第三章随机模拟

第三章随机模拟 • [知识要点] • 本章的主要内容是随机数的产生及模拟的方法和应用，另外本章的最后还讲述了模拟的样本容量的确定问题。 • 1、随机模拟方法 • 又称蒙特卡罗（Monte Carlo）方法或统计试验法，是指随机系统可以用概率模型来描述并进行试验的方法。

随机模拟方法可应用于如下情况： • （1)在费用和时间上均难以对风险系统进行大量实测； • （2）由于实验风险系统的损失后果严重而不能进行实测； • （3）难以对复杂的风险系统构造精确的解析模型； • （4）用解析模型不易求解；

模拟的基本步骤如下： • （1）建立恰当模型； • （2）统计试验方法； • （3）从概率分布中重复生成随机数；

2、均匀分布的随机数 • 产生均匀分布随机数的几种方法； • （1）检验法； • （2）物理方法； • （3）数学方法。

数学方法常见的有平方取中法、倍积取中法、乘同余法、二阶与三阶线性同余法。数学方法常见的有平方取中法、倍积取中法、乘同余法、二阶与三阶线性同余法。 • 平方取中法又称自然取中法，用数学式子表示就是：

按此公式依次可得到一个随机数列，以该数列的每一个元素除以10N,可得到[0，1]区间上均匀分布的随机数列按此公式依次可得到一个随机数列，以该数列的每一个元素除以10N,可得到[0，1]区间上均匀分布的随机数列例1 取初值wn=3456,则wn2=11943936，取中间4位数字9439为w1，则w12 =94392=890 947 21，可知w2 =947,w22=9472=896 809，则 u1=0.9439,u2=0.0947,u3 =0.9680,…。倍积取中法与平方取中法唯一的区别是产生wi序列的方法不是平方取中法而是固定的倍数再取中，看下例：

例2 取N=4，K=1234，w0=5678,则w1=K*w0 =12345*5678 =7006652 ,取中间4位数字0665为 w1，从而 u1=w1/104=665/104=0.0665 而w2=1234*665=820 610,得u2=2061/104=0.2061,再得w3=1234*2061 =2543274,得u3=4327/104=0.4327,…。乘同余法产生随机数的递推式为： wn=k1 wn-1 (Mod m) (0≤ wn＜m) un=wn/n1

乘同余法又称一阶线性同余法，它是混合同余法的一个特例，用混合同余法产生随机数的递推式为：乘同余法又称一阶线性同余法，它是混合同余法的一个特例，用混合同余法产生随机数的递推式为： • wn=k1 wn-1 +I(Mod m) (0≤ wn＜m) • un=wn/m • 其中k1 , I , m 和种子w0为正整数。 • 二阶和三阶线性同余法的递推式如下： • wn=k1 wn-1+k2 wn-2 (Mod m) • wn=k1 wn-1+k2 wn-2 +k3 wn-3 (Mod m) • un=wn/m

例3 用二阶线性同余法产生3个[0，1]区间上均匀分布的随机数，m=998 917， k1=36 6528， k2=508 531 , • w0=931 125 , w1=970 710 。 • 解 w2=k1 w1+k2w0=366528*970710+508531*931125 (Mod 998917) • 假设w3=541290,则有u2=541290/998 917=0.5419 • w4=k1 w3+k2 w2=366528*541290+508531*456531 • 假设w4=236974，则有u3=236974/998917=0.2372 • 若要产生[a , b ]区间上均匀分布的随机数Qn，只要将[0 ，1]区间上均匀分布的随机数un做线性变换Qn=a+(b-a)un即可。

3、各种分布的随机数 • 一段分布的随机数的产生常见的方法有反函数法、取舍法、Box-Muller方法和极方法。 • （1）反函数法：若X~F(x),令X=F-1(u),则X就是所要求的随机数，其中u为[0，1]上均匀分布的随机数。 • （2）取舍法：若X的分布密度函数ƒ(x)可分解为： • ƒ(x)=C•h(x)•g(x) • 其中C为大于等于1的常数，0＜g(x) ≤ 1， h(x)是一个简单的密度函数。先产生均匀分布的随机数u和对应h(x)的随机数y，若u≤ g(y),则令x=y，否则新生成均匀分布的随机数u。

（3） Box-Muller方法： • 首先产生[0，1]区间上两个独立的均匀分布的随机数u1与u2,则： • x1=(-2lnu1)1/2 cos(2πu2) • x2=(-2lnu2)1/2 sin(2 πu2) • 就是两个相互独立的服从N（0，1）分布的随机数。

（4）极方法 • 首先生成[-1，1]区间上均匀分布的随机数u1和u2，令vi=2ui-1,i=1,2以及ρ =vi2+v22 ,若ρ>1，重新生成u1和u2，否则，令： • 则 x1,x2是两个相互独立的N（0，1）分布的随机数。

（5）用中心极限定理 • 用中心极限定理有可产生N（0，1）分布的随机数： • 其中ui是[0，1]区间上均匀分布的随机数，i=1,2,…,6,x就是一个N（0，1）分布的一个随机数。

（6）用随机变量之间的关系来求某些分布的随机数（6）用随机变量之间的关系来求某些分布的随机数 • 例如求χ2分布的随机数，首先生成n个独立的N（0，1）分布的随机数N1，N2，…，Nn，则是自由度为n的χ2分布的一个随机数

（7）对于离散型随机变量的模拟，同样用反函数法：（7）对于离散型随机变量的模拟，同样用反函数法： • 例如模拟参数为n , p的二项分布，记为： • 则二项分布的一个随机数x可按如下过程得到： • 生成[0，1]区间上均匀分布的随机数u，若u<F0，则令x=0；若 • Fk-1≤ u <Fk，则令x=k，0可k就是[0，1]区间上均匀分布的随机数。 • 这实质上就是反函数法。 • （8）泊松分布的随机数可用分数乘积法，用公式表述如下： • 则满足上式的x为泊松分布的一个随机数。 • 例4 产生λ=0.1的泊松分布的随机数。

解 e-1 =0.9048，再产生一系列均匀分布的随机数： • 0.7359 , 0.1043 , 0.2689 , 0.9204 , 0.1125 , 0.5734 , 0.6904 • 0.7374, 0.7374, 0.2109 , 0.3844 , … • e-1 = 0.9408 > 0.7359 , 则 x = 0 • e-1 = 0.9408 > 0.1043 , 则 x = 0 • e-1 = 0.9408 > 0.2689 , 则 x = 0 • e-1 = 0.9408 > 0.9204*0.1125 , 则 x = 1 • e-1 = 0.9408 > 0.5734 , 则 x = 0 • e-1 = 0.9408 > 0.6904 , 则 x = 0 • e-1 = 0.9408 > 0.7374, 则 x = 0 • e-1 = 0.9408 > 0.7374* 0.2109 , 则 x = 1 • e-1 = 0.9408 > 0.3844 , 则 x = 0 • 每行后面的x的值就是λ=0.1的泊松分布的随机数。 • （9）当λ较大时，用分数乘积法产生泊松分布的随机数将很繁杂，此时可用中心极限定理来产生泊松分布的随机数。 • 步骤是： ① 先产生[0，1]区间上均匀分布的随机数u； ② 计算相应的标准正态分布的随机数Z； ③ 计算；④ 计算最

接近于 的正整数，此整数就是所求的泊松分布的随机数。 • （10）复合型随机变量分布的模拟： • 设（Xi 是独立同分布的随机变量） • 要产生S的随机数，先产生N的分布的随机数n1，然后再生成n 个Xi分布的随机数x1 , x2 , … , xn1, 就是S分布的一个随机数。 • （11）正态随机向量的模拟： • 详见谢志刚、韩天雄编著的《风险理论与非寿险精算》P86第7行——P87第4行。 • 4、模拟的应用 • （1）计算积分； • （2）估计保费； • （3）计算一些超越数的值，例如π； • （4）质量检验； • （5）科学探索。 • 5、样本容量问题 • 由于都是大次数的，因此中心极限定理便起到了重要的作用。

[重点难点分析] • 本章重点是均匀分布、泊松分布、正态分布、负二项分布、二点分布、二项分布、指数分布、Γ分布、χ2分布、对数正态分布、复合泊松分布、复合负二项分布等分布的随机数的产生。 • 模拟的应用是本章的又一个重点。 • 例5 用Box-Muller方法产生正态随机数的公式是下列陈述的哪一项？： • A、(-2lnu1)1/2 cos(2πu2)，其中u1，u2是两个[0，1]区间上均匀分布且相互独立的随机数 • B、，其中u1，u2 与选现A中的含义相同 • C、其中u1，u2 与选现A • 中的含义相同 • D、，其中u1与u2 是[-1，1]区间 • 上两个均匀分布且相互独立的随机数

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