第 26 讲

第 26 讲 第二型曲线积分

例. 求 S 为柱面被平面 z=0 z 和 z=H 所截取的部分。解：在柱坐标下考虑 I的计算。此时柱面方程变为取 S 上如图所示的面积微元（阴影区域），则其面积这样 S 上的点满足 O y 故 x Thanks Jingjie Yu for his idea !

被 S 为柱面例. 求 z 平面 z=0 和 z=H 所截取的部分。解：取 S 上如图所示的面积微元（阴影区域），则其面积这样 O y x 故

变力做功问题 物体在变力作用下沿曲线L 从 A到 B，求 F所 • 分：作的功W 。任意分为 n个小曲线段 • 匀： • 合：为 n个小曲线段长度的最大值。 • 精：

定义 1： 设 L为平面定向光滑曲线，起点为 A , 终点为 B。函数 P ( x , y ) ， Q ( x , y ) 定义在 L上。在L上依次任意插入 n – 1 个分点并记记将L分为 n 个小弧段在每个小弧段上任取一点作和式其中为 n 个取极限小弧段长度的最大值。

中的任意选取， 在小弧段若对 L的任意分割及上述和式的极限总存在，且等于确定的常数 A , 则称 A为记作函数 P ( x , y ) , Q ( x , y ) 沿 L的第二型曲线积分。或 L为积分曲线。称 P(x, y),Q(x, y)为被积函数，区别

第二型曲线积分的性质 记-L 为 L 的反向曲线，则 1、（有向性） 2、（线性性）则若 3、（路径可加性）

第二型曲线积分的计算 当 t由 a 定理 1：设光滑曲线L的参数方程为又函数连续变化到 b 时，曲线上的点由 A运动到 B。则 P ( x , y ) , Q ( x , y ) 在 L上连续，证明略

例 1. 计算 y 由 O到 A。其中 L 沿曲线 A ( 1, 1 ) 1 解： 1 x O

练习、计算 y 由 A到 O。其中 L 沿曲线 A ( 1, 1 ) 1 解： 1 x O 由 O到 A ，那么 I 的值为？若 L 沿曲线

例 2. 计算 y A ( 1, 1 ) 回到 A。其中 L 从 O沿折线 O B A O B 解： x O

例 3. 计算 到 A。其中 L 从 O沿线段 O A A ( 3, 2, 1 ) z L 的参数方程为解：起点O 与终点 A 分别对应于因此 y O x

与第一型曲线积分的关系 根据第二型曲线积分的计算公式（定理 1）, 若取弧长 s 为参数， L 的而积分路径 L 有参数方程方向为弧长增加的方向，那么上式右端可转为某第一型曲线积分。

与重积分的关系 ——格林公式 概念：区域内任意闭曲线可不经区域外的点单连通区域：连续地收缩为一点。复连通区域：非单连通区域边界曲线的正方向：人沿边界正向走，区域在其左边。

求 y d x D O c

y 求 a b D O 与上页式相加得

定理 2. 设平面区域 D是由有限条分段光滑的曲线围成的闭区域，函数 P ( x , y ) , Q ( x , y ) 在 D上具有连续偏导数，那么 ( 1 ) 其中为区域 D的边界曲线，取正向。公式 ( 1 )称为格林公式。不论 D为单连通还是复连通区域，公式 ( 1 )都成立。

例 4 . 计算 y 回到 A。其中 L 从 O沿折线 O B A O A ( 1, 1 ) B 应用格林公式得解： x O

例 5 . 计算 如图，L 是圆在第一象限的部分，由 A到 B。解：如图，做辅助路径 BO , O A与 y 则 L做成闭路 L1并围成区域 B 故 x O A

其中 L 是单位圆周 例 6. 计算取正向。注意到解：因此在单位圆域 D上应用格林公式得注：本例不可直接应用格林公式。

在格林公式 中特别地令可得令可得令可得其中为区域 D的面积。

所围区域的面积。 例 7. 计算椭圆 y 此椭圆的参数方程为解：则所求面积为记正向椭圆边界为L， O x

其中 L 是任意包含原点 例 8. 计算 y L 在内（不过原点）的光滑闭曲线，取正向。解：设 L 上的点到原点的最小距离为作以原点为圆心，为半径的圆周 l , 方向如图。 O L 与 l围成平面复连通区域 x 则据格林公式， l

例 9. 计算 其中 D是由 x 轴及摆线的一拱围成的区域。 y 其中摆记D的边界为 L ，取正向。解：线边界记作 L1，直线边界记作 L2。令则 O x A

练.求 其中 L是圆周答：

作业： P123 1. (1) (2) (3) P134 1. (1) (2) (3)