新世纪（版）教材分析数学（九年级下册）

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第一章 直角三角形的边角关系

本章内容及教育价值 • 从梯子的倾斜程度谈起 • 30°、45°、60°角的三角函数值 • 三角函数的有关计算 • 船有触礁的危险吗？ • 回顾与思考

直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。

研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。

通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。

教学目标 • 1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力； • 2．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明； • 3．会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题；

4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角；4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角； • 5．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力； • 6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。

设计思路 • 本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。

接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。 • 对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。

利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。除“船有触礁的危险吗？”一节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。除“船有触礁的危险吗？”一节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。

具体内容分析及教学、评价建议 §1．从梯子的倾斜程度谈起由梯子的倾斜程度问题引出锐角三角函数正切。情境问题： ⑴开放性问题，主要看学生是否能够说出理由。如，因为梯子的高度AC、ED相等，可以用BC、FD的距离判断梯子的倾斜程度等。 ⑵从直观上不易进行判断，引导学生用对边和邻边之比。

P3想一想 通过研究有一个公共角的两个直角三角形的关系（相似），得出两直角边比的关系，使学生理解当锐角固定时，它的对边与邻边的比值也固定这一事实。

定义正切： 由于直角三角形中的锐A确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，故定义此确定之比为角A的正切，并用符号tanA表示。

P4议一议 用正切可以刻画梯子的倾斜程度。引导学生进一步议论出正切的值与梯子倾斜程度之间的关系。

例1 通过计算正切值，判断梯子的倾斜程度。正切还经常应用于另一很实用的概念——对山坡坡度的刻画。

在正切的基础上，继续拓展到直角三角形其它边之间的比，由说理引出正弦和余弦，以及它们的符号表示。建议使学生进行充分的讨论、说理。

想一想 用正弦和余弦也可以刻画梯子的倾斜程度，引导学生进一步讨论出正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系。

P8做一做 通过做此练习，让学生体会互余的两个角的正弦、余弦有如下关系： sinA=cos（90o-A）

§2．30°、45°、60°角的三角函数值 • 由常用的、学生熟悉的三角板引入30°、45°、60°角的三角函数值的问题，首先讨论30°角的三角函数值。 • 情境问题： ⑴可以根据“30°的角所对的直角边是斜边的1/2”。 ⑵利用直角三角形的边角关系。

P10做一做 继续讨论45°、60°角的三角函数值，关注学生如何进行说理，关注学生是否能够在理解的基础上进行记忆。

例2 可以引导学生自己画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

§3．三角函数的有关计算 情境问题：由需要计算缆车上升高度的问题，引出一般锐角的三角函数值的问题，计算一般锐角的三角函数值需要计算器的帮助。

P15想一想 如上升的高度、水平的距离等。其中点B到点D的垂直距离为200sin42o，水平距离为200cos42o。

情境问题： 引出需要计算角度的问题；根据直角三角形的边求角，要借助于计算器。

例2 这是一个实际应用问题，确实需要知道角度，而这一角度又不易测量。如有可能，提供给学生更多的实际问题。

§4．船有触礁的危险吗？ 情境问题：提供充分的机会让学生进行讨论，关注学生是否理解问题，如方位角等；关注学生如何把实际问题转化为数学问题，是否能够画出示意图；关注学生是否能够选择适当的三角函数使问题得到解决。

实习作业 教学目标 • 1．经历设计实习方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量及撰写实习报告的过程； • 2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果； • 3．能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题； • 4．培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神。

教学建议 • 1．将学生分组，各组分头准备测量所需的仪器； • 2．由学生自己设计实习报告，教师给予必要的指导； • 3．实习内容尽量安排那些学生比较熟悉、且易于开展小组活动，并能保证完成实习任务的问题； • 4．在实习作业课期间，教师应在现场观察、指导各组的活动，同时教师应作必要的记录。

评价建议 • 1．关注学生是否积极地投入到实习活动中去，如准备测量仪器、设计实习方案等，并能够在实习活动中积极想办法、克服困难、有合作精神等； • 2．关注学生是否能够对所得到的数据进行分析、修改，最终得到比较符合实际的结果；

3．关注学生是否能够综合运用包括直角三角形边角关系的知识解决实际问题；3．关注学生是否能够综合运用包括直角三角形边角关系的知识解决实际问题； • 4．关注学生的实习报告是否能够真实地反映学生的活动过程，并且能够提出有价值的问题。

第二章 二次函数

本章内容及教育价值 • 本章的内容： 1．二次函数所描述的关系 2．结识抛物线 3．刹车距离与二次函数 4．二次函数y = a x2 + b x + c的图象 5 ．用三种方式表示二次函数 6．何时获得最大利润 7．最大面积是多少 8．二次函数与一元二次方程回顾与思考

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。伽利略(Galileo Galilei)所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一。

二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。

二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。

和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。

教学目标 • 1．使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系； • 2．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考和语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；

3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般函数性质的经验；3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般函数性质的经验； • 4．能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；

5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，求一元二次方程的近似解；5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，求一元二次方程的近似解； • 6．能利用二次函数解决实际问题和对变量的变化趋势进行预测。

设计思路 • 对二次函数的学习，应该通过大量丰富的现实背景，通过学生感兴趣的、广泛联系多学科的问题，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值。对二次函数的学习，应该通过学生的探究性活动（经历数学化的过程），通过学生之间的合作与交流。因此本章安排了尽可能丰富的素材和大量的学生活动，具体的做法如下：

1．通过分析实际问题，如探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，使学生感受二次函数与生活的密切联系；1．通过分析实际问题，如探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，使学生感受二次函数与生活的密切联系； • 2．对二次函数性质的研究，采用的是利用图象的、直观的、非形式化的研究方法，通过学生自己的探索活动（联系、对比、概括和反思等），达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解；

3．对二次函数图象的研究，是从y = x2开始，然后是y =ax2、y =ax2+c、y =a（x-h）2+k、y =a x2 + b x + c的从简单到复杂、特殊到一般的过程； • 4．在对图象研究的过程中，也穿插实际应用问题，如函数图象与刹车距离、两个吊桥最低点之间的距离等，把图象直观与实际意义相联系；

5．用表格、关系式、图象的多种方法表示二次函数，使学生会用多种方式表示函数、并体会函数的各种表示之间的联系和特点； 5．用表格、关系式、图象的多种方法表示二次函数，使学生会用多种方式表示函数、并体会函数的各种表示之间的联系和特点； • 6．设计大量的可以表示为二次函数、利用所学的二次函数知识可以解决的实际问题，发展学生的数学应用能力； • 7．建立一元二次方程的求解问题与二次函数之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

具体内容分析及教学、评价建议 §1．二次函数所描述的关系 • 由种橙子的问题引出二次函数，体现二次函数是对现实问题中一类变量之间关系的描述； • 以问题串的形式，引导学生逐步得到橙子的总产量与橙子树的关系表达式； • 给出橙子的总产量与橙子树的关系表达式；

利用“想一想”，提出进一步的最大产量的问题；利用“想一想”，提出进一步的最大产量的问题； • 用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，问题的最后解决留在以后； • 在“做一做”的活动中，把两年后的本息和y与年利率x的关系表示为二次函数； • 在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系式；

通过“随堂练习”和习题，学生进一步明确二次函数的概念和进一步体会二次函数所描述的关系。通过“随堂练习”和习题，学生进一步明确二次函数的概念和进一步体会二次函数所描述的关系。

§2．结识抛物线 • 研究二次函数的图象，并通过图象，对二次函数的性质进行研究； • 本节首先研究y=x2的图象；观察y=x2的表达式，选点描图；讨论图象的形状、对称性、与x轴的交点、增减性、最小值等。 • 明晰；

在y=x2的图象的基础上，研究y=-x2的图象和本身的性质，注意图象之间的联系，以及图象与表达式之间的联系；在y=x2的图象的基础上，研究y=-x2的图象和本身的性质，注意图象之间的联系，以及图象与表达式之间的联系； • 利用“读一读”，帮助学生体会二次函数的广泛应用； • 习题2.2中的第一题，使学生体会抛物线在自然界的普遍存在性。

§3．刹车距离与二次函数 （研究二次项系数a对图象的影响和图象的上、下平移） • 提出汽车刹车距离与车速之间关系的问题，分别给出晴天、雨天的计算公式，它们是二次函数； • 给出s = v2的图象，由学生作出s = v2的图象，从中体会两图象之间的关系，体会二次项系数对这个实际问题的影响；

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