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刚体的转动

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第 四 章. 刚体的转动. § 4-1 刚体的一般运动及 定轴转动. 刚体: 在任何情况下都不发生 变形的物体。. 物理模型. 平动 转动. 一、刚体运动. 刚体平动. 刚体内任一点的运动代表整个刚体的运动. 平动 :刚体中任意两点的连线在运动中始终保持彼此平行。. 物 体 作 平 动. c. a. b. 转动 : 刚体围绕某一固定直线 作圆周运动. 定轴转动 : 转轴固定不动的 转动. 刚体的一般运动 = 转动 + 平动.

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Presentation Transcript
slide1

第 四 章

刚体的转动

slide2

§4-1 刚体的一般运动及

定轴转动

刚体:在任何情况下都不发生

变形的物体。

物理模型

  • 平动
  • 转动

一、刚体运动

slide4

刚体内任一点的运动代表整个刚体的运动

平动:刚体中任意两点的连线在运动中始终保持彼此平行。

slide6

转动: 刚体围绕某一固定直线

作圆周运动.

定轴转动:转轴固定不动的

转动

刚体的一般运动 = 转动 + 平动

slide8

二、刚体定轴转动的描述

M

转动平面

0

P

ω

转动平面:垂直于转动轴的平面。

描述P点运动:

角量:(角位移、角速度…)

线量:(位移、速度…)

slide9

三、角速度矢量

M

v

θ

0

α

0

X

slide10

角速度与线速度的关系

M

v

θ

0

P

α

0

X

slide11

角速度与线速度的关系

M

v

θ

0

P

α

0

X

slide12

y

角位置:

角位移:

o

角速度:

x

复 习

slide13

角速度矢量

复 习

ω

角加速度:

slide16

总结:定轴转动运动学两类问题:

,求角位移、

1、已知

角速度、角加速度。

,求角速度

2、已知

、运动方程。

与一维线量问题类似

slide17

§4-2 转动动能 角动量 转动惯量

刚体

一、转动动能

问题:任一刚体绕定轴以  转动

其动能为多少?

m1, m2,m3,…...

r1 , r2 , r3 , …….

 , , , …….

r1 , r2 , r3 ,……

slide20

令:

为刚体饶定轴转动的转动惯量。

则:

slide21

二、角动量

问题:任一刚体绕定轴以  转动

其角动量为多少?

slide23

M

v

Pi

0

α

X

0

所以在 Z 轴上的分量为:

slide24

二、角动量

问题:任一刚体绕定轴以  转动

其角动量为多少?

转动惯量

slide25

三、转动惯量

  • 转动惯量是物体转动惯性大小
  • 的量度。
  • 转动惯量的大小与刚体的总质量、质量分布以及转轴的位置均有关系。
slide26

m

m

slide28

刚体转动惯量的求法:

1、分离质量刚体转动惯量的

求法:

slide30

:质量元

 对质量线分布刚体:

:质量线密度

 对质量面分布刚体:

:质量面密度

 对质量体分布刚体:

:质量体密度

slide31

例:

求质量为m,长为 l的均匀细棒对

下列转轴的转动惯量。

 过中心并垂直棒的轴;

过端点并垂直棒的轴;

距中心为 h 并垂直棒的轴。

slide32

m

l

0

slide33

m

l

0

slide34

m

l

0

h

slide35

m

l

0

h

平行轴定理

slide36

讨论:平行轴定理

以质心C为坐标原点

Cz:质心轴

MN//Cz

对MN轴的转动惯量为

----平行轴定理

*证明:

slide39

R

dr

r

例2:求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘半径为R, 质量为m,密度均匀。

slide40

[问题]半径为R质量为m的均匀圆环,对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量[问题]半径为R质量为m的均匀圆环,对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量

m

m

slide41

[练习]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量[练习]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量

slide42

[练习]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量[练习]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量

解:圆环的质量密度为

在环上取质量元dm,dm距转轴r

slide44

讨论:薄板的垂直轴定理

设刚性薄板平面为 xOy面

----垂直轴定理

slide45

常见刚体的转动惯量

细棒

薄圆盘

球体

细棒

slide46

§4-3 力矩 转动定律

F

r

φ

M

d

一、力矩

1、力在转动

平面内:

slide47

大小:

F

r

方向:

φ

M

d

slide48

F

F

1

转动

F

r

2

平面

只能引起轴的

变形,对转动无贡献。

2、力不在转动

平面内:

slide49

二、转动定律

证明如下:

slide51

M

0

J

slide52

例:一轻绳跨过定滑轮,绳的

两端分别悬挂质量为

。设滑轮

的物体,且

<

质量为

,其转

,半径为

轴上所受的摩擦力矩为

绳与滑轮间无相对滑动。试

求物体的加速度和绳的张力。

slide56

例:

一半径为R、质量为m的均

质圆盘,平放在粗糙的水平面

上,设盘与水平面的磨擦系数

为,盘最初以角速度0绕过

中心且垂直盘面的轴转动,问

它需多少时间才能停止转动?

slide57

r

dr

R

slide58

[练习]在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳,各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计,滑轮的转动惯量为J。求滑轮的角加速度及各绳中的张力T1、T2[练习]在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳,各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计,滑轮的转动惯量为J。求滑轮的角加速度及各绳中的张力T1、T2

slide63

0

0

§4-4 力矩的功 动能定理

一、力矩的功

slide64

功率:

问题:为何不考虑内力作功?

slide65

二、动能定理

质点的动能定理:

推广到刚体

slide67

练习:一长为l,质量分布不均匀的细杆,其线密度为=a+br,如图,现将杆从水平位置释放,试求杆转到铅直位置的过程中,重力所作的功?练习:一长为l,质量分布不均匀的细杆,其线密度为=a+br,如图,现将杆从水平位置释放,试求杆转到铅直位置的过程中,重力所作的功?

slide68

三.机械能守恒

1.刚体的重力势能

  • 以XOY平面为重力势能参考面,取质元mi,势能为
slide69

对刚体

  • 刚体重力势能由刚体的质心相对于参考零点的高度决定,即可看作是质量集中在质心的势能。
slide70

2.机械能守恒(适用于系统)

保守的系统内力矩的功为:

根据刚体定轴转动的动能定理

slide71

当 A非+A外= 0时

----刚体的机械能守恒

slide72

[练习]长为l,质量为m的均匀细杆OA,绕通过其一端点O的水平轴在铅垂面内自由转动。已知另一端A过最低点时的速率为v0。求杆摆动时A点升高的最大高度(不计空气阻力和轴的摩擦力)[练习]长为l,质量为m的均匀细杆OA,绕通过其一端点O的水平轴在铅垂面内自由转动。已知另一端A过最低点时的速率为v0。求杆摆动时A点升高的最大高度(不计空气阻力和轴的摩擦力)

slide73

解:机械能守恒

最低点处

动能

势能

最高点处

动能

势能

slide74

例:一均质细杆质量为m、长为l

一端固定,求其从

水平位置转过角

时A端的速率

m 、l

O

A

加速度

A

slide75

mg

如何求at?

slide77

§4-5 刚体的角动量和

角动量守恒定律

一、定轴转动刚体的角动量

slide78

二、刚体的角动量定理和

角动量守恒定律

定 义

-----冲量矩

质点力学:

slide79

当M=0时, =常量

----刚体的角动量守恒定律

刚体所受冲量矩=刚体角动量的增量

slide80

角动量(动量矩)守恒律是自然界一条基本守恒律,适用于宏观和微观的所有客体,是时空各向同性的表现。角动量(动量矩)守恒律是自然界一条基本守恒律,适用于宏观和微观的所有客体,是时空各向同性的表现。

slide81

花样滑冰运动员通过改变身体姿态即:改变转动惯量来改变转速花样滑冰运动员通过改变身体姿态即:改变转动惯量来改变转速

ω

slide85

[例1]两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为 1, 2。求:1.对接后共同的角速度 ; 2.对接过程中的机械能损失。

J1

J2

ω2

ω

ω1

slide87

[ 练习 ]人和转盘的转动惯量为I0,哑铃的质量为m,初始转速为1,

求:双臂收缩由 r1变为r2时机械能变化为:

m

m

r

(a)小于零

2

(b)大于零

r

1

(c)等于零

I

0

(d)不确定

slide88

由角动量守恒

m

m

r

r

1

(

I

+

2

m

r

2

)

(

I

+

2

m

r

)

ω

ω

=

2

2

1

1

2

2

0

0

ω

I

1

(

I

+

2

m

r

2

)

0

ω

1

=

0

ω

2

(

I

+

2

m

r

)

1

2

0

2

1

(

)

E

I

+

2

m

r

2

2

ω

Δ

=

2

k

2

2

0

1

(

I

+

2

m

r

2

)

2

ω

2

1

1

0

I

2

m

r

1

(

)

+

2

=

I

+

2

m

r

2

(

1

)

ω

2

0

0

1

2

2

m

r

1

1

0

I

2

+

2

0

I

非保守内力作正功 ,机械能增加

slide89

例:质量为

、半径为

的转

台,可绕通过中心的竖直轴转动

。设阻力可以忽略不计。质量为

的人,站住台的边沿,台和人

原来都静止。如果人沿台的边沿

跑一周,人和转台相对于地面各

转了多少角度?

slide90

R

M

m

slide91

式中:

分别为转台和人的转动

惯量。

分别为相应的角速度。

合外力矩为零,角动量守恒:

slide92

解得:

人相对转台的角速度:

slide93

人在台上跑一周需时:

人相对地面转过的角度:

slide95

A

B

[练习]质量为M、半径为R的水平放置圆盘转台上,两质量均为m的电动汽车模型A、B可分别沿半径为R和r(R>r)两轨道运行。最初小车和转台都不动,令外轨道小车作反时针转动,内轨道小车顺时针转动,相对于转台的速率均为v。求转台对地面的角速度。

slide96

解:设转台对地面的角速度为,且逆时针运转

A

B

A相对于地面的角速度

B相对于地面的角速度

由角动量守恒

其中

slide97

可得

----顺时针运转

slide98

的均匀

例:

质量为M,长度为

细棒,可在竖直平面内绕过其中

的水平轴转动,开始时细棒

现有质量为

静止在水平位置。

速度

垂直

的小球( ‹

M)

落到棒的端点。设小球与棒作完

全弹性碰撞,求碰后小球的速度

和棒的角速度。

slide102

练习:一长为L,质量为m的均匀细棒和一质量为m的小球用细线挂着,如图放置。问当细线长l为多少时,小球与棒作完全弹性碰撞后刚好静止。练习:一长为L,质量为m的均匀细棒和一质量为m的小球用细线挂着,如图放置。问当细线长l为多少时,小球与棒作完全弹性碰撞后刚好静止。

m

l=?

mL

slide103

d

J

 b

§3-7 进 动

slide104

§3-8 刚体的平面平行运动

  • 刚体的平面平行运动:刚体运动时,刚体内所有的运动点都平行于某一平面(参考平面)
slide105

一.特点

  • 平行于参考平面的任一剖面运动状态相同
  • 角速度矢量垂直于参考平面
  • 取质心所在平面,刚体平面平行运动可分解为质心的运动和绕质心的转动
slide106

二.动能

三.运动定律

  • 质心运动定理
  • 绕质心的转动

----MC、JC、是相对质心轴而言的

slide107

【例】转轴光滑,初态静止,求下摆到 角时的角加速度,角速度,转轴受力。

slide108

解:刚体定轴转动

1、受力分析

2、关于O轴列转动定理

【思考】为什么不关于过质心轴列转动定理?

slide109

由求w :

方法二:

方法一:

slide112

设质心运动速度为 ,Pi 相对于质心的速度为

四.纯滚动(无滑动滚动)

  • 纯滚动:圆柱体在地面上只滚动而不滑动,即任何时刻圆柱体与地面的接触点相对于地面是静止的
  • 特点:
  • 接触点的瞬时速度vA=0
  • 摩擦力为静摩擦力
slide113

则Pi 相对于A(地面)的速度

对A点:

----纯滚动的必要条件

slide114

[例10]质量为m,半径为R的均匀圆柱体,在水平外力F的作用下在粗糙的水平面上作无滑动的滚动(纯滚动),力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l,求质心C的加速度和圆柱体所受的摩擦力(静摩擦力).[例10]质量为m,半径为R的均匀圆柱体,在水平外力F的作用下在粗糙的水平面上作无滑动的滚动(纯滚动),力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l,求质心C的加速度和圆柱体所受的摩擦力(静摩擦力).

slide115

解:由质心运动定律

绕质心轴转动

可得

slide116

y

C

R

f

x

mg

【练习】两个质量和半径都相同,但转动惯量不同的柱体,在斜面上作无滑动滚动,则:

(a)转动惯量大的滚得快

(b)转动惯量小的滚得快

(c)滚得快一样快

(a)滚动情况不确定

slide117

y

C

R

f

x

mg

【练习】两个质量和半径都相同,但转动惯量不同的柱体,在斜面上作无滑动滚动,哪个滚得快?

质心运动定理

过质心轴转动定理

纯滚动条件(运动学条件)

转动惯量小的滚得快!