Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

1. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος είναι πολυωνυμικού χρόνου εάν ο χρόνος εκτέλεσης είναι πολυωνυμικός ως προς το TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

2. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Σύνολο ακεραίων Σύνολο φυσικών Έστω ακέραιοι . Συμβολισμός: - ο διαιρεί τον Πρώτος αριθμός : μοναδικοί διαιρέτες του: π.χ. Θεώρημα της διαίρεσης Έστω ακέραιοι και . Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοικαι τέτοιοι ώστεκαι TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

3. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Θεώρημα της διαίρεσης Έστω ακέραιοι και . Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοικαι τέτοιοι ώστεκαι πηλίκο υπόλοιπο Κλάση ισοδυναμίας modulo n κλάση ισοδυναμίας του π.χ. Για απλότητα γράφουμε όπου υπονοείται TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

4. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Κοινοί διαιρέτες Έστω και . Τότε για οποιαδήποτε μέγιστος κοινός διαιρέτηςτων Θεώρημα Έστω το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών δύο ακεραίων όπου τουλάχιστον ένας είναι . Τότε Απόδειξη Έστωκαι έστω Έχουμε Αφού, πρέπει Ομοίως, πρέπει . Επομένως TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

5. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Κοινοί διαιρέτες Έστω και . Τότε για οποιαδήποτε μέγιστος κοινός διαιρέτηςτων Θεώρημα Έστω το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών δύο ακεραίων όπου τουλάχιστον ένας είναι . Τότε Απόδειξη Όμωςκαι Επομένως Προηγουμένως δείξαμε ότι , άρα συνεπάγεται TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

6. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Ιδιότητες • και • για οποιοδήποτεμη αρνητικό • και TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

7. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αμοιβαία Πρώτοι Ακέραιοι π.χ. για κάποιους Θεώρημα Αν και τότε Θεώρημα Έστω πρώτος αριθμός. Αν τότε ή (ή και τα δύο). TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

8. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Θεώρημα Μοναδικής Παραγοντοποίησης Οποιοσδήποτε σύνθετος ακέραιος μπορεί να γραφτεί με έναν και μόνο τρόπο ως γινόμενο της μορφής όπου τα είναι πρώτοι αριθμοί,, και τα θετικοί ακέραιοι. Η παραγοντοποίηση σύνθετων ακέραιων είναι δύσκολο πρόβλημα, (ειδικά για αριθμούς της μορφήςόπου μεγάλοι πρώτοι αριθμοί) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

9. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Έστω θετικοί ακέραιοι με παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς και Τότε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

10. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπουείναι θετικοί ακέραιοι int Euclid(inta, intb) { if b==0 return a; return Euclid(b, a%b); } Παράδειγμα Euclid (128,40)= Euclid (40,8)= Euclid (8,0)= 8 Ευκλείδης (300 πΧ) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

11. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπουείναι θετικοί ακέραιοι Απόδειξη Έστω και Ευκλείδης (300 πΧ) Έχουμε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

12. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπουείναι θετικοί ακέραιοι Απόδειξη Έστωκαι Ευκλείδης (300 πΧ) Έχουμε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

13. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπουείναι θετικοί ακέραιοι Ιδιότητα: Αν τότε Ευκλείδης (300 πΧ) 0 a b a/2 Απόδειξη: a mod b 0 a/2 b a a mod b TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

14. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπουείναι θετικοί ακέραιοι Ιδιότητα: Αν τότε Ευκλείδης (300 πΧ) 0 a b a/2 a mod b χρειάζονται αναδρομικές κλήσεις κλήσειςγια αριθμούς των bits 0 a/2 b a a mod b TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

15. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπουείναι θετικοί ακέραιοι Λήμμα: Αν και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις, τότε Ευκλείδης (300 πΧ) και , όπουοι αριθμοί Fibonacci Απόδειξη Με επαγωγή ως προς . Βάση Τότε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

16. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπουείναι θετικοί ακέραιοι Λήμμα: Αν και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις, τότε Ευκλείδης (300 πΧ) και , όπουοι αριθμοί Fibonacci Απόδειξη Επαγωγικό βήμα . . Επιπλέον TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

17. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπουείναι θετικοί ακέραιοι Λήμμα: Αν και ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις, τότε Ευκλείδης (300 πΧ) και , όπουοι αριθμοί Fibonacci Απόδειξη Επαγωγικό βήμα . . Επιπλέον Άρα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

18. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπουείναι θετικοί ακέραιοι Θεώρημα του Lame Για οποιοδήποτε ακέραιο , αν και Ευκλείδης (300 πΧ) , τότε ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

19. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη Βασίζεται στον κανόνα όπουείναι θετικοί ακέραιοι Θεώρημα του Lame Για οποιοδήποτε ακέραιο , αν και Ευκλείδης (300 πΧ) , τότε ο αλγόριθμος του Ευκλείδη πραγματοποιεί αναδρομικές κλήσεις Χειρότερη περίπτωση: TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

20. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη - Επέκταση Υπολογίζει τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού Ευκλείδης (300 πΧ) TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

21. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Αλγόριθμος του Ευκλείδη - Επέκταση Υπολογίζει τους συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού Ευκλείδης (300 πΧ) Άρα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

22. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Πρόσθεση modulo n TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

23. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Ομάδα διμελής πράξη επί του σύνολο στοιχείων Ιδιότητες Κλειστότητα:Για όλα τα ισχύει 2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει τέτοιο ώστε 3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα , ισχύει ότι 4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

24. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Ομάδα διμελής πράξη επί του σύνολο στοιχείων Ιδιότητες Κλειστότητα:Για όλα τα ισχύει 2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει τέτοιο ώστε 3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα , ισχύει ότι 4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε Αβελιανή Ομάδα: Ικανοποιεί επιπλέον 5. Αντιμεταθετικότητα: Για όλα τα ισχύει TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

25. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Ομάδα διμελής πράξη επί του σύνολο στοιχείων Ιδιότητες Κλειστότητα:Για όλα τα ισχύει 2. Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει τέτοιο ώστε 3. Προσεταιριστικότητα: Για όλα τα , ισχύει ότι 4. Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε Αβελιανή Ομάδα: Ικανοποιεί επιπλέον 5. Αντιμεταθετικότητα: Για όλα τα ισχύει Πεπερασμένη Ομάδα: TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

26. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Ομάδες επί του Έστω και Έχουμε Πρόσθεση modulo n : προσθετική ομάδα modulo n Είναι πεπερασμένη ομάδα με Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

27. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Ιδιότητες Κλειστότητα: 2. Ουδέτερο στοιχείο: 3. Προσεταιριστικότητα: 4. Αντίστροφο στοιχείο: 5. Αντιμεταθετικότητα: TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

28. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Ομάδες επί του Έστω και Έχουμε Πολλαπλασιασμός modulo n : πολλαπλασιαστική ομάδα modulo n όπου Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

29. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Ιδιότητες Κλειστότητα: 2. Ουδέτερο στοιχείο: 3. Προσεταιριστικότητα: 4. Αντίστροφο στοιχείο: 5. Αντιμεταθετικότητα: TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

30. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Ιδιότητες 4. Αντίστροφο στοιχείο: π.χ. έχουμε άρα πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του Διαίρεση στο : π.χ. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

31. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Ομάδες επί του Θεώρημα Το σύστημα είναι πεπερασμένη αβελιανή ομάδα Συνάρτηση φ του Euler π.χ. Για πρώτο αριθμό : Για σύνθετο αριθμό : TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

32. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Ομάδες επί του Απλοποιημένες αναπαραστάσεις TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

33. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υποομάδες Ομάδα Σύστημα Αν το είναι ομάδα τότε λέμε ότι το είναι υποομάδα του Θεώρημα Αν το είναι πεπερασμένη ομάδα και τέτοιο ώστε για όλα τα , τότε το είναι υποομάδα του π.χ.και TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

34. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υποομάδες Ομάδα Σύστημα Αν το είναι ομάδα τότε λέμε ότι το είναι υποομάδα του Θεώρημα Αν το είναι πεπερασμένη ομάδα και τέτοιο ώστε για όλα τα , τότε το είναι υποομάδα του Θεώρημα του Lagrange Αν είναι πεπερασμένη ομάδα καιείναι υποομάδα της τότε το είναι διαιρέτης του TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

35. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υποομάδες Ομάδα Σύστημα Αν το είναι ομάδα τότε λέμε ότι το είναι υποομάδα του Θεώρημα Αν το είναι πεπερασμένη ομάδα και τέτοιο ώστε για όλα τα , τότε το είναι υποομάδα του Θεώρημα του Lagrange Αν είναι πεπερασμένη ομάδα καιείναι υποομάδα της τότε το είναι διαιρέτης του Γνήσια υποομάδα Πόρισμα Αν είναι πεπερασμένη ομάδα καιείναι γνήσια υποομάδα της τότε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

36. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υποομάδεςπου γεννώνται από στοιχεία Ομάδα Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης από ένα που έχουμε επιλέξει π.χ. τότε για έχουμε την ακολουθία TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

37. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υποομάδεςπου γεννώνται από στοιχεία Ομάδα Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης από ένα που έχουμε επιλέξει Από την προσεταιριστικότητα της έχουμε Υποομάδα που γεννάται από το : π.χ. στο TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

38. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υποομάδεςπου γεννώνται από στοιχεία Ομάδα Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης από ένα που έχουμε επιλέξει Από την προσεταιριστικότητα της έχουμε Υποομάδα που γεννάται από το : π.χ. στο TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

39. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υποομάδεςπου γεννώνται από στοιχεία Ομάδα Παίρνουμε όλα τα στοιχεία που παράγονται μέσω της πράξης από ένα που έχουμε επιλέξει Από την προσεταιριστικότητα της έχουμε Υποομάδα που γεννάται από το : Τάξη του : δηλαδή ο μικρότερος θετικός ακέραιος που δίνει το ουδέτερο στοιχείο Θεώρημα Έστω πεπερασμένη ομάδα και . Τότε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

40. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υποομάδεςπου γεννώνται από στοιχεία Θεώρημα Έστω πεπερασμένη ομάδα και . Τότε Απόδειξη Έστω άρα Συνεπάγεται ότι για κάθε υπάρχει τέτοιο ώστε Επομένως Απομένει να δείξουμε ότι τα στοιχεία είναι όλα διαφορετικά Έστωόπου . Τότε ισχύει οπότε για έχουμε Όμωςάραπρέπει , δηλαδή καταλήγουμε σε άτοπο TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

41. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υποομάδεςπου γεννώνται από στοιχεία Θεώρημα Έστω πεπερασμένη ομάδα και . Τότε Πόρισμα Η ακολουθία είναι περιοδική με περίοδο Δηλαδή Ορίζουμε Πόρισμα Έστω πεπερασμένη ομάδα και . Τότε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

42. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Δίνονται ακέραιοιόπου Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις της εξίσωσης TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

43. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Δίνονται ακέραιοιόπου Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Υπό ποιες προϋποθέσεις υπάρχει λύση; Έστω η υποομάδα της που γεννάται από το Παρατηρούμε ότι επομένως για να υπάρχει λύση πρέπει TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

44. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Δίνονται ακέραιοιόπου Θέλουμε να βρούμε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Έστω η υποομάδα της που γεννάται από το . Πρέπει Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

45. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως Απόδειξη Έστω η τριάδα που επιστρέφει η κλήση Άρα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

46. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως Απόδειξη Έστω η τριάδα που επιστρέφει η κλήση Άρα Απομένει να δείξουμε Έστω . Τότε υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε και . Όμωςκαι άρα TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

47. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, όπου θετικοί ακέραιοι. Τότε και επομένως Πόρισμα Η εξίσωση είναι επιλύσιμη ως προς το εάν και μόνο εάν Πόρισμα Η εξίσωση είτε έχει διαφορετικές λύσεις modulo n είτε καμία TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

48. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Θεώρημα Έστω, και ακέραιοι τέτοιοι ώστε Εάν τότε μια από τις λύσεις της εξίσωσης είναιη Θεώρημα Έστω , και μια λύση της εξίσωσης Τότε αυτή η εξίσωση έχει ακριβώς λύσεις, modulo n, οι οποίες δίνονται από τη σχέση TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

49. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Υπολοιπικές Γραμμικές Εξισώσεις Πόρισμα Για οποιοδήποτε , εάν , τότε ηεξίσωση έχει μοναδική λύση, modulo n. Πόρισμα Για οποιοδήποτε , εάν , τότε ηεξίσωση έχει μοναδική λύση, modulo n. Σε αντίθετη περίπτωση δεν έχει καμία λύση. Εάν η εξίσωση έχει λύση τότε η μοναδική λύση της είναι ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του Έστω Τότε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA

50. Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπου Έστω όπου τα είναι αμοιβαία πρώτοι ανά δύο αριθμοί. Η απεικόνισηόπουκαι είναι 1-προς-1 αντιστοιχία (ισομορφισμός) Οι πράξεις που εκτελούνται στα στοιχεία του μπορούν να μεταφερθούν στις -αδες εκτελούμενες ανεξάρτητα. Δηλαδή, εάν και τότε TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA