Финансовая математика

1. Финансовая математика • Минасян В.Б. • к.ф.-м.н., доцент кафедры корпоративных финансов ВШФМ РАНХиГС при Президенте РФ. • Certified International Investment Analyst • (CIIA)

2. Типы моделей • В зависимости от глубины проникновения в реальные процессы, нужд практики и необходимой точности описания модели финансовой математики подразделяются на: • Статические • Динамические • Детерминированные • Стохастические (случайные) • Динамические модели подразделяются на: • Динамические модели с дискретным временем • Динамические модели с непрерывным временем

3. Модели финансовых процессов • Под финансовой математикой, в широком смысле, понимаются математические модели для описания процессов, происходящих на финансовых рынках, описания самих рынков и финансовых инструментов, применяемых на этих рынках. • Данные модели применяются для оценки важнейших финансово-экономических показателей, описания их взаимной зависимости и динамики во времени.

4. Простые методы • Самыми простыми моделями являются статические детерминированные модели. • Они присутствуют в финансовом менеджменте, когда мы анализируем ситуацию в данный момент, с помощью данных взятых из прошлого, рассматривая значения некоторых значимых финансовых величин или некоторых их комбинаций, имеющих важный смысл. • Например, анализируя (диагностируя) ситуацию в компании с помощью отчетности – применяя соответствующие коэффициенты.

5. Что мы успеем рассмотреть • Мы сначала рассмотрим динамические детерминированные модели с дискретным временем. • Мы лишь коснемся динамических стохастических моделей с дискретным временем.

6. Простейшая ситуация, • требующая введения дискретной модели • В дискретных моделях вводят понятие стандартного единого промежутка времени (чаще всего – год). И ситуационно, процесс описывают через каждый стандартный временной промежуток.

7. Простейшая ситуация, • требующая введения дискретной модели • Предположим, что Вы отдали в долг в момент О сумму Р=PV, и долг должны вернуть через n стандартных временных промежутков. • Общеизвестно, что должны вернуть сумму: • S = FV = P + I • 0 n • P S=P+I • I – процент,- доход в денежной форме, выплачиваемый кредитору за пользование его деньгами.

8. Схемы начисления процентов • Процентная ставка • Проценты начисляют по процентной ставке i на стандартном промежутке • I – процент за единичный промежуток времени

9. Схемы начисления процентов • Схема простых процентов • Проценты в размере i начисляются в конце каждого стандартного временного промежутка только на первоначально вложенную сумму Р • Схема сложных процентов • Проценты в размер i начисляются в конце каждого стандартного временного промежутка, но не только на первоначальную сумму Р, но и на все заработанные к этому моменту проценты.

10. Наращение процентов • Наращение простых процентов • 0 n • P S=P(1+ni) • Наращение сложных процентов • 0 n • P S=P(1+i) • n • Когда сумма Р вкладывается на банковский депозит, то в договоре между клиентом и банком фиксируется и ставка и схема начисления процентов.

11. Доходность = процентная ставка • При вложении суммы Р в финансовые инструменты (активы, бизнесы проекты) более сложные, чем банковский депозит, чаще всего сумма S=FV оказывается случайной. • Роль процентной ставки i здесь играет ожидаемая (средняя) доходность от данных вложений за единичное время.

12. n (1+i) • n • S=P(1+i) • Машина времени из настоящего • в будущее • Будет ли доходность i сложной или простой ставкой зависит от вас. • Будете ли вы совершать реинвестирование полученных доходов в конце каждого единичного промежутка времени? • при реинвестировании • S=P(1+ni) • без реинвестирования (1+ni) • и • соответствующие коэффициенты наращения • Концепция временной ценности денег.

13. 0 n • 0 n • Дисконтирование. • Машина времени из будущего в настоящее • Операция оценки современной ценности вложения по известной его будущей ценности называется дисконтированием • Дисконтирование по простой ставке. • S • Дисконтирование по сложной ставке. • S

14. Выбор ставки дисконтирования • Это нетривиальный вопрос. • Иногда, в качестве неё выбирают ставку альтернативной доходности. • Но финансовая теория рекомендует выбирать требуемую доходность, зависящую от уровня риска с которым сталкивается инвестор. • Этот непростой вопрос решается в недрах корпоративных финансов с помощью различных алгоритмов её оценки в виде WACC – средне-взвешенной доходности, которая зависит от стоимости долга и стоимости собственного капитала инвестора, уровня левериджа с которым он связан и уровнем структурного риска среды, в которой принимается решение.

15. Влияние инфляции на процентную ставку • Формула И. Фишера • Где i – номинальная (с учетом инфляции) ставка • - реальная ставка (очищенная от инфляции) • h– темп инфляции • Принцип: Номинальные денежные потоки дисконтировать по номинальным ставкам. • Реальные денежные потоки дисконтировать по реальным ставкам

16. Учет векселей по простой • и сложной учетной ставках • Вексель – это ордерная ценная бумага, подтверждающая безусловное обязательство векселедателя оплатить определенную сумму векселедержателю в определенное время в определенном месте. • Учет векселя – это его продажа с передачей права требования новому владельцу (банку)

17. Учет векселей, учетная ставка • Банк определяет учетную ставку на стандартном временном промежутке d. • И тогда учет векселей может происходить по простой и сложной учетной ставке d.

18. 0 n • 0 n • Учет векселей • по простой учетной ставке • S • - Номинальная ценность векселя • Векселедатель передает вексель банку и получает сумму Р • Учет векселей по сложной учетной ставке • S • Векселедатель передает вексель банку и получает сумму Р • Очевидно, что учет векселей связан с дисконтированием.

19. Наращение по учетной ставке • Если мы знаем сумму Р, которую получил векселедержатель при учете векселя, и учетную схему, то можно определить номинальную ценность векселя по одной из формул: • O n • P • В зависимости от того d – простая или сложная учетная ставка

20. Наращение годовой ставки чаще, чем раз в год • Эффективная ставка 1 год • 0 • m • Jm – годовая номинальная ставка. • Её m-ая доля начисляется в конце каждого интервала деления года на m равных частей с реинвестированием. • Эффективная годовая доходность • (Эффективная ставка) • Ценность вложения суммы Р через n лет

21. 0 1 2 3 • Понятие денежного потока • Денежным потоком (постнумерандо/пренумерандо) в течение n стандартных временных промежутков, называется множество денежных платежей или поступлений в конце, или, соответственно, в начале этих промежутков. • Мы, в основном, будем рассматривать потоки постнумерандо.

22. Понятие денежного потока • Если это денежный поток от инвестиционного проекта, то рассчитывают чистую приведенную ценность (NPV) проекта • Где i – требуемая ставка доходности • Критерий NPV • Если NPV>0, то проект, может быть, целесообразно реализовывать. • Если, то нецелесообразно финансирование проекта

23. IRR проекта • Критерий IRR • IRR проекта (внутренней ставкой доходности проекта) называется такая ставка i, при которой NPV(i)=0 • Критерий IRR • Пусть мы определяем IRR проекта, а i – требуемая ставка доходности. • Если IRR>i,то проект целесообразно реализовывать. • Если , то проект нецелесообразно реализовывать

24. Оценка аннуитетов • Аннуитетом называется денежный поток, в котором денежные суммы возникают через равные промежутки времени. • Мы рассмотрим постоянные аннуитеты, т.е. и сами суммы постоянны и возникают в конце периодов R R R R n n-1 2 1 0

25. Будущая ценность аннуитета • Современная ценность аннуитета

26. Перпетуитет • Вечный постоянный аннуитет (постнумерандо) называется перпетуитетом • Современная ценность перпетуитета