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第一章 空間向量

第一章 空間向量. 1-1空間概念. 目錄. 1-1空間概念 甲、空間中直線、平面的位置關係 乙、直線與平面的垂直關係 丙、兩相相異平面的夾角與垂直關係 丁、三垂線定理. 甲、空間中直線、平面的位置關係. 請看課本 p.6.

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第一章 空間向量

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  1. 第一章 空間向量 1-1空間概念

  2. 目錄 • 1-1空間概念 • 甲、空間中直線、平面的位置關係 • 乙、直線與平面的垂直關係 • 丙、兩相相異平面的夾角與垂直關係 • 丁、三垂線定理

  3. 甲、空間中直線、平面的位置關係 請看課本p.6 • 古希臘數學家歐幾里得（Euclid, 約西元前350 ~ 300年）在其所著的《幾何原本》中, 以幾何形象的直觀描述為定義（如：「線只有長度而沒有寬度」、「面只有長度與寬度而沒有厚度」）, 用少數不須證明的基本假設為公設（如：「相異兩點可決定一直線」、「一條直線可以繼續延長」）,並以合乎邏輯推演方法的演繹體系, 建構出平面幾何. 隨堂練習0 下一主題

  4. 甲、空間中直線、平面的位置關係 請看課本p.6 • 這是一部劃時代的巨著, 對整個數學的發展有著極其深遠的影響, 英國大科學家牛頓（Issac Newton, 1642~1727）在他的名著《自然哲學之數學原理》的序中就寫到：「從那麼少的幾條外來的原理, 就能取得那麼多的成果, 這是幾何學的光榮」. 隨堂練習0 下一主題

  5. 請看課本p.6 • 底下我們也列舉出空間中的一些公設： • 公設一：相異兩點恰可決定一直線. • 公設二：不共線三點恰可決定一平面. • 公設三：若直線L上有相異兩點落在平面E上, 則直線L在平面E上. • 公設四：若相異兩平面相交,則此兩平面相交於一直線. 圖1-2 三腳架與地面接觸的三點恰決定一平面 隨堂練習0 下一主題

  6. 請看課本p.7 • 對於空間中, 平面與平面、直線與平面、直線與直線的位置關係, 我們敘述如下： • 1. 空間中相異兩平面的位置關係 長方體(3D) 隨堂練習0 下一主題

  7. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 長方體(3D) 長方體(3D) 隨堂練習0 下一主題

  8. 請看課本p.7 • 2. 空間中直線與平面的位置關係 隨堂練習0 下一主題

  9. 直線L1與直線L2共平面 (3)直線L1與直線L2不共平面. （稱L1與L2歪斜） (1) 不相交.（稱L1與L2平行） (2)相交於一點. ‍‍ 請看課本p.7 • 3. 空間中相異兩直線的位置關係 • 　　如右圖長方體ABCD-EFGH中, 與 　 平行的稜邊有 　,,　 而與它歪斜的稜邊有 　,,,. 圖1-3 隨堂練習0 下一主題

  10. ‍‍隨堂練習0 請看課本p.8 請同學就你所處的環境中, 找到「一直線與一平面平行」、「一直線與一平面交於一點」、「一直線在一平面上」的例子. 請同學就你所處的環境中, 找到 「兩相異直線平行」、「兩相異直線歪斜」、「兩相異直線相交於一點」的例子. • 解： •  (1)一直線與一平面平行：如桌腳橫木與桌面. • (2)一直線與一平面交於一點：如桌腳與桌面. • (3)一直線在一平面上：如筆置於桌面. 隨堂練習0 返回 下一主題

  11. ‍‍隨堂練習0 請看課本p.8 請同學就你所處的環境中, 找到「一直線與一平面平行」、「一直線與一平面交於一點」、「一直線在一平面上」的例子. 請同學就你所處的環境中, 找到 「兩相異直線平行」、「兩相異直線歪斜」、「兩相異直線相交於一點」的例子. • 解： •  (1)兩相異直線平行：如桌面的相對兩邊. • (2)兩相異直線歪斜：如桌面前緣與桌之後腳. • (3)兩相異直線相交於一點：如桌面的相鄰兩 邊. 隨堂練習0 返回 下一主題

  12. 請看課本p.8 • 由公設及平行線的定義知,除了不共線三點可決定唯一平面外，下列三種情形也可決定唯一平面. 隨堂練習0 下一主題

  13. ‍‍乙、直線與平面的垂直關係 請看課本p.8 • 空間中直線與平面的垂直關係, 我們定義如下： • 若直線L與平面E交於一點P , • 且與平面E上通過P點的每一 • 條直線都垂直, 則稱直線L與 • 平面E垂直（於P點）. 前一主題 下一主題

  14. 請看課本p.8 • 根據定義, 直線L與平面E垂直於P點, 是指直線L垂直平面E上所有通過P點的直線, 事實上因為兩相交直線決定一平面, 所以只要能夠在平面E上找到過P點的兩條相異直線均與L垂直, 就可判定直線L與平面E垂直, 我們把這個性質寫成定理如下： 前一主題 下一主題

  15. 請看課本p.8 • 設直線L與平面E相交於P點, • 若直線L與平面E上通過P點 • 的兩相異直線L1 , L2垂直, 則直 • 線L與平面E垂直. • 證： • 在平面E上過P點任作一直線 　. 垂直線證明(3D) 前一主題 下一主題

  16. 請看課本p.9 • 證： • 在　上任取一點A (異於P ), 並過A點作一直線M, 使直線M交L1於B點, 交L2於C點 • 於L上分別在點P的不同側取Q, R兩點, 且使. • 因為　　　且　　　　. 所以L1為　 的中垂線 • 故　　　　. • 同理可得L2也為　 的中垂線, • 所以　　　　. 垂直線證明(3D) 前一主題 下一主題

  17. 請看課本p.9 • 證： • 在△BCQ與△BCR中,因為 　　　　,,, • 所以△BCQ△BCR(SSS), • 故　△QCB = △RCB, 亦即△QCA = △RCA. • 在△QCA與△RCA中,因為 　　　　, △QCA = △RCA,, • 所以△QCA△RCA(SAS), • 故 　　　　. 垂直線證明(3D) 前一主題 下一主題

  18. 請看課本p.9 • 證： • 在△QPA與△RPA中,因為 　　　　,, , • 所以△QPA△RPA(SSS) • 故△QPA=△RPA=90°, 即 　　　. • 因為L垂直平面E上的任一直線 　, 所以直線L與平面E垂直. 垂直線證明(3D) 前一主題 下一主題

  19. 請看課本p.9 • 設直線L垂直平面E於Q點, 且P為直線L上異於Q的點, 則 • 對平面E上異於Q的任意點R, △PQR皆為直角三角形, 且以 　 為斜邊, 故恆有 　> , 即E上的點與P點的連結線以 為最短，此最短線段長 • , 我們就稱為點P到平面E的距離. • Q點稱為P點在平面E上的投影點或垂足. • 若P‘點在直線L上, 與P點在平面E的兩側, 且, 則E稱為　　的垂直平分面, • 且 P與P’互為關於平面E的對稱點. （P在E上時, P關於E的對稱點為P.） 圖1-4 垂直線證明(3D) 前一主題 下一主題

  20. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 垂直線證明(3D) 垂直線證明(3D) 前一主題 下一主題

  21. 丙、兩相異平面的夾角與垂直關係 請看課本p.10 • 如圖1-5(a),直線L在平面E上,則直線L將平面E分割為H1 , H2 兩部分, 每一部分H1與H2 , 我們均稱為半平面(半平面不包含直線L). • 又若相異兩平面相交, 則此兩平面相交於一直線, 如圖1-5(b)所示. 圖1-5 (a) 圖1-5 (b) 圖 1-5 (c) 前一主題 例 1 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  22. 請看課本p.10 • 直線PQ及被直線PQ所分割的兩個半平面所成的幾何圖形（如圖1-5(c)）, 稱為二面角, 直線PQ稱為此二面角的稜. • 在二面角的稜上任取一點A, 過A點作一平面E與稜垂直, 若平面E與二面角截成一個角（如圖1-6 • 　　　 ）, 則 　　　的大小稱為此二面角的大小. 圖 1-5 (c) 圖 1-6 前一主題 例 1 隨堂1-1 下一主題 隨堂1-2

  23. 請看課本p.10 • 註： • 兩面角的大小與A點的選取無關. • 一般而言, 二面角的大小也可用下列方法求得: • 在稜上任取一點A, 並在兩半平面上分別作射線AB及射線AC與稜垂直, 則 　　　的大小即為此二面角的大小. • 相交於一直線的兩相異平面會形成四個二面角（如圖1-5(b)）, 這四個二面角的大小均稱為此兩相異平面的夾角. 可裁拼附錄三的圖(a)實作,以了解其意義.  前一主題 例 1 隨堂1-1 隨堂1-2 下一主題

  24. 例題1 請看課本p.11 • 試將附錄三的圖(b)裁拼成如右之立體圖形. • 如右圖A-BCD為一正四面體（每面皆為正三角形）,若M為　 的中點, • (1)試證：　　　為平面ABC與平面ABD的一個夾角. • (2)求 　　　　 ,並比較　　　 與 60˚的大小. • 解： • (1)因為 　　　與 　　　皆為正三角形, • 且M為 　 的中點, 所以 • （正三角形的中線垂直底邊）, • 故 　　　 為平面ABC與平面ABD的夾角. 折四面體(3D) 前一主題 例 1 隨堂1-1 返回 下一主題 隨堂1-2

  25. 例題1 請看課本p.11 • 試將附錄三的圖(b)裁拼成如右之立體圖形. • 如右圖A-BCD為一正四面體（每面皆為正三角形）,若M為　 的中點, • (1)試證：　　　為平面ABC與平面ABD的一個夾角. • (2)求 　　　　 ,並比較　　　 與 60˚的大小. • 解： • (2)令正四面體的稜長為a, 則正　　　與正　　　的高 　　　　　　　　, 折四面體(3D) 前一主題 例 1 隨堂1-1 返回 下一主題 隨堂1-2

  26. 例題1 請看課本p.11 • 試將附錄三的圖(b)裁拼成如右之立體圖形. • 如右圖A-BCD為一正四面體（每面皆為正三角形）,若M為　 的中點, • (1)試證：　　　為平面ABC與平面ABD的一個夾角. • (2)求 　　　　 ,並比較　　　 與 60˚的大小. • 解： • (2)由餘弦定理得 折四面體(3D) 前一主題 例 1 隨堂1-1 返回 下一主題 隨堂1-2

  27. 例題1 請看課本p.11 • 試將附錄三的圖(b)裁拼成如右之立體圖形. • 如右圖A-BCD為一正四面體（每面皆為正三角形）,若M為　 的中點, • (1)試證：　　　為平面ABC與平面ABD的一個夾角. • (2)求 　　　　 ,並比較　　　 與 60˚的大小. • 解： • (2)由於 • 所以 　　　　　（實際上 　　　　　　）. 折四面體(3D) 前一主題 例 1 隨堂1-1 返回 下一主題 隨堂1-2

  28. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 折四面體(3D) 折四面體(3D) 前一主題 例 1 隨堂1-1 下一主題 隨堂1-2

  29. ‍‍隨堂練習1-1 請看課本p.11 • 試將附錄三的圖(c)裁拼成如右之立體圖形. • 如右圖ABCD-EFGH為一正立方體, 若K為 　與 　的交點, • (1)試證：　　　為平面BEG與平面FEG的一個夾角. • (2)若 　　　　 , 求 　　的值. • 解： • 令正立方體的邊長為a, • 則正方形對角線 • 　且 　 與 　 互相垂直平分, 折正立方體(3D) 前一主題 例 1 隨堂1-1 返回 下一主題 隨堂1-2

  30. ‍‍隨堂練習1-1 請看課本p.11 • 試將附錄三的圖(c)裁拼成如右之立體圖形. • 如右圖ABCD-EFGH為一正立方體, 若K為 　與 　的交點, • (1)試證：　　　為平面BEG與平面FEG的一個夾角. • (2)若 　　　　 , 求 　　的值. • 解： • 所以 　　　　 　　　　　　　 折正立方體(3D) 前一主題 例 1 隨堂1-1 返回 下一主題 隨堂1-2

  31. ‍‍隨堂練習1-1 請看課本p.11 • 試將附錄三的圖(c)裁拼成如右之立體圖形. • 如右圖ABCD-EFGH為一正立方體, 若K為 　與 　的交點, • (1)試證：　　　為平面BEG與平面FEG的一個夾角. • (2)若 　　　　 , 求 　　的值. • 解： • (1)因為K為等腰△BEG的底邊中點, • 所以 　　　　, 又 　　　　, • 故　　　為平面BEG與平面FEG的一個夾角. 折正立方體(3D) 前一主題 例 1 隨堂1-1 返回 下一主題 隨堂1-2

  32. ‍‍隨堂練習1-1 請看課本p.11 • 試將附錄三的圖(c)裁拼成如右之立體圖形. • 如右圖ABCD-EFGH為一正立方體, 若K為 　與 　的交點, • (1)試證：　　　為平面BEG與平面FEG的一個夾角. • (2)若 　　　　 , 求 　　的值. • 解： • (2)因為 　　　　, • 所以 　　= 　　－ 　　= = , • 即 　　　　, 再由餘弦定理知 折正立方體(3D) 前一主題 例 1 隨堂1-1 返回 下一主題 隨堂1-2

  33. ‍‍隨堂練習1-1 請看課本p.11 • 試將附錄三的圖(c)裁拼成如右之立體圖形. • 如右圖ABCD-EFGH為一正立方體, 若K為 　與 　的交點, • (1)試證：　　　為平面BEG與平面FEG的一個夾角. • (2)若 　　　　 , 求 　　的值. • 解： (2) 折正立方體(3D) 前一主題 例 1 隨堂1-1 返回 下一主題 隨堂1-2

  34. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 折正立方體(3D) 折正立方體(3D) 前一主題 例 1 隨堂1-1 下一主題 隨堂1-2

  35. 請看課本p.12 • 當兩相異平面所夾之角為直角時, 我們稱此兩平面垂直. 前一主題 例 1 隨堂1-1 返回 下一主題 隨堂1-2

  36. ‍‍隨堂練習1-2 請看課本p.12 請同學就你所處的環境中, 找到「兩直線互相垂直」、「一直線與一平面垂直」、「兩平面互相垂直」的例子. • 解： • (1)兩直線互相垂直：如利樂包（長方體）任一面之相鄰兩邊. • (2)一直線與一平面垂直：如利樂包（長方體）共頂點的三面中任二面的交線與第三面. • (3)兩平面互相垂直：如利樂包（長方體）之相鄰兩面. 前一主題 例 1 隨堂1-1 返回 下一主題 隨堂1-2

  37. ‍‍ 丁、三垂線定理 請看課本p.12 • 三垂線定理 • 設直線AB垂直平面E於B點, L為平面E上不通過B點的一直線, • 若直線BC垂直直線L於C點,則直線AC垂直直線L於C點. • 若直線AC垂直直線L於C點,則直線BC垂直直線L於C點. 前一主題 隨堂2-1 例 2 下一主題 隨堂2-2

  38. 請看課本p.12 • 證： • (a)在直線L上取異於C的任意點P,連接 • (b)因為直線AB與平面E垂直於B點,所以 • 故　　　　　　　　　皆為直角三角形, • 所以　　　　　　　　    前一主題 隨堂2-1 例 2 下一主題 隨堂2-2

  39. 請看課本p.12 • 證： • (b)由+得 　　　　　　　　　　, • 再由得 　　　　　　　, • 故知 　　　是以 　　　為直角的直角三角形, • 因此直線AC與L垂直於C點. 可裁拼附錄一的圖(d), 實作以了解其意義.  前一主題 隨堂2-1 例 2 下一主題 隨堂2-2

  40. ‍‍隨堂練習2-1 請看課本p.13 試證上述「三垂線定理」的第小題. • 證： • (a)在L上取異於C的任意點P, 連接 　, . • (b)因為直線AB與平面E垂直於B點, • 所以 　　　　, , • 又 　　　　, 故 皆為直角三角形, 前一主題 隨堂2-1 例 2 返回 下一主題 隨堂2-2

  41. ‍‍隨堂練習2-1 請看課本p.13 試證上述「三垂線定理」的第小題. • 證： • 所以 　　　　　　　　　　　 • 由+得 　　　　　　　　　 　　, • 故知　　　 是以　　　為直角的直角三角形, • 因此直線BC與直線L垂直於C點.    前一主題 隨堂2-1 例 2 返回 下一主題 隨堂2-2

  42. 請看課本p.13 • 探討空間中的相交兩平面常常涉及到兩平面的夾角, 此時可利用三垂線定理來處理. 前一主題 隨堂2-1 例 2 下一主題 隨堂2-2

  43. ‍‍例題2 請看課本p.13 試將附錄三的圖(e)裁拼成如右之立體圖形. 如右圖, 兩平面E1 , E2的交線為L,且所成的二面角為60˚, 　 在E1上並與L的夾角為45˚, 若 　　　 ,試求點A到平面E2的距離. • 解： • (a)設點A在平面E2上的正射影點為 　, • 則 　　　E2 . 折二面角(3D) 前一主題 隨堂2-1 例 2 返回 下一主題 隨堂2-2

  44. ‍‍例題2 請看課本p.13 試將附錄三的圖(e)裁拼成如右之立體圖形. 如右圖, 兩平面E1 , E2的交線為L,且所成的二面角為60˚, 　 在E1上並與L的夾角為45˚, 若 　　　 ,試求點A到平面E2的距離. • 解： • (b)在平面E2上過 　點作　　　　, • 則由三垂線定理知 　　　, • 所以 　　　為兩平面E1 ,E2的夾角, 即 折二面角(3D) 前一主題 隨堂2-1 例 2 返回 下一主題 隨堂2-2

  45. ‍‍例題2 請看課本p.13 試將附錄三的圖(e)裁拼成如右之立體圖形. 如右圖, 兩平面E1 , E2的交線為L,且所成的二面角為60˚, 　 在E1上並與L的夾角為45˚, 若 　　　 ,試求點A到平面E2的距離. • 解： • (c)因為 　　　 　　　 , 折二面角(3D) 前一主題 隨堂2-1 例 2 返回 下一主題 隨堂2-2

  46. 三垂線定理 ‍‍例題2 請看課本p.13 試將附錄三的圖(e)裁拼成如右之立體圖形. 如右圖, 兩平面E1 , E2的交線為L,且所成的二面角為60˚, 　 在E1上並與L的夾角為45˚, 若 　　　 ,試求點A到平面E2的距離. • 解： •  • 所以 　　　　　　　　　　　　　　　, • 即點A到平面E2的距離為 　　.  折二面角(3D) 前一主題 隨堂2-1 例 2 返回 下一主題 隨堂2-2

  47. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 折二面角(3D) 折二面角(3D) 前一主題 隨堂2-1 例 2 下一主題 隨堂2-2

  48. ‍‍隨堂練習2-2 請看課本p.13 如右圖, 兩平面E1, E2相交於一直線 BX, A為平面E1上的點, 點A在 平面E2上的投影點為 　, 若 , 且二平面E1 , E2的夾角為60˚, 試求 　　　　的值. • 解： • (1)在平面E2上, 過 　作　　　直線BX. 前一主題 隨堂2-1 例 2 下一主題 隨堂2-2

  49. ‍‍隨堂練習2-2 請看課本p.13 如右圖, 兩平面E1, E2相交於一直線 BX, A為平面E1上的點, 點A在 平面E2上的投影點為 　, 若 , 且二平面E1 , E2的夾角為60˚, 試求 　　　　的值. • 解： • (2)因為　　　平面E2 , 　　　直線BX, • 所以 　 直線BX • （三垂線定理） 前一主題 隨堂2-1 例 2 下一主題 隨堂2-2

  50. ‍‍隨堂練習2-2 請看課本p.13 如右圖, 兩平面E1, E2相交於一直線 BX, A為平面E1上的點, 點A在 平面E2上的投影點為 　, 若 , 且二平面E1 , E2的夾角為60˚, 試求 　　　　的值. • 解： • (2)故 　　　為兩平面E1, E2的夾角, • 即 　　　　　. 前一主題 隨堂2-1 例 2 下一主題 隨堂2-2

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