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CÁLCULO DE DERIVADAS DÍA 42 * 1º BAD CS

CÁLCULO DE DERIVADAS DÍA 42 * 1º BAD CS. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE FUNCIÓN. REGLA DE LA CADENA Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo y = f(g(x)) que y = g(f(x))

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CÁLCULO DE DERIVADAS DÍA 42 * 1º BAD CS

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  1. CÁLCULO DE DERIVADASDÍA 42 * 1º BAD CS

  2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE FUNCIÓN • REGLA DE LA CADENA • Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo • y = f(g(x)) que y = g(f(x)) • Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas. • Sea y = f(g(x))  y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) • Sea y = g(f(x))  y’ = g ‘ (f(x)) . f ‘ (x) • Ejemplos • Sea y = sen7 x  Función polinómica  y ‘ = 7. sen6 x . cos x • Sea y = sen x7 Función trigonométrica  y ‘ = cos x7 . 7. x6

  3. DERIVADAS DE F. COMPUESTAS • DERIVADA DEL LOGARITMO DE UNA FUNCIÓN • Sea y = Ln f(x) • y ‘ = f ‘ (x) / f (x) • Ejemplos: • y = ln ex y’ = ex / ex = 1 • y = ln (x3 – 2x)  y’ = (3.x2 – 2) / (x3 – 2x) • y = ln √x  y’ = [1/(2.√x)] / √x = 1 / 2x • y = ln (5.x2 – 2.ex)  y’ = (10.x – 2.ex ) / (5.x2 – 2.ex) • y = ln sen x + sen ln x  y’ =( cos x / sen x ) + ( cos ln x). 1/x • y = cos ln x5 y’ = - sen ln x5 .(5.x4 / x5) = - sen ln x5 .(5 / x)

  4. DERIVADAS DE F. COMPUESTAS • DERIVADAS LOGARÍTMICAS • Sea y = loga f(x)  y ‘ = f ‘ (x) / f (x). ln a • Veamos: ay = f(x)  y.ln a = ln f(x) • y= ln f(x) / ln a  y’ = f’(x) / f(x).ln a • Ejemplos: • y = log (9x2 + 4x)  y’ = (18.x + 4) / [(9x2 + 4x).ln 10] • y = log (ex – √x) y’ = (ex – 1/2√x) / [(ex – √x).ln 10] • y = cos log x  y’ = – sen log x . (1 / x.ln 10) • y = log3 ex – log5 e – x  y’ = ex / ex ln 3 + e – x / e– x ln 5 = 1/ln3 + 1/ln5 • y = tg (log sen x)  y’ = [ 1 / (cos2 (ln sen x) ]. (cos x / sen x. ln10) • y = √arc sen log x  •  y’ = [1/(2√arc sen log x)]. [1/√(1 – (log x)2)].(1/x.ln10

  5. DERIVADAS DE F. COMPUESTAS • DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES (I) • Sea y = ax • y ‘ = ax . Ln a • Veamos: ln y = x.ln a  y´/ y = 1.ln a+x.0=ln a • y’= y.ln a = ax .ln a • Ejemplos: • y = 3x y’ = 3x .ln 3 • y = - 5x y’ = - 5x .ln 5 • y = sen 2x y’ = cos 2x .2x ln 2 • y = 7.4x + 4.(√7)x y’ = 7.4x .ln 4 + 4.(√7)x .ln √7 • y = √(6x) – (√6)x y’ = [1/2√(6x)].6x ln 6 – (√6)x .ln √6 = … = 0

  6. DERIVADAS DE F. COMPUESTAS • DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES (2) • Sea y = af(x)  y ‘ = af(x) . f ‘ (x). ln a • Veamos: ln y = f(x).ln a • y’/y = f’(x).ln a + f(x).0  y’ = y.f’(x).ln a • Ejemplos: • y = e(3x – 2)  y’ = e(3x – 2) .3.ln e = 3. e(3x – 2) • y = eln x + 21/x y’ = eln x .1/x + 21/x .(-1/x2).ln 2 • y = e– x – 3√x y’ = e– x (–1) – 3√x (1/2√x).ln 3 • ex – e – x (ex + e – x).(ex + e – x ) – (ex – e – x).(ex – e – x) • y = ------------  y’ = ----------------------------------------------------------- = • ex + e – x (ex + e – x )2 • =[ (ex + e – x)2 – (ex – e – x)2 ] / (ex + e – x)2 = (2.ex).(2.e – x ) = 4 / (ex + e – x)2

  7. DERIVADAS DE F. COMPUESTAS • DERIVADA DE FUNCIONES POLINÓMICO-EXPONENCIALES • g(x) • y = [ f(x) ] • Tomando logaritmos: • Ln y = g(x). Ln f(x) • y derivamos ... • y ‘ / y = [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )] • y ‘ = y . [ … ] • g(x) • y ‘ = [f(x)] . [ … ]

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