МАТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ - PowerPoint PPT Presentation

slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
МАТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ PowerPoint Presentation
Download Presentation
МАТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ

play fullscreen
1 / 70
МАТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ
202 Views
Download Presentation
loman
Download Presentation

МАТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. МАТРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ д.ф.м.н., проф., Маликов А.И., malikov@au.kstu-kai.ru Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, КГТУ им.А.Н.Туполева Г.Казань Секция 1 научного совета по теории управляемых процессов и автоматизации Переславль-Залесский, 02-04 октября 2008 г.

  2. План доклада • 1. Оценивание состояния линейной системы • 2. Матричные системы дифференциальных уравнений с условием квазимонотонности • 3. Матричные системы сравнения • 4. Построение матричных систем сравнения • 5. Связь с квадратичной функцией Ляпунова • 6. Линейная система с ограниченными возмущениями • 7. Ограниченность и сходимость эллипсоидальных оценок • 8. Оценивание состояния регулируемых систем с нелинейностями из сектора • 5. Оценивание состояния систем со структурными изменениями • 6. Оценивание состояния дискретных систем • 7. Оценивание состояния систем с учетом результатов измерений • 8. Приложения к электромеханическим системам (функциональное диагностирование) • 9. Синтез управления • 10.Заключение • 11. Направления дальнейших исследований • 12. Публикации • 13. Юбилеи

  3. dx/dt=A(t)x+b(t), (1.1) A(t) - -непрерывная матрица, b(t)-n-вектор, все элементы которых суммируемы на каждом отрезке из T. При t=t0x(t0)= , Q0>0 - -матрица, a0 - n-вектор. Квадратичная форма v(t,x)=[x–a(t)]TQ-1(t)[x–a(t)] , dv(t)/dt=d{(x–a(t))TQ–1(t)(x–a(t)}/dt= =[A(t)x(t)–da(t)/dt]TQ–1(t)[x(t)–a(t)]+ +[x(t)–a(t)]TQ–1(t)[A(t)x(t)+da(t)/dt]+ +xT(t)dQ–1(t)/dtx(t)+bT(t)Q–1(t)x(t)+ +xT(t)Q(t)b(t). С учетом уравнения для a(t) da/dt=A(t)a+b(t), a(t0)=a0. (1.2) dv(t)/dt=[x(t)–a(t)]T[AT(t)Q–1(t)+Q–1(t)A(t)+dQ–1(t)/dt][x(t)–a(t)]. dQ–1(t)/dt=–AT(t)Q–1(t)–Q–1(t)A(t). dQ–1/dt=–Q–1(dQ/dt)Q–1 (ГантмахерФ.Р. [1988]) dQ(t)/dt=Q(t)AT(t)+A(t)Q(t), Q(t0)=Q0, (1.3) совпадает с эволюционным уравнением метода эллипсоидов (Черноусько Ф.Л. [1988]), и (Сабаев Е.Ф. [1980]), является матричной системой сравнения для (1.1), если взять V(t,x)=[x–a(t)][x–a(t)]T. (1.4) Справедливы оценки x(t)Z(t)={x:[x–a(t)][x–a(t)]T<Q(t)}, или x(t)P(t)={x:[x–a(t)]TQ–1(t)[x–a(t)]<1}, если Q(t) - положительно определенное решение задачи (1.2). Оценивание состояния линейной системы

  4. V(t,x)=[x–a(t)][x–a(t)]T. (1.4) Получить уравнение (1.3) можно и путем вычисления производной от матричной функции (1.4). dV(t)/dt=V(t)AT(t)+A(t)V(t), Правая часть (1.3) удовлетворяет условию квазимонотонности относительно конуса G+. Поэтому уравнение (1.3) будет являться матричной системой сравнения для (1.1). По лемме 1 для решений системы (1.1), начинающихся из заданного эллипсоида E0, будем иметь оценки x(t)P(t)={x:[x–a(t)][x–a(t)]T<Q(t)}, при tT илиx(t)E(t)={x:[x–a(t)]TQ–1(t)[x–a(t)]<1} при tT1. Как будет далее показано множества P(t) и E(t) положительно инвариантны для решений системы (1.1), а уравнение (1.3) вместе с уравнением (1.2) для a описывают эволюцию эллипсоида E[a(t),Q(t)], который в точности является множеством достижимости решений линейной неавтономной системы (1.1), начинающихся из заданного эллипсоида E0.

  5. Матричные системы дифференциальных уравнений с условием квазимонотонности G – множество симметрических -матриц Q; , . множество линейных функционалов; - телесный, воспроизводящий и нормальный конус. G+ правильный конус. Матричная система дифференциальных уравнений (1.3) на , F(t,Y) непрерывна, или непрерывна справа или удовлетворяет усл. Каратеодори. Fквазимонотонно неубывающая относительно конусаG+ если для любых Z,YB, Y–ZG+, и всех из следует для п.в. . Обознач. Лемма 1.1. Пусть матричные функции F1, F2, определены при и принадлежат W(G+). Тогда 1) При любых , если a, b - монотонно неубывающие по Y относительно G+ функции при t>t0; 2) Для - матричной функции A(t) A(t)Y+YAT(t)W(G+) 3) Для симметрической матрицы QYQY W(G+). Теорема 1.1 (о матричных дифференциальных неравенствах). Пусть для непрерывно дифференцируемой матричной функции Z(t) выполняется дифференциальное неравенство (1.4) где функция F(t,Z) непрерывная, квазимонотонно неубывающая относительно G+, и удовлетворяет условию Липшица. Пусть Z(t0)<Y0, тогда Z(t)<Y(t) при всех , где Y(t) - решение задачи (3.3) с функцией F(t,Y) из (3.4) и Y(t0)=Y0. Следствие 1.1. Пусть . Тогда .

  6. Матричные системы сравнения , (1.5) - удовлетворяет условиям существования K-решений (классических, правосторонних). Лемма 1.2. Пусть для (1.5) на T существует абсолютно непрерывная матричная функция V(t,x) такая, что , а для производной от V(t,x) по времени в силу (3.5) справедливо неравенство: при почти всех , (1.6) где F W(G+) и удовлетворяет условиям Каратеодори. Тогда из условия V(t0,x0)<Y0 следует V(t,x(t,t0,x0))< где - верхнее решение системы (1.3) с функцией F из (1.6). , G+Y0 - конус с вершиной в точке Y0 G; , ; Инвариантность множеств Лемма 1.3. Для любых , множество G–+P (+)-инвариантно для нижних решений, и для любого множество G++Q (+)-инвариантно для верхних решений уравнения (1.3). Для автономного матричного уравнения dY/dt=F(Y), YG (1.7) множества H, G (+)-инвариантны

  7. Построение матричных систем сравнения Исходная система dx/dt=f(t,x,w), x(t0)=x0E(a0,Q0) 1. Берется матричная функция V(x)=xxTVij=xixj или V(x)=(x–a(t))(x–a(t))T. 2. Вычисляется производная dV/dt в силу исходной системы. 3. Задается уравнение для a(t): da/dt=f *(t,a) 4. Подставляется выражение da(t)/dt в dV/dt 5. Производится мажорирование dV/dt с использованием матричных неравенств. В результате приходим к матричному дифференциальному неравенству вида dV/dtF(t,V) относительно конуса G+ 6. По матричному дифференциальному неравенству выписывается матричная система dQ/dt=F(t,Q). Если она удовлетворяет условию монотонности решений по начальным данным, то она будет являться матричной системой сравнения для исходной системы. Достаточным условием монотонности решений по начальным данным является условие квазимонотонности функции F(t,Q) правой части полученной матричной системы. Оценки решений [x(t,t0,x0)–a(t,t0,a0)][x(t,t0,x0)–a(t,t0,a0)]TQ(t,t0,Q0), илиx(t,t0,x0)E[a(t,t0,a0),Q(t,t0,Q0)] еслиQ(t,t0,Q0)>0.

  8. Связь с квадратичной функцией Ляпунова Пустьдля система (1.1) с матричной функцией сравнения Получена матричная система сравнения (1.3), гдеF(k,Q) есть непрерывная матричная функция квазимонотонно неубывающая относительно G+. Допустиместьрешение уравнения (1.1) с . Пустьрешение системы сравнения (1.5) с >0 из (1.2). Определим квадратичную форму Лемма 2.Множество (+) – инвариантно для решений системы (1.5). Таким образом, эллипсоид является внешней аппроксимацией множества достижимости системы (1.5).

  9. Линейная система с ограниченными возмущениями dx/dt=A(t)x+B(t)w(t), (2.1) (2.2) da/dt=A(t)a, a(t0)=a0. (2.3) Проблемы оптимальности, ограниченности и сходимости эллипсоидальных аппроксимаций. Различные критерии выбора параметра q: минимума объема, следа матрицы эллипсоида, следа взвешенной матрицы эллипсоида, проекции эллипсоида на заданное направление.

  10. Сходимость и ограниченность эллипсоидальных оценок (не для локально-оптимальных) Теорема 1. Предположим, что пара (A,B) управляемая, а матрица Aгурвицева, т.е. - собственные числа матрицы A). Тогда при любом фиксированном , ( эллипсоидальная оценкаE[a(t),Q(t)]={x:[x–a(t)]TQ–1(t)[x–a(t)]<1}, где Q(t)=Qq(t) – решение уравнения (3.12) с Qq(t0)=Q0>0 ограничена и сходится к предельному эллипсоиду , где - решение алгебраического матричного уравнения Ляпунова (уравнения равновесия для (2.3)) (2.4) В статье Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. АиТ 2006 показано, что матрица минимального по критерию следа инвариантного эллипсоида является решением алгебраического матричного уравнения Ляпунова (2.4)

  11. Следствие 1. Для решений матричного дифференциального уравнения Ляпунова (2.12) справедливы следующие свойства. 1). Монотонность решений по начальным данным: для всех t>t0если Q01>Q02. 2). Инвариантность множеств: множества Любая положительно определенная матрица QM3 определяет инвариантный эллипсоид. В частности, являющаяся положительно определенным решением алгебраического уравнения Ляпунова (2.4) M3, определяет инвариантный эллипсоид предельного множества достижимости для системы (2.1).

  12. Ограниченность и сходимость локально-оптимальных эллипсоидальных оценок Теорема 2. Пусть матрица А – гурвицева и алгебраическое матричное уравнение (2.4) с локально-оптимальным параметром q=q(Q) имеет положительно-определенное решение Q*>0, такое, что Тогда локально-оптимальные эллипсоидальные оценки, получаемые по уравнению (2.4) будут ограниченными и глобально сходиться к предельному эллипсоиду, определяемому с помощью матрицы Q*>0. Применение матричной системы сравнения позволяет также исследовать свойства робастной устойчивости (ограниченности, диссипативности). Сопоставление с эволюционными уравнениями метода эллипсоидов

  13. Регулируемая система с нелинейностью из сектора , A(t) - -матрица, b(t), c(t) - n-векторы. непрерывная функция из сектора , k-const. Строится система сравнения с матричной функцией V=xxT, например где q - положительная переменная, выбор которой производится из условия наилучшего мажорирования. Регулируемая система с несколькими нелинейностями из сектора , (6.1) где, как и выше, A(t) – известная -матрица, bi(t), ci(t) – известные n-векторы, i/i неопределенная непрерывная функция, со значениями из отрезка [0,ki], где ki-const>0 i=1,…m. , (6.2) где qi положительные переменные, подлежащие определению.

  14. Задача при некотором . Здесь Ei=bibiT, Di=ki2ciTQciQ. qi=[(ziTEizi)/(ziTDizi)]1/2, где вектор zi удовлетворяет условию (ziTDizi)(ziTEizi)>0. Для системы (6.2), , i=1,…m, система сравнения (6.2) после подстановки qi Если задать zi=ci, то при условии получим систему сравнения в виде Выбор параметра q

  15. Система с кубической нелинейностью В качестве примера рассмотрим систему второго порядка с кубической нелинейностью dx/dt=A(t)x+b3, =cT(t)x, Для нее матричная система сравнения (5.4) принимает вид . На основе интегрирования матричной системы сравнения получены матрицы, определяющие размеры эллипсоидов, при следующих значениях параметров:

  16. Эволюция эллипсоидов показана соответственно на рис. 1-3. Следует отметить, что в первых двух случаях матрица A линейной части имеет одно отрицательное и одно нулевое собственное значение. Тем не менее, как видно из рис.1 и 2 (эллипсоиды сжимаются к началу координат), система с кубической нелинейностью асимптотически устойчива в большом. В третьем случае матрица линейной части имеет одно положительное собственное значение, поэтому система с кубической нелинейностью является неустойчивой. Это можно наблюдать на рис.3, где эллипсоиды расширяются с течением времени. Рис.1 Рис.2 Рис.3

  17. Для системы с квадратичной нелинейностью dx/dt=A(t)x+b(t)2, =cT(t)x, где A(t) – nn-матрица; b(t), c(t) – n-векторы, матричная система сравнения принимает вид , где q>0 – параметр, подлежащий определению. В частности, для наиболее точного мажорирования рекомендуется выбирать параметр q по формуле , при cTb  0, или . На рис. 4,5 отображены эллипсоиды, построенные интегрированием системы сравнения при .В качестве начального условия приняты соответственно матрицы и . В первом случае (рис. 4) эллипсоиды с течением времени сжимаются к началу координат, а во втором случае (рис.5) расширяются, Рис.4 Рис.5 Следовательно, эллипсоид {x:xTdiad[2, 2]x<1} содержится в области притяжения системы с квадратичной нелинейностью.

  18. Регулируемая система с неопределенностями , (3.11) где A(t) - -матрица, B(t), C(t) - и -матрицы, w(t) - n-вектор входных воздействий; - n-вектор внешних возмущений, погрешности измерений: , (3.12) где R1(t)>0 - nn, а R2(t)>0 - mm матрицы; непрерывная вектор-функцией, с компонентами из сектора , (3.13) где ki -const, - i-я строка матрицы C, i=1,...,m. Оценить множество процессов (3.11) - (3.13) с . Теорема 3.4. Для процессов системы (3.11) с неопределенностями из (3.12), нелинейностями из (3.13) и справедливы оценки при t>t0: V(t)=[x(t)–a(t)][x(t)–a(t)]T<Q(t,t0,Q0), илиx(t)[a(t),Qi(t)]={x:[x(t)–a(t)]Qi–1(t)[x(t)–a(t)]<1}, где a(t) - решение уравнения da/dt=A(t)a+B(t)MC(t)a+w(t), а Q(t) -положительно определенное решение МСС где , , , при начальных условиях Q(t0)=Q0, a(t0)=a0.

  19. с , и нелинейной функцией, , где , и k=1. Сопоставление с вектор-функцией Ляпунова с компонентами в виде модулей линейных форм Пример. Оценка точности системы стабилизации

  20. Оценивание состояния дискретных регулируемых систем V(k)=xxT и вычислив V(k+1) в силу системы (2.3) Способ 1. состоит в учете неравенства (1.4), для нелинейности и матричногонеравенства, справедливого для всех x,y и q>0.

  21. Пример , k=0.9 Рис.1. Оценка, полученная по способу 3 точнее оценок, полученных по способам 1 и 2 Рис.2. оценка при k=10 по способу 1 точнее оценок, полученных по способам 2 и 3

  22. Подбор фиксированного параметра q c=[1.0;0.0];Q=[1 0 ;0 0.9];A=[0 1;0.7 0.2];b=[0;1]; kn=0.46;qp=0.9;for k=1:50 Q1=kn*kn*(1+1/qp)*A*Q*A'+(1+qp)*c'*Q*c*bb

  23. Оптимизация следа матрицы kn=0.45; (при kn=0.46 расходятся)

  24. Регулируемая система со структурными изменениями

  25. Оценивание точности САУ при отказах датчиков

  26. Гарантированное оценивание состояния дискретных регулируемых систем с учетом измерений Рассматривается дискретная регулируемая система y(k)=C(k)x(k)+(k). погрешности измерений (k) 0{Rn:TQ0,Q0>0}, (k){Rn:TR1(k), R1(k)>0}, (k){Rm: TR2(k), R2(k)>0}. Вектор функция Условие принадлежности сектору Обозначим Оценка состояния х(k+1) ^x(k+1/k)=(A+BMD)^x(k/k)+w(k)). (2.4) Ошибка оценки (k+1/k)=х(k+1)–^x(k+1/k)=Ax(k)+B(k,)+w(k)+(k)– –[A+BMD]^x(k/k)–w(k)=(A+BMD)(k)+(k)+B[(k,)–M].

  27. V(k/k)=(k/k)T(k/k) (2.5) V(k+1/k)<(1+1/q2)[(1+1/q1)(А+BMD)V(k/k)(А+BMD)T+(1+q1)R1]+(1+q2). (2.6) Для того чтобы оценить матричную функцию найдем эллипсоид, содержащий множество , (2.7) Параллелепипед , , , (2.8) матрица эллипсоида определится : R3(k)=diag[r2i(k)], при всех k>k0 V(k+1/k)<(1+1/q2)[(1+1/q1)(А+BMD)V(k/k)(А+BMD)T+(1+q1)R1]+(1+q2)BR3(k)BT, Q(k+1/k)=(1+1/q2)[(1+1/q1)(A+BMD)Q(k/k)(A+BMD)T+(1+q1)R1]+(1+q2)BR3(k)BT,

  28. решение матричной системы сравнения (2.12) при Q(0/0)=Q0, ^x(k+1/k+1)=F(k+1)(k+1/k)+К(k+1)у(k). (2.13) Уравнение для ошибки оценивания: (k+1/k+1)=х(k+1)-^x(k+1/k+1)=х(k+1)–F(k+1)(k+1/k)–К(k+1)[Cx(k+1)+ +(k+1)]=[E–K(k+1)C]x(k+1)–F(k+1)(k+1/k)–K(k+1)(k+1). (2.14) условие (несмещенность оценки) будет выполняться, если выбрать F(k)=E-K(k)C. (2.15) Для нахождения матрицы К(k) запишем: (k+1/k+1)=[E-K(k+1)C](k+1/k)–K(k+1)(k+1). (2.16) V(k+1/k+1)<(1+1/q3)[E–K(k+1)C]V(k+1/k)[E–K(k+1)C]T+ +(1+q3)К(k+1)R2KT(k+1). (2.17) Q(k+1/k+1)=(1+1/q3)[E-K(k+1)C]Q(k+1/k)[E–K(k+1)C]Т+ +(1+q3)К(k+1)R2KT(k+1) (2.18) К(k+1)=(1+1/q3)Q(k+1/k)CТ{CQ(k+1/k)CТ(1+1/q3)+(1+q3)R2}-1. (2.19)

  29. В результате рекуррентные уравнения наблюдателя запишутся в виде ^x(k+1/k)=[A(k)+B(k)MD(k)]^x(k/k)+w(k), ^x(k+1/k+1)=^x(k+1/k)+K(k+1)[y(k+1)–C(k+1/k)], К(k+1)=(1+1/q3)Q(k+1/k)CT)[CQ(k+1/k)CT(1+1/q3)+(1+q3)R2]-1, Q(k+1/k)=(1+1/q2)[(1+1/q1)[A+BMD]Q(k/k)[A+BMD]T+ +(1+q1)R1]+(1+q2)BR3(k)BT, Q(k+1/k+1)=(1+1/q3)[E–K(k+1)C]Q(k+1/k)[E–K(k)C]Т+ +(1+q3)К(k+1)R2KT(k+1), при k=0,1,.... c начальными условиями ^x(0/0)=a, Q(0/0)=Q0. Для запуска алгоритма на первом шаге параметр q3 вычисляется по формуле . Далее вычисляется матрица K(k=1) по (2.19). Затем снова вычисляется параметр q3 по критерию следа , а по нему – матрица K(k=1). Данный алгоритм был реализован в пакете matlab и опробован на конкретных примерах 2-3 порядка.

  30. Электромеханические системы Модель в виде уравнений Лагранжа второго рода M(q) – матрица инерции кориолисовы и центробежные, трение и гравитационный члены, сухое трение и возмущения ЭМ Могут быть добавлены уравнения электромагнитных процессов в электродвигателях. Предполагается, что известны номинальные Вводя величины представим

  31. Вектор состояния Уравнения движения в пространстве состояний u= Предполагается, что измерения выдаются в дискретные моменты времени с периодом T, а входные моменты, являются постоянными на каждом интервале [kT, (k+l)T]

  32. Дискретизация модели Разложение в ряд в окрестности номинального движения Схема метода Эйлера первого порядка

  33. Оценка точности САУ оптического прибора где J - момент инерции прибора; D - коэффициент демпфирования; MН - момент нагрузки и трения, MВ(t) возмущения; MЭП(t) – электромагнитный момент привода: , где MФ - максимальный фиксирующий момент ШД : , при , - известные постоянные. , iВП – коэффициент редукции, r - параметр, u(t) - выход регулятора: . k1 ,k2 ,kР - коэффициенты регулятора; a-const, - погрешности , r2i -const, i=1,2, |MВ(t)+MН(t)|<r1, r1 -константа.

  34. вектор входных воздействий, - вектор неопределенных возмущений. Для отрезка [kT,(k+1)T] погрешность интегрирования оценивается как . Для вектора неопределенных возмущений (k) имеет место оценка , при k>k0, Для оценивания состояния системы (3.4) был реализован в пакете Matlab алгоритм (2.20), полученный по дискретной модели (3.5). Расчеты проводились при следующих значениях параметров: J=30, MФ=25, D=250, iВП =256, k=0.5, =0.8, r= , r1=0.002, r21=0.00002, r22=0.0032, g=0.002, k1=50, k2=2, T=0.01.

  35. Результаты моделирования Рис. 3. Априорная -1, и апостериорная 2 оценки состояния в плоскости угол (ось X) – угловая скорость (ось Y) (в отклонениях от программной траектории). Рис. 2. Оценивание состояния системы управления оптического прибора по углу и угловой скорости (в отклонениях от программной траектории)

  36. Результаты моделирования Рис.5. Оценки при возникновении дополнительного момента на оси прибора Рис.6. Оценки при возникновении отказа датчика угла

  37. Оценивание состояния асинхронного двигателя (1)

  38. (2) (3)

  39. (5)

  40. (6) (7)

  41. (8)

  42. (9)

  43. Установившийся режим работы двигателя: Запуск двигателя:

  44. Торможение двигателя:

  45. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕВ РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ (10) (11)