法線方程式 倘若點 P( ) 為曲線 上的一點，則我們有 ： 1.若 ，則曲線 在切點 的 切線方程式為 ，法線方程式為 2.若 ，則曲線 在切點 的 切線方程式為 ，法線方程式為

2. 3.若 ，則曲線 在點 的切線 方程式為 ，且法線方程式為 。 若 不存在( 即)，則曲線 在點 的切線與法線不存在。 其中1.2.3.中切線斜率 ，如下圖所 示：

3. 事實上，若曲線 與曲線 在點 的切線斜率分別為 與 ，則我們有 與 ，並且此二曲線在點 的夾角為 其中 與 以及 ，如下圖所示： 如果 ，則此二曲線的夾角為直角，此時稱二曲線正交。

4. 例1.試求曲線 在點 的 切線與法線方程式 解: 又 點 在此曲線上 此曲線在點 的切線斜率為 即切線方程式為 法線方程式為 ■

5. 例2.試求函數 與 圖形在原點的切線與 法線方程式 解: (1) 在原點之切線的斜率為 即 圖形在原點的切線方程式為 ，而且法線方程式為 (2) 在原點之切線的斜率為 即 圖形在原點的切線方程式為 ，而且法線方程式為

6. 由(1)(2)可以得知二函數圖形之切線與法線如下所示:由(1)(2)可以得知二函數圖形之切線與法線如下所示:

7. 例3. 試分別求出曲線 在點 的切 線與法線方程式。 解: 點 在曲線 上且 即曲線在點 的切線方程式為 ，且法線方程式為 。 ■

8. §3.2 極值的定義與平均值定理 定義4.2.1 極值 設函數 的定義域為 且實數 ，則我們有 (1)當 ，我們稱 為 在 中的極大值， (2)當 ，我們稱 為 在 中的極小值， (3)當 為 在 中的極大值 或極小值， 我們稱 為 在 中的極值。 (4)當點 為區間 的端點而且 為 在 中的極值，則我們稱 為 在 中的端點極 值。 ■

9. 定義3.2.2 相對極值 設函數 的定義域為 且 ，其中 為定義域 內之一數 的鄰域使得 成為 中的極值 ( 極大值或極小值 )，則若 均有 即 ，我們稱實數值 為函數 在 中的相對極值( 相對極大值或相對極小值 )，並且稱 為 的一個子區間。 ■ 定義3.2.3 絕對極值 假設函數 的定義域為 ， …， 均為函數 在 中的相對極值，則若存在一個極值 ， 且 使得 為 個相對極值之中最大 ( 或最小 ) 者，我們稱 為函數 在 中的絕對極大值 ( 或絕對極小值 )，又稱為最大值 ( 或最小值 )。 ■

10. 定理3.2.1 若函數 在閉區間 內為連續，則 必有極大值與極小值。 定理3.2.2 假設函數 的定義域為 且實數 ，若 存在且 ，則 不是 在 中的極值。 □ 定理3.2.3 假設函數 的定義域為 且實數 ，若 是函數 在 中的極值，則 或 不存在。 □ 定義3.2.4 臨界值、臨界數、臨界點 假設函數 的定義域為 且實數 ，若 或 不存在，則我們稱 為臨界值， 稱為臨界數，而且 稱為臨界點。 ■

11. 例1.考慮函數 的圖形，如下圖所示，則我們 得到下列的結果，即 為最小值 即 為臨界值， 為臨界數且 為臨界點。

12. 例2.考慮函數 的圖形，如下圖所示，則我們得 到下列的結果，即 為最小值 不存在 即 為臨界值， 為臨界數且 為臨界點。 ■

13. 例3.考慮函數 的圖形，如下圖所示，則我們得 到下列的結果，即 但 不為極值。 ■

14. 例4.考慮函數 的圖形，如下圖所示，則我們 得到下列的結果，即 不存在 不存在 且 不為極值。 ■

15. 定理4.2.4 Rolle’s 定理 假設 在封閉區間 [ ] 內為連續，且若 ，則 在開區間 內至少有一臨界數 使得 或 不存在。 □ 定理4.2.5 平均值定理 假設 在封閉區間 [ ] 內為連續，且 在開區間 內可微分，則在 內存在一數 使得 □

16. 例5. 試利用平均值定理估計 的值。 解: 令 ，則 取 由平均值定理 即 ■

17. 例6. 試利用平均值定理求 解: 令 ，則 為連續可微分函數 由平均值定理 其中 ， 由 L’Hospital’s 法則得知 得證 ■

18. §3.3 函數的圖形 定義3.3.1 單調函數 假設函數 的定義域為 且存在任意 與 ，則 (1)若 時有 ，我們稱 在 內為 ( 遞 ) 增函數。 (2)若 時有 ，我們稱 在 內為 ( 遞 )減函數。 ■ (3)若函數 在區間 中為增函數或減函數，則稱其在 中為單調函數。 ■

19. 定義3.3.2 嚴格單調函數 假設函數 的定義域為 且存在任意 與 ，則 (1)若 時有 ，我們稱 在 內 為嚴格 ( 或絕對 )( 遞 ) 增函數。 (2)若 時有 ，我們稱 在 內 為嚴格 ( 或絕對 )( 遞 ) 減函數 。 (3)若函數 在區間 中為嚴格 ( 或絕對 ) 增函數或嚴格 ( 或絕對 ) 減函數，則稱其 為嚴格 ( 或絕對 ) 單調函數。 ■

20. 上面兩個定義可以用圖 (a)(b)(c)(d) 分別說明之。

21. 定理4.3.1 假設函數 在閉區間 內為連續，我們有 (1)若對於任意 均有 ，則函數 在閉 區間 內為嚴格 ( 遞 ) 增函數; (2)若對於任意 均有 ，則函數 在閉 區間 內為嚴格 ( 遞 ) 減函數。 □

22. 求函數 之相對極值的步驟如下: 1.求出 或 不存在時的臨界數 ，然後求出 的一個鄰域 使得 是開區間 內的唯一臨界數且 在 內為連續，此時 在 與 內為一嚴格單調函數。 2.( 方法一 ) 比高低大小: (1)若 且 ，則 是 在 內 的一個絕對極大值。 (2)若 且 ，則 是 在 內 的一個絕對極小值。 (3)其它的情形，則 不是一個極值。 ( 方法二 ) 用一階導數來測驗極值: (1)若 且 與 ， 則 是一個相對極大值。 (2)若 且 與 ， 則 是一個相對極小值。 (3) 其它的情形，則 不是一個極值。

23. 例1.試求下列各函數的遞增減區間與極值 (1) (2) (3) (4)

24. 解: (1) 的臨界數為 的遞增區間為 或 的遞減區間為 為相對極大值 為相對極小值

25. (2) 的臨界數為 的遞增區間為 或 的遞減區間為 或 的相對極大值為 的相對極小值為

26. (3) 的臨界數為 的遞增區間為 或 的遞減區間為 的相對極大值為 的相對極小值為 不為極值

27. (4) 的臨界數為 的遞增區間為 或 的遞減區間為 或 的相對極大值為 與 的相對極值為

28. 定義4.3.3 函數的凹向性 假設函數 在定義域 內為連續， 且導數 存在，若存在一 的去心鄰域 且 ，則我們有 (1)若 在 中的圖形位於通過點 之切線上 方，則稱函數 的圖形在點 為向上凹 ; (2)若 在 中的圖形位於通過點 之切線的下 方，則稱函數 的圖形在點 為向下凹 。■ 定義4.3.2 函數的凹性試驗 假設函數 在區間 內連續，則我們有 (1)若對於任意 恆有 ，則稱函數 的 圖形在區間 內為向上凹; (2)若對於任意 恆有 ，則稱函數 的 圖形在區間 內為向下凹。 □

29. 定理 4.3.2 可以分別用下列六個圖形 (a)(b)(c)(d)(e)(f) 說明之:

30. 定理3.3.3 極值二階檢定法 假設函數 的定義域為 且存在一數 使得 或 不存在，我們有 (1)若 ，則 為一相對極小值; (2)若 ，則 為一相對極大值; (3)若 ，則 不為極值。 □ 定義3.3.4 反曲點 假設函數 的定義域為 且存在一數 使得 ，若存在一 的去心鄰域 使得 (1)對於 中任意 而言， 存在且不 為 ; (2); (3)存在且 則稱 為函數 圖 形上的一反曲點。 ■

31. 有了上面所討論的一些基本觀念之後，我們可以繪出函數 的圖形，只是作圖時必須注意下列幾個步驟: 1.留意函數 的定義域，倘有不連續則須討論該處的左右極限， 必要時，尚需利用 L’Hospital 法則求極限值。 2.確定函數 曲線的遞增減區間以及曲臨界數求出極大值與極小 值。 3.確定函數 曲線之向上凹與向下凹的區間以及反曲點。 4.如果函數 曲線的漸近線存在，則求之。 5.令 ，求出函數 之曲線與 軸的交點，然後繪圖。

32. 例2. 試求出下列各函數的極值與反曲點，討論其遞增減 區間與凹向性，並且作圖。 (1) (2) (3) (4)

33. 解: (1) 的臨界數為 的遞增區間為 或 的遞減區間為

34. 在 為向上凹 在 為向下凹 且 為相對極小值 為相對極大值 反曲點為 令

35. (2)

36. 的臨界數為 的遞增區間為 或 的遞減區間為 或 在 且 為向上凹 且 為相對極小值 為相對極小值 無反曲點 令

37. (3) 的臨界數為 的遞增區間為 的遞減區間為 在 為向上凹 在 為向下凹

38. 為相對極大值 反曲點為 令 (由L’Hospital法則得知)

39. (4) 的臨界數為 的遞增區間為 的遞減區間為 在 為向上凹 在 為向下凹 ( 不合，因 的 定義域為 )

40. 為相對極小值 令 ( 由 L’Hospital’s 法則得知 )

41. § 3.4 極值的應用與相關變率 極值的應用大都出現在與經濟利益以及物理化學工程有關的問題上，我們在討論此類的應用題時，通常必須遵循下列的步驟: 1.首先看清楚題目、瞭解題意。 2.根據題意假設函數、自變數、因變數、並且繪圖。 3.根據題意建立數學模式。 4.求解數學模式。 5.分析、驗證解答。

42. 例1.一房地產公司擁有80個套房，每一套房每月租金為6000元，這是例1.一房地產公司擁有80個套房，每一套房每月租金為6000元，這是 在每一間均租出去的情況下。倘若每一個套房空出則房租要增加 200元，而且每租出去的套房每月要花去600元的服務與維修費 用，試問每一套房每月的租金為多少時此房地產公司可以獲得最 大利潤? 解: 假設租出去 間套房而且利潤為 ，則有 令 取 則 租出去 間套房時可得最大利潤 元，此時 每一套房每月的租金為 元 ■

43. 例2.有一旅行社籌組一大陸遊旅行團，20天的行程每人繳例2.有一旅行社籌組一大陸遊旅行團，20天的行程每人繳 交費用60000元，這是已有100人參加的情況下。倘若 旅行社同意每增加一人則每人少收200元，試問旅客人 數為若干時旅行社可以得到最大利益? 解: 假設旅客人數為 人時旅行社的最大利益 為 ，則 令 旅客人數為200人時旅行社的最大利益為 元，此時每人繳交40000元。 ■

44. 例3.試求下列各題 (1)試求方程式 圖形上與點 距離最近的點。 (2)試求方程式 圖形上與點 距離最遠的點。 解: (1) 設點座標為 ，則 ① 與 的距離為 (由①) 令

45. 令 方程式 圓形上與點 距離最近的點為 ，如下圖所示:

46. (2) 設點座標為 ，則 與 的距離為 令 令 取 ，則 因此得到方程式 圖形上與點 距 離最遠的點為 。 ■

47. 例4.若欲製造一體積為常數 之有蓋的正圓柱體的鐵罐，試求此鐵罐在使用材料(即鐵皮)最少時的尺寸。 解: 假設此圓柱體之鐵罐的半徑為 且高為 ，如下圖所示，則當使 用鐵皮最少時即表示此鐵罐的表 面積為最小，即表面積為 ① 圓柱體體積為常數 ② 由 ①② 得知

48. 令 當此圓柱體之鐵罐的半徑為 且高為 時所用的鐵皮為最少，此時 。 ■

49. 例5.一長25呎的梯子靠在牆上，如下圖所示，梯底和牆腳例5.一長25呎的梯子靠在牆上，如下圖所示，梯底和牆腳 相距7呎，若將梯底以1呎/秒的速度拉離牆壁，試求梯 底距離牆腳8呎時，梯子的上端沿牆壁下滑的速率，並 且估計8秒末的速率。 解: 取牆腳為原點座標，如下圖所示，則任何時間 時我們均有畢氏定理公式 把上式兩 邊同時對時間 微分之，則得到 呎/秒為常數

50. 當 呎時 呎，我們得到梯子的上端 沿牆壁下滑的速度為 呎/秒，即速率為 呎/秒。 呎/秒為常數 又 由題意得知當 時 呎，即 呎 此為 8 秒末梯底與牆腳的距離。此時 呎，因此我們得到 8 秒末梯子的上端沿牆壁下滑的速度為 呎/秒，即速率為 呎/秒。 ■