หน่วยที่ 11

การแจกแจง ของตัวแปรสุ่ม หน่วยที่ 11

ตอนที่ 11.1 ตอนที่ 11.2 ตอนที่ 11.3 การแจกแจงความน่าจะ เป็นของตัวแปรสุ่ม การแจกแจงความน่าจะ เป็นของตัวแปรสุ่มแบบ ไม่ต่อเนื่อง การแจกแจงความน่าจะ เป็นของตัวแปรสุ่ม แบบต่อเนื่อง

ตอนที่ 11.1 การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

ความหมายของตัวแปรสุ่มความหมายของตัวแปรสุ่ม ในการทดลองเชิงสุ่ม เราสนใจเหตุการณ์ ที่เกิดขึ้นบนปริภูมตัวอย่าง ซึ่งเหตุการณ์ นั้นๆ มักเกี่ยวข้องกับจำนวนต่างๆที่ สามารถใช้เลขจำนวนจริงแทนเหตุการณ์ ที่สนใจได้

ในการโยนเหรียญสองอันหนึ่งครั้ง เหตุการณ์ที่สนใจคือ เหรียญหงายด้านหัวกี่เหรียญ ตัวอย่าง ถ้ากำหนดให้Hแทน หัว Tแทน ก้อย

ดังนั้นเหตุการณ์เป็นไปได้คือดังนั้นเหตุการณ์เป็นไปได้คือ เหตุการณ์ที่ 1 ไม่มีเหรียญหงายด้านหัว แทนด้วย TT หรือมี จำนวนหัวเท่ากับ 0 เหตุการณ์ที่ 2 มีหนึ่งเหรียญที่หงายด้าน หัว แทนด้วย HT หรือ TH หรือมีจำนวนหัว เท่ากับ 1

ดังนั้นเหตุการณ์เป็นไปได้คือดังนั้นเหตุการณ์เป็นไปได้คือ เหตุการณ์ที่ 3 เหรียญทั้งสองหงายด้าน หัว แทนด้วย HH หรือมี จำนวนหัวเท่ากับ 2

จะเห็นได้ว่าสามารถใช้จำนวนจริงแทนเหตุการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้นในการทดลอง เชิงสุ่มได้ ฟังก์ชันที่จับคู่เหตุการณ์ ในปริภูมิ ตัวอย่าง กับจำนวนจริงเรียกว่า ตัวแปรสุ่ม (Random Variable)

การทดลองเชิงสุ่มโยนเหรียญสอง อันหนึ่งครั้ง x HH HT TH TT 0 1 2

การทดลองเชิงสุ่มโยนเหรียญสอง อันหนึ่งครั้ง x คือตัวแปรสุ่มที่แทนจำนวนหัว x คือฟังก์ชันที่จับคู่เหตุการณ์ที่มีโดแมน เป็นปริภูมิตัวอย่าง (sample space) ของการทดลองเชิงสุ่มหนึ่งและมีเรนจ์ เป็นสับเซตของจำนวนจริง

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม 1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 3 คน ถ้าให้ x แทนจำนวนบุตรชาย ตัวแปรสุ่ม X มีค่าเป็น 0 กรณีครอบครัวนี้ไม่ มีบุตรชาย

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม 1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 3 คน ถ้าให้ x แทนจำนวนบุตรชาย X มีค่าเป็น 1 กรณีครอบครัวนี้มี บุตรชาย 1 คน ตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม 1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 3 คน ถ้าให้ x แทนจำนวนบุตรชาย xมีค่าเป็น 2 กรณีครอบครัวนี้มี บุตรชาย 2 คน ตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม 1 ครอบครัวหนึ่งมีบุตร 3 คน ถ้าให้ x แทนจำนวนบุตรชาย xมีค่าเป็น 3 กรณีครอบครัวนี้มี บุตรชาย 3 คน ตัวแปรสุ่ม

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม (ต่อ) 2 โรงงานแห่งหนึ่งต้องการตรวจสอบอายุการใช้งานเครื่องใช้ไฟฟ้าที่ผลิตขึ้น ถ้าให้ Zแทนอายุการใช้งานของ เครื่องใช้ไฟฟ้าชนิดหนึ่ง

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่ม (ต่อ) 2 โรงงานแห่งหนึ่งต้องการตรวจสอบอายุการใช้งานเครื่องใช้ไฟฟ้าที่ผลิตขึ้น ตัวแปรสุ่ม Zมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่ไม่น้อยกว่าศูนย์

ชนิดของตัวแปรสุ่ม มี 2 ชนิด 1 ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง คือฟังก์ชันที่จับคู่เหตุการณ์ในปริภูมิตัวอย่างของการทดลองเชิงสุ่มหนึ่งที่ มีเรนจ์ คือ เซตที่นับได้ ซึ่งอาจเป็น เซตจำกัดหรือ เซตอนันต์ เช่น จำนวน ครั้งของการโยนเหรียญหนึ่งอัน

ชนิดของตัวแปรสุ่ม มี 2 ชนิด 1 ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง จนกว่าเหรียญจะหงายด้านหัว (เรนจ์คือเซตอนันต์) จำนวนเด็กชาย ที่เกิดใหม่ต่อวันในโรงพยาบาลแห่ง หนึ่ง (เรนจ์คือเซตที่นับได้)

ชนิดของตัวแปรสุ่ม 2 ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง คือฟังก์ชันที่จับคู่เหตุการณ์ในปริภูมิตัวอย่างของการทดลองเชิงสุ่มหนึ่งที่ มีเรนจ์ คือช่วงซึ่งเป็นสับเซตจำนวน จริง เช่น

ชนิดของตัวแปรสุ่ม 2 ปริมาณน้ำฝนในพื้นที่แห่งหนึ่งใน เดือนพฤษภาคม อายุการใช้งานของหลอดไฟฟ้าในโรงงาน แห่งหนึ่ง ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

ในการซื้อตั๋วชิงรางวัลชนิดหนึ่งราคาตั๋วใบละ 100 บาทถ้ารางวัลที่กำหนดไว้คือเงินสดจำนวน 100,000 บาท 50,000 บาท 25,000 บาท 10,000 บาท 2,000 บาท และตั๋วชิงรางวัลฟรี 1 ใบ กิจกรรม

กิจกรรม สมมติว่าลงทุนซื้อตั๋วชิงรางวัลหนึ่งใบอย่างสุ่มเพื่อเสี่ยงโชคว่าจะได้กำไรหรือไม่ 1. จงกำหนดตัวแปรสุ่ม จากโจทย์ข้างต้นให้

กิจกรรม สมมติว่าลงทุนซื้อตั๋วชิงรางวัลหนึ่งใบอย่างสุ่มเพื่อเสี่ยงโชคว่าจะได้กำไรหรือไม่ จากโจทย์ข้างต้นให้ • ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มในข้อ1 คือค่าใดบ้าง

x คือตัวแปรสุ่ม x แทนกำไรที่ได้ในการซื้อตั๋ว ชิงรางวัลหนึ่งใบ เฉลยกิจกรรม 1 กำหนดให้

เฉลยกิจกรรม 2 ค่าที่เป็นไปได้ของ x มีดังนี้ x=99,900 กรณีที่ถูกรางวัลเงิน สดจำนวน 100,000 บาท x = 49,900 กรณีที่ถูกรางวัลเงินสด จำนวน 50,000 บาท

ค่าที่เป็นไปได้ของ x มีดังนี้ เฉลยกิจกรรม 2 x = 19,900 กรณีที่ถูกรางวัลเงินสด จำนวน 20,000 บาท x = 9,900 กรณีที่ถูกรางวัลเงินสด จำนวน 10,000 บาท

ค่าที่เป็นไปได้ของ x มีดังนี้ เฉลยกิจกรรม 2 x = 0 กรณีที่ถูกรางวัลได้ตั๋วชิง รางวัลฟรี 1 ใบ x = -100 กรณีที่ไม่ถูกรางวัลใดๆ เลย

ฟังก์ชันการแจกแจง ของตัวแปรสุ่ม

ในการทดลองเชิงสุ่มหนึ่งๆ การหาค่า สถิติต่างๆ เช่นค่าเฉลี่ย ค่าความแปรปรวน จำเป็นต้องทราบการแจกแจงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ซึ่งก็คือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีค่าต่างๆ

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ถ้า xเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มมีค่าค่าหนึ่งกำหนดโดย

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง P(X=xi)เมื่อ i= 1, 2, 3, ........ ค่านี้เรียกว่า ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Xซึ่งต่อไปนี้จะแทนด้วย ()

โยนเหรียญเที่ยงตรงหนึ่งเหรียญสามครั้ง ถ้า Hหมายถึง หัว และ T หมายถึง ก้อย กำหนดให้ xแทนจำนวนหัวที่ปรากฏในการโยนเหรียญทั้งสามครั้ง ตัวอย่าง จงแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าตัวแปรสุ่ม x

วิธีทำ ปริภูมิตัวอย่าง คือ x = 3 HHH x = 2 HHT, HTH, THH x = 1 HTT, THT, TTH x = 0 TTT 0 1 2 3

x = 0 คือเหตุการณ์ (TTT) ซึ่งมีความน่า จะเป็น คือ P (x=0) = P (TTT) = 1 1 1 1 3 8 8 8 8 8 x = 1 คือเหตุการณ์ (HTT, THT, TTH) ซึ่งมีค่าความน่าจะเป็น คือ P(x=1) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH) = + + =

1 1 1 3 8 8 8 8 = + + = x = 2 คือเหตุการณ์ (HHT,HTH, THH) ซึ่งมีความน่าจะเป็น คือ P(x=2) = P(HHT) + P(HTH) +P(THH)

1 1 3 1 3 8 8 8 8 8 P(x=3) = P(HHH) = x = 3 คือเหตุการณ์ (HHH) ซึ่งมีความน่า จะเป็น คือ x 0 1 2 3  P(x= ) หรือ( ) 

บทนิยาม ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ถ้า xคือตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่มีค่า เป็นไปได้อยู่ในเซตที่นับได้ x1, x2, x3……. แล้ว

 ฟังก์ชัน ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมน คือ เซตจำนวนจริงและเรนจ์ คือ ช่วง [ 0,1] เรียกว่า เป็นฟังก์ชันความน่าจะ เป็นของตัวแปรสุ่ม xเมื่อ 1. ( )  0 สำหรับ i = 1 , 2, 3,… 2. ( ) = 0 สำหรับ  i ; i=1,2,3,….   i    

 ฟังก์ชัน ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมน คือ เซตจำนวนจริงและเรนจ์ คือ ช่วง [ 0,1] เรียกว่า เป็นฟังก์ชันความน่าจะ เป็นของตัวแปรสุ่ม xเมื่อ () ∑  A   i  3. ( ) = 1 สำหรับ i = 1, 2, 3,… 4. P(A) = เมื่อ A คือเหตุการณ์  บนปริภูมิตัวอย่างหนึ่ง

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง (x) เขียนแทนได้ด้วยเส้นโค้งของฟังก์ชันที่เรียกว่า ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น หรือ(x) โดย( ) ใช้ในการคำนวณค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A 

บทนิยาม ฟังก์ชันความหนาแน่นของ ความน่าจะเป็น ฟังก์ชัน ใดๆ ที่มีโดเมนคือเซตจำนวน จริงและเรนจ์ คือ [ 0, ) ฟังก์ชันนี้จะเรียกว่า ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นหรือ p.d.เมื่อ 1. ( )  0 สำหรับทุกๆ ค่าของ 2. ( ) = d = 1   b   a

กำหนดให้ xแทนอายุการใช้งานของ หลอดไฟฟ้ายี่ห้อหนึ่งซึ่งมี p.d.. กำหนดโดย ตัวอย่าง 1 -  100 100 () = e ; 0     ถ้า Aคือเหตุการณ์ที่หลอดไฟฟ้ามีอายุ การใช้งานมากกว่า 100 ชั่วโมง จงหา ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A

วิธีทำ   P(A)= P(  100) = 100( )d   1 -   100 100 = e 100d 

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม แบบไม่ต่อเนื่อง การแจกแจงทวินาม ถ้าการทดลองเชิงสุ่มหนึ่ง ผลลัพธ์ที่เป็น ไปได้มีเพียงสองทางคือ “สำเร็จ” และ “ไม่สำเร็จ” หรือค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มมีเพียงสองค่า เช่น ในการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ 1 ครั้ง

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม แบบไม่ต่อเนื่อง กำหนด ผลลัพธ์ที่เรียกว่า “สำเร็จ” คือ เหรียญหงายหัว(H) และผลลัพธ์ที่เรียก “ไม่สำเร็จ” คือเหรียญหงายก้อย(T)

ถ้าตัวแปรสุ่ม xแทนจำนวนหัว ดังนั้น xมีค่าเป็นไปได้สองค่า คือ 1 และ 0 และตัวแปรสุ่ม xนี้เรียกว่า ตัวแปรสุ่ม ซึ่งมีฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังนี้ P(X=1) = p P(X= 0) =1 – p p (1-p)1- ;=0,1    หรือ( ) =  0 ;มีค่าอื่นๆ 

ถ้าในการทดลองเชิงสุ่มหนึ่งเป็นการ ทดลองสุ่มเบอร์นูลลีซ้ำๆ กัน nครั้งแต่ละครั้งเป็นอิสระกัน และมีความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่สำเร็จ p ถ้าให้ xแทนจำนวนครั้งที่สำเร็จใน การทดลอง nครั้ง

ถ้าในการทดลองเชิงสุ่มหนึ่งเป็นการ ทดลองสุ่มเบอร์นูลลีซ้ำๆ กัน nครั้งแต่ละครั้งเป็นอิสระกัน และมีความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่สำเร็จ p xจะเรียกว่า ตัวแปรสุ่มทวินาม (binomial random variable) และการแจกแจงความน่าจะเป็นของ xเรียกว่า การแจกแจงทวินาม

การแจกแจงทวินาม เขียนแทนด้วย ( )  b (x;n,p)=P(x= ) =   n =p (1- p)  n-   เมื่อ = 0, 1, 2,….n  การคำนวณหาค่า b(x;n,p) ถ้าทราบค่า nและ pสามารถหาค่าดังกล่าวได้ จากตาราง 1 ในภาคผนวก หน้า 316

ถ้า 20% ของจำนวนต้นไม้ที่ปลูกใหม่ในพ.ท.แห่งหนึ่งตายจงหาความน่าจะเป็น ที่ต้นไม้ที่ปลูกใหม่ 10 ต้น ตายไป 4 ต้น ตัวอย่าง วิธีทำ กำหนดให้ x แทนจำนวนต้นไม้ ที่ปลูกใหม่แล้วตาย

หน่วยที่ 11

หน่วยที่ 11

Presentation Transcript