[ 선형대수 ] ( 보충 ) Cramer’s rule 증명 - PowerPoint PPT Presentation

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  1. [선형대수] (보충)Cramer’s rule 증명 최윤정

  2. Cramer 공식 a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn = b2 … an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn • 행렬의 기본연산  일차 연립방정식에 응용 • 미지수와 방정식의 개수가 같은 일차연립방정식에 적용.! • 일차연립방정식의 계수행렬 A에 대해, • |A| 가 0 이 아니면, 주어진 연립방정식은 유일한 해를 갖는다. a11 a12 a13 a14 … a1n a21 a22 a23a24… a2n a31 a32 a33 a34 … a3n … an1 an2 an3 an4 … ann 상수행렬 B = {b1 b2 b3 … bn } 계수행렬 A = a11 a12 … a1j-1 a1j a1j+1 … a1n a21 a22 … a2j-1 a1j a2j+1 … a2n a31 a32 … a3j-1 a1j a3j+1 … a3n … an1 an2 … anj-1 anj anj+1 … ann b1 b2 b3 … bn 계수행렬의 j열 대신에 상수행렬 B 를전치시켜 넣어 구한다. 단, j = 1 , 2, 3, …, n xj = |A|

  3. Cramer 공식의증명 • 주어진 연립방정식의 계수행렬 A의 행렬식 |A| 가 0이아니라고 가정하자. • 그리고 A의 j열 대신 상수행렬 B를 전치시켜 넣은 행렬 C 를 생각하자. • 그런데 , C의 각각의 bi 대신 ∑ ainxn ( i=1~n )으로 대체해도 무방하다. a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn = b2 … an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn b1 b2 b3 … bn a11 a12 … a1j-1 a1j a1j+1 … a1n a21 a22 … a2j-1 a1j a2j+1 … a2n a31 a32 … a3j-1 a1j a3j+1 … a3n … an1 an2 … anj-1 anj anj+1 … ann C = a11 a12 … a1j-1 a1j+1 … a1n a21 a22 … a2j-1 a2j+1 … a2n a31 a32 … a3j-1 a3j+1 … a3n … an1 an2 … anj-1 anj+1 … ann a11x1 + a12x2 + … + a1nxn C = a21x1 + a22x2 + … + a2nxn a31x1 + a32x2 + … + a3nxn an1x1 + an2x2 + … + annxn

  4. J 열 a11 a12 … a1j-1 a1j +1 … a1n a21 a22 … a2j-1 a2j+1 … a2n a31 a32 … a3j-1 a3j+1 … a3n … an1 an2 … anj-1 anj+1 … ann |C| = • 행렬식 |C|를 j 열에 대해 여인수 전개를 하자! • |C| = (a11x1 + a12x2 + … + a1nxn)A1j + (a21x1 + a22x2 + … + a2nxn)A2j + (a31x1 + a32x2 + … + a3nxn)A3j + …. + (an1x1 + an2x2 + … + annxn)Anj a11x1 + a12x2 + … + a1nxn a21x1 + a22x2 + … + a2nxn 이제, 다시 xi들에 대해 정리하면, a31x1 + a32x2 + … + a3nxn an1x1 + an2x2 + … + annxn

  5. 다시 xi들에 대해 정리하면, • |C| = (a11A1j+ a21A2j + … + an1Anj)x1 • + (a12A1j+ a22A2j + … + an2Anj) x2 • + (a13A1j + a23A2j + … + an3Anj) x3 + …. • + (a1jA1j+ a2jA2j+ … + anjAnj) xj • + …. • + (a1nA1j+ a2nA2j … + annAnj) xjn • = |A| xj 그런데 ∑ aniAnj( i=1~n ) i ≠ j 인 xi의 계수들은 모두 0 ! Why ? ! (slide 7~8) 그런데, |A| ≠ 0 이므로모든 j ( 1≤ j ≤ n) 에 대해 xj = |C| / |A| . 증명끝! 휴…

  6. ∑ aniAnj( i=1~n ) • i ≠ j 인 xi의 계수들은 모두 0! Why ? ! • 기본 행 연산에 대한 행렬식의 성질 중. • * 행렬 A의임의의 행(열)을 교환한 B에대해, |A| =-|B| • (1) 행렬 A의 두 행(열) 이 같으면 |A| = 0 이다. • (2) i ≠ j 이면, ∑ aniAnj 는 0 이다.

  7. (1) 행렬 A의 두 행(열) 이 같으면 |A| = 0 이다. • A와 i번째와 j번째 행(열)이 같다고 가정하고 A에 기본행연산 Ri ↔Rj행(열)을 수행해 얻은 행렬을 B로 가정하자. • 이 경우 B= A 이고 • 따라서 |B| = |A| 이다. 그런데, 행(열)교환 후의 행렬식 성질에 의해 • |B| = -|A| 이므로. • |A| = |B| = 0..!

  8. (2) i ≠ j 이면, ∑ aniAnj 는 0 이다. • A의 j번째 행(열)을 A의 i번째 행(열)으로 대체시켜 얻은 행렬을 B. • (Cramer 공식은 j열에대한 미지수 xj정리되므로 ‘열’ 기준으로 ) • 임의의 열 k( 1≤ k ≤ n ) 에 대해, bkj = akj, Bkj = Akj가 성립한다. • 이미 (1)번에의해 |B| = 0 이므로 • ∑ bkiAkj=∑ akiAkj= |B| = 0 ( 1≤ k ≤ n )