刚体的转动

第四章 刚体的转动

§4-1 刚体的一般运动及 定轴转动刚体：在任何情况下都不发生变形的物体。物理模型 • 平动 • 转动一、刚体运动

刚体平动

刚体内任一点的运动代表整个刚体的运动 平动：刚体中任意两点的连线在运动中始终保持彼此平行。

物体作平动 c a b

转动: 刚体围绕某一固定直线 作圆周运动. 定轴转动:转轴固定不动的转动刚体的一般运动 = 转动 + 平动

刚体的一般运动=平动+转动

二、刚体定轴转动的描述 M 转动平面 0 P ω 转动平面：垂直于转动轴的平面。描述P点运动：角量：（角位移、角速度…）线量：（位移、速度…）

三、角速度矢量 M v θ 0 参 α 考方向 0 X

角速度与线速度的关系 M v θ 0 参 P α 考方向 0 X

y 角位置：角位移： o 角速度： x 复习

角速度矢量 复习 ω 角加速度：

角加速度矢量： 复习

线量与角量的关系： 复习

总结：定轴转动运动学两类问题： ，求角位移、 1、已知角速度、角加速度。，求角速度 2、已知、运动方程。与一维线量问题类似

§4-2 转动动能角动量转动惯量 刚体一、转动动能问题：任一刚体绕定轴以  转动其动能为多少？ m1, m2,m3,…... r1 , r2 , r3 , …….  , , , ……. r1 , r2 , r3 ,……

的转动动能：

整个刚体的转动动能：

令：为刚体饶定轴转动的转动惯量。则：

二、角动量 问题：任一刚体绕定轴以  转动其角动量为多少？

在刚体上取质元Pi，它相对于O的角动量为： M v θ Pi 0 α X 0 大小：

M v Pi 0 α X 0 所以在 Z 轴上的分量为：

二、角动量 问题：任一刚体绕定轴以  转动其角动量为多少？转动惯量

三、转动惯量 • 转动惯量是物体转动惯性大小 • 的量度。 • 转动惯量的大小与刚体的总质量、质量分布以及转轴的位置均有关系。

刚体转动惯量的求法： 1、分离质量刚体转动惯量的求法：

2、质量连续分布刚体转动惯量 的求法：

：质量元  对质量线分布刚体：：质量线密度  对质量面分布刚体：：质量面密度  对质量体分布刚体：：质量体密度

例：求质量为m，长为 l的均匀细棒对下列转轴的转动惯量。  过中心并垂直棒的轴； 过端点并垂直棒的轴； 距中心为 h 并垂直棒的轴。

m l 0 

m l 0 

m l 0 h 

m l 0 h 平行轴定理

讨论：平行轴定理 以质心C为坐标原点 Cz：质心轴 MN//Cz 对MN轴的转动惯量为 ----平行轴定理 *证明：

R dr r 例2：求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘半径为R，质量为m，密度均匀。

[问题]半径为R质量为m的均匀圆环,对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量[问题]半径为R质量为m的均匀圆环,对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量 m m

[练习]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量[练习]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量

[练习]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量[练习]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量解：圆环的质量密度为在环上取质量元dm，dm距转轴r

讨论：薄板的垂直轴定理 设刚性薄板平面为 xOy面 ----垂直轴定理

常见刚体的转动惯量 细棒薄圆盘球体细棒

§4-3 力矩转动定律 F r φ M d 一、力矩 1、力在转动平面内：

大小： F r 方向： φ M d

F F 1 转动 F r 2 平面只能引起轴的变形，对转动无贡献。 2、力不在转动平面内：

二、转动定律 证明如下：