工程数学第 2 讲

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第二章解析函数

§1 解析函数的概念

1. 复变函数的导数与微分i) 导数的定义定义 设函数w=f(z)定义于区域D, z0为D中一点, 点z0+Dz不出D的范围. 如果极限 • 存在, 则就说f(z)在z0可导, 此极限值就称为f(z)在z0的导数, 记作

也就是说, 对于任给的e>0, 存在d(e)>0, 使得当0<|Dz|<d时, 有 • 应当注意, 定义中z0+Dzz0(即Dz0)的方式是任意的, 定义中极限值存在的要求与z0+Dzz0的方式无关, 也就是说, 当z0+Dz在区域D内以任何方式趋于z0时, 比值

如果f(z)在区域D内处处可导, 就说f(z)在Ｄ内可导.例1求f(z)=z2的导数[解] 因为 • 所以 f '(z)=2z.

ii)可导与连续容易证明, 在z0点可导的函数必定在z0点连续.事实上, 由在z0点可导的定义, 对于任给的e>0, 相应地有一个d>0, 使得当0<|Dz|<d时, 有 • 由此得f(z0+Dz)-f(z0)=f '(z0)Dz+r(Dz)Dz (2.1.2)

iii) 求导法则与实函数同样的办法可得:1) (c)'=0, 其中c为复常数.2) (zn)'=nzn-1, 其中n为正整数.3) [f(z)g(z)]'=f '(z)g'(z).4) [f(z)g(z)]'=f '(z)g(z)+f(z)g'(z). • 6) {f[g(z)]}'=f '(w)g'(z), 其中w=g(z).

iv)微分的概念设函数w=f(z)在z0可导, 则有Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f '(z0)Dz+r(Dz)Dz, • 因此, |r(Dz)Dz|是|Dz|的高阶无穷小量, • 而f '(z0)Dz是函数w=f(z)的改变量Dw的线性部分, 称为函数w=f(z)在点z0的微分, 记作 • dw=f '(z0)Dz (2.1.3) • 如果函数在z0的微分存在, • 则称函数f(z)在z0可微.

dw=f '(z0)Dz (2.1.3)特别, 当f(z)=z时, 由(2.1.3)得dz=Dz. 于是(2.1.3)变为dw=f '(z)dz,即 • 由此可见, 函数w=f(z)在z0可导与在z0可微是等价的. • 如果f(z)在区域D内处处可微, • 则称f(z)在D内可微.

2. 解析函数的概念 定义如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导, 则称f(z)在z0解析, 如果f(z)在区域D内每一点解析, 则称f(z)在D内解析, 或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数) 如果f(z)在z0不解析, 则称z0为f(z)的奇点. 由定义可知, 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是, 函数在一点处解析和在一点处可导不等价. 即, 函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.

根据求导法则可知 定理1)在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的和,差,积,商(除去分母为零的点)在D内解析. 2)设函数h=g(z)在z平面上的区域D内解析, 函数w=f(h)在h平面上的区域G内解析. 如果对D内的每一个点z, 函数g(z)的对应值h都属于G, 则复合函数w=f[g(z)]在D内解析. 所有多项式在复平面内是处处解析的, 任何一个有理分式函数P(z)/Q(z)在不含分母为零的点的区域内是解析函数, 使分母为零的点是它的奇点.

§2 函数解析的充要条件

在工程中, 往往是要用复变函数来解决实际问题. 而实际问题中遇到的复变函数, 通常都是某个实变函数延拓而来的. 即, 如果原来有一个实变函数f(x), 自变量是实数, 函数值也是实数, 则将x用一个复数代替, 就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数.事实上我们只关心这样的复变函数. 比如说实变函数f(x)=x2-x+1, 则相应的延拓的复变函数就是f(z)=z2-z+1.经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数.

假设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数, 我们也可以将它看作是变量x,y的二元函数, 则对x求偏导和对y求偏导, 得两个公式

定理一设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内, 而f(z)在D内一点z=x+iy可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 并且在该点满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程定理二函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并满足柯西-黎曼方程(2.2.1).

例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析: 可知柯西-黎曼方程不满足, 所以w=z在复平面内处处不可导, 处处不解析 • [解] 1) 因为u=x, v=-y,

2) 因为u=excos y, v=exsin y, • 柯西-黎曼方程成立, 由于上面四个偏导数都是连续的, 所以f(z)在复平面内处处可导, 处处解析, 且根据(2.2.2)式有 • f '(z)=ex(cos y+isin y)=f(z) • 今后将知道这个函数就是指数函数ez.

3) 由w=zRe(z)=x2+ixy, 得u=x2, v=xy, 所以 • 容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.

例2 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析?[解] 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,vx=2cx+dy, vy=dx+2y从而要使ux=vy, uy=-vx,只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by.因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复平面内处处解析, 这时f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2) =(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2

例3 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常数.[证] 因为 • 所以u=常数, v=常数, 因而f(z)在D内是常数.

例4 如果f(z)=u+iv为一解析函数, 且f '(z)0, 则曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交, 其中c1, c2为常数.[证] 由于f '(x)=-iuy+vy0, 故uy与vy不全为零.如果在曲线的交点处uy与vy都不为零, 由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为 k1=-ux/uy和k2=-vx/vy,利用柯西-黎曼方程得k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)=-1因此, 二曲线族互相正交. 如果uy与vy其中有一个为零, 则另一个必不为零, 此时易知交点的切线一条是垂直,一条是水平,仍然正交.

§3 初等函数

1, 指数函数 希望能够在复平面内定义一个函数f(z)具有实函数中的指数函数ex的三个性质:i) f(z)在复平面内解析;ii) f '(z)=f(z)iii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中z=Re(z)前面的例1中已经知道, 函数f(z)=ex(cos y+i sin y)是一个在复平面处处解析的函数, 且有f '(z)=f(z), 当y=0时, f(z)=ex. f(z)称为指数函数.记作 exp z=ex(cos y+isin y). (2.3.1)等价于关系式: |exp z|=ex, Arg(exp z)=y+2kp (2.3.2)

由(2.3.2)中的第一式可知exp z0.跟ex一样, exp z也服从加法定理: exp z1+exp z2 = exp(z1+z2) (2.3.3)事实上, 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有

鉴于exp z满足条件iii), 且加法定理也成立, 为了方便, 往往用ez代替exp z. 但是必须注意, 这里的ez没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的符号使用, 因此我们就有ez=ex(cos y+isin y) (2.3.4)特别, 当x=0时, 有eiy=cos y+isin y (2.3.5)由加法定理, 我们可以推出exp z的周期性, 它的周期性是2kpi, 即ez+2kpi=eze2kpi=ez其中k为任何整数.

2.对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数. 将满足方程ew=z (z0)的函数w=f(z)称为对数函数. 令w=u+iv, z=reiq, 则 eu+iv=reiq,所以 u=ln r, v=q.因此 w=ln|z|+iArg z由于Arg z为多值函数, 所以对数函数w=f(z)为多值函数, 并且每两个值相差2pi的整数倍,记作Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)

Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z为一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因此ln z = ln|z|+iarg z (2.3.7)而其余各值可由Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) (2.3.8)表达. 对于每一个固定的k, (2.3.8)式为一单值函数, 称为Ln z的一个分支.特别, 当z=x>0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实变数对数函数.

例1求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值.[解] 因为Ln 2=ln 2+2kpi, 所以它的主值就是ln2. 而Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k为整数), 所以它的主值是ln(-1)=pi.在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的. 因此, 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广. 利用幅角的性质不难证明:

对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它点都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不连续. 因为若设z=x+iy, 则当z<0时, • 所以, 除去原点与负实轴, 在复平面内其它点ln z处处连续. 综上所述, z=ew在区域 • -p<v=arg z<p内的反函数w=ln z是单值的, 由反函数求导法则可知:

所以, ln z在除去原点及负实轴的平面内解析. 由(2.3.8)式就可知道, Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析, 并且有相同的导数值.今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.

3. 乘幂ab与幂函数在高等数学中, 如果a为正数, b为实数, 则乘幂ab可表示为ab=eblna, 现在将它推广到复数的情形. 设a为不等于0的一个复数, b为任意一个复数, 定义乘幂ab为ebLna, 即ab=ebLn a (2.3.9)由于Ln a=ln|a|+i(arg a+2kp)是多值的, 因而ab也是多值的. 当b为整数时, 由于ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kp)] =eb(ln|a|+iarg a)+2kbpi=eblna,所以这时ab具有单一的值.

当b=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于 • ab具有q个值, 即当k=0,1,...,(q-1)时相应的各个值. • 除此而外, 一般而论ab具有无穷多个值.

zn在复平面内是单值解析函数, (zn)'=nzn-1.

4. 三角函数和双曲函数根据(2.3.5)我们有eiy=cos y+isin y e-iy=cos y-isin y将这两式相加与相减, 分别得到 • 现将其推广到自变数取复值的情形, 定义当z为实数时, 显然这与(2.3.12)完全一致.

由于ez是以2pi为周期的周期函数, 因此cos z和sin z以2p为周期, 即cos(z+2p)=cos z, sin(z+2p)=sin z.也容易推出cos z是偶函数: cos(-z)=cos z而sin z是奇函数: sin(-z)=-sin z由指数函数的导数公式可以求得(cos z)'=-sin z, (sin z)'=cos z由(2.3.13), 易知eiz=cos z+isin z (2.3.14)普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立.

由定义可知三角函数许多公式仍然成立 • 由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, • sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. • 但当z为纯虚数iy时, 我们有

与三角函数密切相关的是双曲函数, 定义 • 分别称为双曲余弦,正弦和正切函数. • chz和shz都是以2pi为周期的函数, chz为偶函数, shz为奇函数, 它们都是复平面内的解析函数, 导数分别为: • (chz)'=shz, (shz)'=chz (2.3.18) • 不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny (2.3.19)

5. 反三角函数与反双曲函数 反三角函数定义为三角函数的反函数, 设z=cos w,则称w为z的反余弦函数, 记作w=Arccos z.

用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数, 并且重复上述步骤, 可以得到它们的表达式:

反双曲函数定义为双曲函数的反函数. 用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤, 可以得到各反双曲函数的表达式: 它们都是多值函数.

作业第二章习题 第66页第2,3题

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